“一题两课”案例式教学方法研究

曹金凤　王志文　刘鹏　撒占友　李策

[摘 要] “弹性力学与有限元”“有限元分析软件及应用”两门课程是各大高校理工科硕士研究生的学位课和专业课，占据十分重要的地位。“弹性力学与有限元”课程公式多，推导过程烦琐，学习难度大，而“有限元分析软件及应用”课程则重点关注工程应用，却又离不开“弹性力学与有限元”课程的理论支撑，二者既有联系，又有差异。为了提高研究生对两门课程的学习效果和学习效率，达到学以致用、研以致用的目的，对“一题两课”案例式教学模式进行探索，选取“弹性力学与有限元”课程中的课后练习题，通过理论分析和有限元仿真分析结果进行比较，找出两门课程学习过程中的重点、难点、差别，帮助学生更加生动形象地理解“弹性力学与有限元”的知识，更有助于将理论方法与工程实践结合，实现举一反三、触类旁通的学习效果。该教学模式已成功应用于5届研究生的教学过程中，效果良好，值得推广使用。

[关键词] 弹性力学与有限元;有限元分析软件及应用;案例式教学;教学模式;课程改革

[基金项目] 2020年度山东省教育厅山东省专业学位研究生教学案例库项目“‘有限元分析软件Abaqus及应用’案例库建设”（SDYAL20112）

[作者简介] 曹金凤（1978—），女，山东青岛人，博士，青岛理工大学机械与汽车工程学院副教授，主要从事计算力学与Abaqus软件数值模拟研究;王志文（1995—），男，山东临沂人，硕士，青岛理工大学机械与汽车工程学院2020级机械专业硕士研究生，研究方向为Abaqus有限元仿真与轮胎的设计仿真一体化;刘 鹏（1990—），男，山东青岛人，博士，青岛理工大学机械与汽车工程学院副教授（通信作者），主要从事故障诊断与可靠性分析、海洋工程装备研究。

[中图分类号] O343.1 [文献标识码] A [文章编号] 1674-9324（2022）16-0157-04 [收稿日期] 2021-07-28

引言

“弹性力学与有限元”课程主要研究变形体在外来因素作用下的位移、应变和应力的分布规律，是机械工程、土木工程、力学相关专业的研究生必修课程[1]。有限单元法是力学、数学、物理学、计算方法、计算机技术等多种学科综合发展和结合的产物，是随着计算机技术的广泛应用而迅速发展起来的一种数值分析方法，其基本思想就是“化整为零”，将连续的、理论上具有无限个自由度的模型离散为有限个单元、有限个自由度的模型，借助计算机、大型工作站的超强计算能力，解决实际工程问题，即将复杂的连续体划分为有限个简单的单元体，单元体之間仅通过结点相连，将连续场函数（偏）微分方程的求解问题转化为有限个参数的代数方程组的求解问题[2-6]。

“弹性力学与有限元”课程理论性强，公式多且表达式复杂，对学生的数学要求较高[7]。目前，大多数高校采用传统的教学模式，即以理论教学为主，通过板书、理论推导、例题讲解等方式讲授，由于学生缺乏实际工程经验，学习过程中易出现难理解、难应用、难掌握的诟病。为了提高学习兴趣，将“弹性力学与有限元”课程中的基本概念、基础知识与实际工程密切联系，本文提出了“一题两课”案例式教学方法，即对于同一弹性力学问题，用“弹性力学与有限元”和“有限元分析软件及应用”两门课程的知识体系来解决，通过比较分析结果，找出两门课程的异同，不仅学会知识，掌握分析方法，而且达到举一反三、触类旁通的效果。

一、“一题两课”的教学案例

（一）选取一题

选择徐芝纶编写的《弹性力学简明教程》（第五版）[8]3～8题经典矩形截面长竖柱问题作为教学案例，如图1所示。对于矩形截面长竖柱，密度为ρ，在右侧面受均布剪力q作用，试求解各个应力分量。为了便于将理论解与有限元软件数值解进行比较，假设模型尺寸和荷载如下：h=50m，b=3m，ρ=7800kg/m3，q=10Pa，材料为线弹性，弹性模量E=210GPa，泊松比，构件处于线弹性小变形阶段。

（二）弹性力学与有限元的理论解

采用半逆解法求解，首先根据已有力学知识分析长竖柱的应力分布规律。假设某个应力分量的函数形式，反推出应力函数并使其满足相容方程和应力边界条件。根据题目要求和材料力学课程相关知识，易知该问题属于偏心受压，切应力的分布是x的函数，故假设：

（三）有限元分析软件及应用的数值解

实际工程问题往往模型、荷载和约束都十分复杂，很难获得理论解。通常都需要借助大型有限元分析软件Abaqus、ANSYS、ADINA等获得数值解。本文在大型非线性有限元分析软件Abaqus中建立相同的矩形截面长竖柱模型，施加相同荷载和约束，重点查看单元网格尺寸、单元类型不同时相同位置的应力分析结果。

1.建立有限元模型。在大型非线性有限元分析软件Abaqus[9-11]中建立长竖柱有限元模型，高度和宽度分别为h=50m，b=3m，定义线弹性材料参数，杨氏模量和泊松比分别为2.1×1011Pa和0.3，材料密度为7800kg/m3。

2.定义边界条件和施加载荷。在Initial分析步中设置边界条件为下端完全固定，施加重力荷载，对其右表面施加切应力荷载，大小为10N/m2，方向向量为（0，-1，0）。

3.设置网格种子密度和单元类型，划分网格。本文选择两种单元类型，即CPS4R（四边形）和CPS3（三角形）单元，网格种子密度分别设为1、0.5，网格划分完毕后分别如图2和图3所示。

4.数值解。采用Abaqus软件对该模型进行模拟应力分析，比较不同单元密度、不同单元类型对其结果的影响，设置单元格密度分别为1和0.5，单元形状分别为四边形、三角形，观察4种不同工况的仿真结果如图4所示，可以发现4种工况的模拟结果较为接近，最大应力均在底部。

二、比较与讨论

通过使用理论解和数值分析解两种方法，对长竖柱模型在重力和切应力作用下的应力结果进行分析。为了提高学生的学习效果，深刻理解和掌握两门课程的差异，下面对计算结果进行详细的分析比较。

由于本算例只受到重力和沿著竖向切应力作用，因此，沿x轴方向的应力很小，故只对轴应力进行分析。为便于比较，特选取（3，-15）、（2，-12）、（1，-8）、（0，-5）四个点，对四边形单元、网格密度为1的应力分析解与理论解应力进行比较。随着y坐标的减小，应力值逐渐增大;理论解与Abaqus数值分析解变化趋势一致，通过对比Abaqus数值模拟结果与理论计算值，发现各点理论应力与分析应力差值在几十帕内，证明数值模拟结果较准确。对于坐标为（3，-15）的点，“弹性力学与有限元”课程的理论解为1.1468Mpa，在Abaqus软件中选择不同单元类型、不同网格密度的应力分析结果进行比较。选择单元类型为四边形，网格密度分别为0.5、1，单元阶次为二次单元时的数值解为1.1468Mpa，二者差值为0，线性单元的数值解分别为1.14678Mpa、1.14676Mpa，误差分别为0.017%、0.035%。当选择三角形单元、网格密度为0.5和1时，二次单元的数值解分别为1.1478Mpa、1.14813Mpa，误差为0.017%、0.035%，线性单元的数值解分别为1.13676Mpa、1.12332Mpa，误差为0.875%、2.047%。

由上述结果可以看出：单元网格越细密，计算结果越准确，与“弹性力学与有限元”课程的理论学习一致;比较三角形和四边形单元的分析结果，可以发现：本算例中，四边形单元的计算结果更加准确，原因是本模型为规则长方形，选择四边形单元求解精度更高;比较单元阶次可以看出，二次单元比线性单元更加准确，原因是二次单元增加了中间插值节点，可以拟合更复杂的应力形状。上述研究结论均符合两门课程的理论要求，同时进行相互验证和补充，达到举一反三、触类旁通的教学效果。

结语

本文将“弹性力学与有限元”课程与“有限元分析软件及应用”两门课程联系起来，通过对同一个算例进行理论解和有限元数值解的分析，以问题为导向，培养学生解决实际工程问题的能力。通过建立模型、设置参数、工况定义、分析结果提取等对矩形长竖柱进行有限元分析，比较异同、查找规律，触类旁通。“一题两课”案例式教学，在传统授课模型的基础上，注重学生分析问题、解决问题能力的培养，不仅能够大大调动学生学习的积极性，更能够让学生将所学理论知识变为己用，真正实现学以致用、研以致用的终极目的。

参考文献

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[3]刘杨，赵宇来，奚方权，等.有限单元法课程教学现状与改革方法探究[J].中国教育技术装备，2019（18）：71-73.

[4]柏兴旺，潘风清，欧阳八生.工科专业有限元法课程教学改革的探讨[J].中国现代教育装备，2016（15）：32-34.

[5]李元松，王亚军，王章琼，等.案例引导的有限单元法课程教学方法改革与实践[J].高等建筑教育，2018，27（6）：110-116.

[6]肖俊华，常福清，梁希.机械类研究生“弹性力学”课程教改探索[J].教育教学论坛，2020（7）：92-94.

[7]李磊，张丽.有限元软件在弹性力学教学中的应用[C]//第十五届北方七省市区力学学术会议论文集.中国力学学会，2014：2.

[8]徐芝纶.弹性力学简明教程[M].北京：高等教育出版社，2002：58-59.

[9]王玲，周小峰，王晓玲，等.绷绳井架有限元模拟及验证分析[J].机械工程师，2019（06）：163-164+171.

[10]曹金凤.Abaqus有限元分析常见问题解答与实用技巧[M].北京：机械工业出版社，2020：2-3.

[11]曹金凤.Python语言在Abaqus中的应用[M].2版.北京：机械工业出版社，2020：115-118.

Abstract： The course of Elastic Mechanics and Finite Element and the course of Finite Element Analysis Software and Application are the professional courses for the postgraduates of science and engineering majors in colleges and universities， which occupy a very important position. The course of Elastic Mechanics and Finite Element has many formulas， and the deduction process is cumbersome and difficult to learn， while the course of Finite Element Analysis Software and Application focuses on engineering application， but it is inseparable from the theoretical support of the course of Elastic Mechanics and Finite Element. The two courses are related to each other and different from each other. In order to improve the learning effect and efficiency of the two courses， and achieve the purpose of learning for application and research for application， this paper explores the case-based teaching mode of “one question - two courses”， selects the after-class exercises in the course of Elastic Mechanics and Finite Element， compares the results of theoretical analysis and finite element simulation analysis， and finds out the key points， difficulties and differences in the learning process of the two courses， so as to help students understand the knowledge of Elastic Mechanics and Finite Element， help to combine the theory and method with engineering practice， and achieve the learning effect by analogy. This teaching mode has been successfully applied in the teaching process of graduate students for 5 years， which is worthy of promotion and use.

Key words： Elastic Mechanics and Finite Element; Finite Element Analysis Software and Application; case-based teaching; teaching mode; curriculum reform