次线性期望空间下END列加权和的完全收敛性分析

刘晓春

【摘要】次线性期望空间理论的提出是为了解决金融领域风险度量计算涉及的非线性问题，概率极限理论研究也由此获得新的研究方向.基于此，本文将简单介绍次线性期望空间，并围绕Stout型分布END序列完全收敛性开展研究，次线性期望空间的完全收敛性内容由此得以丰富.

【关键词】次线性期望空间;完全收敛性;END随机变量

一、前 言

受到次线性期望和容度不可加性的影响，次线性期望空间与原概率空间存在很多差别较大的结论，许多不等式、证明方法不再适用.为解决相关问题，近年来很多新的研究工具和研究方法不断涌现.更好地解决各类收敛问题是本文围绕次线性期望空间下END列加权和的完全收敛性开展具体研究的原因所在.

二、次线性期望空间概述

相较于传统的概率空间，次线性期望空间中存在很多不同的性质，如一个常数在次线性期望空间中无法实现随机变量方差或均值的描述，大数定律极限并非一个常数，以及Y独立于X在次线性期望下并不意味着X独立于Y，存在不对称的独立性.结合次线性期望空间框架，我们给定可测空间假设为（Ω，F），以及定义在（Ω，F）上的线性空间H，H对任意X1，X2，…，Xn∈H，φ∈Cl，Lip（Rn），均有φ（X1，X2，…，Xn）∈H，线性空间的局部Lipschitz函数表示为Cl，Lip（Rn），对任意φ∈Cl，Lip（Rn），存在常数c>0，m∈N取决于φ，均有：

φ（x）-φ（y）≤c（1+xm+ym）x-y，x，y∈Rn（1）

H也可以视作随机变量构成的空间，可记为X∈H.

定义（1）：称E^：H→R-为次线性期望，如果对任意X，Y∈H均存在单调性、次可加性、保常数性、正齐次性，可基于R-=[-∞，+∞]，定义次线性期望空间为三元组（Ω，H，E^），定义E^的共轭期望ε^为：

ε^X=-E^（-X），X∈H.（2）

基于式（2）可确定，对于任何的X，Y∈H，均存在

ε^X≤E^X，E^（X+c）=E^X+c，

E^（X-Y）≤E^X-Y，E^（X-Y）≥E^X-E^Y.（3）

基于E^的保持常数不变性及可加性可以确定，存在

E^X-ε^（-X）=E^X+E^（-X）≥E^（X-X）=0.（4）

概率空间中容度属于度量单位概率，作为典型的非可加概率测度概念，容度可实现不确定性问题的准确刻画，在金融、经济、工程学等领域，可基于定义（2）理解容度的概念.

定义（2）：令GF，一个函数V：G→[0，1]称为容度，如V（）=0，V（Ω）=1，对任意AB，A，B∈G，则存在V（A）≤V（B），如果对所有的A，B∈G，且A∪B∈G，则存在V（A∪B）≤V（A）+V（B），此时存在次可加性的V.

在概率统计中，对于存在不确定性的研究对象，最优解将无法求得，最多仅能够获得优的区间概率，基于经典概率集函数即可获得该区间概率，成为上或下概率的对应集函数也可获得，不确定性建模可基于上下区间的限制开展，非理想状态随机情形可由此描绘，因此，在不确定性描绘中，区间概率属于较为恰当的方式.对基于（Ω，H，E^）的次线性期望空间进行分析可以发现，类似于一个区间概率的容度可细分为下容度和上容度，同时存在不可加性，因此可针对性定义为：

V（A）：=inf{E^ξ;I（A）≤ξ，ξ∈H}，ν（A）：=1-V（AC），A∈F.（5）

式（5）中的AC为A的补集，针对性开展分析可以确定，存在：

ν（A）≤V（A），A∈F.（6）

如存在I（A）∈H，则存在：

V（A）=E^（I（A）），ν（A）=ε^（I（A））.（7）

如f≤I（A）≤g，f，g∈H，则存在：

E^f≤V（A）≤E^g，ε^f≤ν（A）≤ε^g.（8）

隨机变量X在可测空间（Ω，H）的Choquet期望CV（X）为定义（3），即：

CV（X）=∫+∞0V（X≥t）dt+∫+∞0（V（X≥t）-1）dt.（9）

定义（4）：次线性期望E^：H→R-，如果对X，Xn，Xn∈H，X≥0，n=1，2，…，满足：

E^（X）≤∑+∞n=1E^（Xn），X≤∑+∞n=1Xn，（10）

则认为E^是可数次可加的.

如一个集函数V：F→R-对任意An∈F，满足：

V∪+∞n=1An≤∑+∞n=1V（An），（11）

则认为V是可数次可加的.

一般情况下，不存在可数次可加性的V，因此，进行外容度V*定义，即定义（5），如对A∈F，都有：

V*（A）=inf∑+∞n=1V（An）：A∪+∞n=1An，ν*（A）=1-V*（AC），（12）

则认为V*属于可数次可加的，且V*=V.

如I（A）≤g（g∈H），则可以确定V*（A）≤E^（g）.开展进一步分析，如存在可数次可加的E^，则存在：

E^（f）≤V*（A）≤V（A）≤E^（g），f≤I（A）≤g，f，g∈H.（13）

在I（A）≤g∈H，V*（A）≤E^（g）时，可数次可加容度最大为V*.在这种情况下，当I（A）≤g∈H，V*（A）≤E^（g）时，存在同时属于可数次可加容度的V，则V（A）≤V*（A）.

定义（6）：在同分布前提下，如次线性期望空间中X1和X2分别为（Ω1，H1，E^1），（Ω2，H2，E^2）上的n维随机向量，如存在：

E^（φ（X1））=E^2（φ（X2）），φ∈Cl，Lip（Rn），（14）

则可将其称为同分布，具体可记作X1=dX2，如i≥1，Xi=dX1，则认为{Xn;n≥1}属于同分布的.

END序列概念在经典概率空间的研究较早，此时的END序列属于较弱的相依序列，而围绕END序列在次线性期望空间中的相关研究进行分析可以发现，我们需要重新定义次线性期望空间中的END序列.

定义（7）：次线性期望空间（Ω，H，E^）下，END序列可表示为{X;n≥1}，如常数K≥1，则存在成立的下式：

E^∏ni=1gi（xi）≤k∏ni=1E^（gi（xi）），n≥1.（15）

其中，存在gi∈Cl，Lip（Rn），i=1，2，…的非增或非降的非负函数.

深入分析可以发现，结合上述定义的END随机变量序列，如存在属于END随机变量序列的{X;n≥1}，以及gi∈Cl，Lip（Rn），i=1，2，…这一属于非增或非降的非负函数，则存在同样属于END随机变量序列的{f（Xn）;n≥1}.

三、次线性期望空间下END列加权和的完全收敛性

（一）完全收敛的定义

在围绕完全收敛性的最初研究中，完全收敛性的概念被提出，同时研究发现，如存在有限的随机变量方差，则存在完全收敛于一个期望值的算术平均序列，该序列源于独立同分布随机变量，假设{Xn;n≥1}随机变量序列满足：

∑+∞n=1p（Xn-Xε）<+∞，ε>0，（16）

则该随机变量序列在随机变量X中完全收敛，可记作XncX.

围绕加权和的完全收敛性开展针对性研究可以发现，不同形式的收敛性会因不同权重出现不同，因此结果会受到加权和形式带来的直接影响，因此本文研究需设法明确加权和的定义.

基于属于随机变量序列的{Xn;n≥1}，常数的集合为{ani;1≤i≤n，n≥1}，因此加权和可表示为∑n[]i=1aniXi.基于经典概率空间完全收敛定义方法开展针对性对比，完全收敛性在次线性期望中的定义可表示为：

在次线性期望空间（Ω，H，E^）下，如对所有ε>0存在

∑+∞n=1V（Xn-X>ε）<+∞，（17）

即可认为存在完全收敛于随机变量X的随机变量序列{Xn;n≥1}，可记作XncX.近年来，概率空间下完全收敛性的研究大量涌现，如围绕ND阵列合和ND序列随机变量完全收敛性的研究，以及围绕NOD序列加权和开展的研究等，很多新的完全收敛性结果由此获得，这类研究逐步将NOD序列这一随机变量研究范围扩大至广义ND序列，广义ND序列加权和在权重为ank且在E^（Xp）≤CV（Xp）<+∞情形下的完全收敛性也通过研究得以证明，这使得概率空间中的结论通过研究真正推广到次线性期望空间.进一步分析相关研究可以发现，次线性期望空间和经典概率空间下存在不同的研究结果，同时存在不同的证明思路，对于存在不可加性的次线性期望和容度，其相较于经典概率空间存在不同的证明手法，需利用容度不等式等次线性期望空间理论框架下的内容和性质进行证明.

（二）Stout型END列加权和的完全收敛性

基于随机变量加权和Stout型NOD序列的完全收敛性开展研究可以发现，作为新的完全收敛定理，其与权重存在显著区别.对属于同分布NOD随机变量序列的r>0，α>0，{X，Xn;n≥1}进行研究，结合属于正常数阵列的{ank;k≥1，n≥1}，且其对任意K>0，满足：

limn→+∞log n∑+∞k=1a2nk=0.（18）

令Tn=∑+∞[]k=1ankXk，n≥1，假设EX=0，且EX2+r/α/log（1+X）<+∞，则对任意ε>0，存在：

∑+∞n=1nr-1P{Tn>ε}<+∞.（19）

结合上述定理，即可对Stout型NOD序列在次线性期望空间下的加权和完全收敛性开展研究，通过将相关定理从经典概率空间向次线性空间推广，即可完成研究.基于END序列的概念、随机变量同分布概念及Markov不等式，即可围绕次线性期望空间下END列加权和的完全收敛性开展针对性研究.在具体研究开始前，需引出两个重要的引理.

引理（1）：设次线性期望空间（Ω，H，E^）的随机变量为X，且满足X≤1，则存在：

E^exp（x）≤exp（E^X+E^X2）.（20）

引理（2）：假设X∈H，r>0，α>0，则对于任意c>0，则存在：

CV（X2+r/α/log（1+X））<+∞

∑+∞n=12（2α+r）nlog 2nV（X>c2αn）<+∞.（21）

基于上述引理，即可開展后续研究，假设次线性期望空间（Ω，H，E^）中的{X，Xn;n≥1}为同分布END随机变量序列，存在可数次可加性的E^，以及属于正常数阵列的{ank;k≥1，n≥1}，满足supk≥1ank≤cn-α，如r>0，α>0，且

CV（X2+r/α/log（1+X））<+∞，（22）

limn→+∞log n∑+∞k=1a2nk=0，（23）

则：

∑+∞n=1nr-1V∑+∞k=1ank（Xk-E^Xk）>ε<+∞，n>0，（24）

∑+∞n=1nr-1V∑+∞k=1ank（Xk-ε^Xk）<-ε<+∞，n>0，（25）

在E^k=ε^Xk时，则存在：

∑+∞n=1nr-1V∑+∞k=1ank（Xk-E^Xk）>ε<+∞，n>0.（26）

基于上文提及的定理可以发现，其属于经典概率空间下到次线性期望空间的推广，同分布NOD序列通过该定理推广至同分布END序列，一般矩条件的原概率空间得以推广至上积分条件，由此开展等价性证明，在次线性期望空间下由于存在不再唯一的随机变量X期望，相较于原概率空间得出的结论，由于存在下期望ε^和上期望E^，得出的结论存在不同，最终的完全收敛定理的得出需保证下期望ε^和上期望E^相等.

假设E^Xn=0，基于式（22）以及存在可数次可加性的上期望E^，存在：

E^（X2）≤CV（X2）≤CV（X2+r/α/log（1+X））<+∞.（27）

假设E^X2n=1，ank<n-α对于任何k>1，n≥1均成立，令

Tn=∑+∞k=1ankXk.（28）

对属于END序列的{X，Xn;n≥1}来说，为保证其存在同样属于END序列的截尾随机变量，需保证截尾后的序列为非减（非增）的，且属于Cl，Lip，给定任意ε>0，取ρ>0，正整数N，由于n-ρ→0，n→+∞，因此对于给定的任意N，ε，正整数N0存在，且使得当N≥n0时，存在n-ρ<ε/N.结合同类研究进行分析可以发现，为证明∑+∞[]n=1nr-1V（Tn>3ε）<+∞成立，需要证明：

∑+∞[]n=1nr-1V（T′n>ε）<+∞，∑+∞[]n=1nr-1V（T″n>ε）<+∞，∑+∞[]n=1nr-1V（Tn>ε）<+∞.（29）

对属于END序列的{ankX′nk，k≥1}来说，可确定存在同为END序列的{exp（unankX′nk），k≥1}，结合Markov不等式，最终可得到：

∑+∞n=1nr-1V（T′n>ε）

≤∑+∞n=1nr-1exp（-εnρ/2）+∑+∞n=1nr-1exp（-ε2/4cn）<+∞.

结合传统的线性期望空间不难发现，其中存在等价的式子EI（X≤a）=P（X≤a）.但对于本文研究的次线性期望空间来说，由满足Cl，Lip连续函数定义的E^存在不滿足连续性的原示性函数I（X≤a），因此，E^I（X≤a）这种表达并不有效，研究需要创建属于Cl，Lip的新的连续函数于次线性期望空间中，以此实现对原概率空间示性函数的取代.结合次线性期望的定义，存在ε^X：=-E^-X，X∈H，可得到：

∑+∞n=1nr-1V∑+∞k=1ank（Xk-ε^Xk）<-ε=∑+∞n=1nr-1V∑+∞k=1ank（Xk+E^（-Xk））<-ε=∑+∞n=1nr-1V∑+∞k=1ank（（-Xk）-E^（-Xk））>ε<+∞.（30）

围绕式（30）进行分析可以发现，式（25）由此成立，而在E^Xk=ε^Xk时，则存在：

∑+∞n=1nr-1V∑+∞k=1ank（Xk-E^Xk）>ε≤∑+∞n=1nr-1V∑+∞k=1ank（Xk-E^Xk）>ε+

∑+∞n=1nr-1V∑+∞k=1ank（Xk-E^Xk）<-ε<+∞.（31）

式（26）由此获得.

四、结 论

本文研究的完全收敛内容仅属于极限理论的一小部分，次线性期望空间中还可以推广很多概率空间相关的经典理论，如完全矩收敛，笔者计划未来开展完全积分收敛及混合序列的相关研究.

【参考文献】

[1]周慧，马慧，张继红.END相依序列加权和的强收敛性[J].甘肃高师学报，2019（2）：1-3.

[2]邱德华，肖娟.END随机变量序列Sung型加权和的矩完全收敛性[J].数学物理学报：A辑，2018（6）：1103-1111.

[3]邱德华，陈平炎.END随机变量序列产生的移动平均过程的收敛性[J].数学物理学报：A辑，2015（4）：756-768.