数学思想在解答函数零点个数问题中的应用

邱香云

函数零点的个数问题比较常见，常见的命题形式有两种：（1）求函数零点的个数;（2）已知函数零点的个数，求参数的取值范围.下面结合实例，谈一谈如何巧妙运用数学思想解答函数零点的个数问题.

一、利用方程思想

函数f（x）的零点即为函数f（x）=0时x的取值.因此，在解答函数零点的个数问题时，可利用方程思想，令函数f（x）=0，将问题转化为求函数f（x）所对应的方程f（x）=0的解的个数.解该方程，便可确定函数的零点的个数.

所以函数f（x）有4个零点.

该函数为分段函数，需分-π

二、利用数形结合思想

函数的图象是解答函数问题的重要工具.由于函

数f（x）的零点即为函數f（x）与x轴交点的横坐标，所以可利用数形结合思想，根据函数的解析式画出函数的图象，通过研究函数的图象与x轴交点的个数，来求得函数零点的个数.

例2.求函数f（x）=lnx+2x-4零点的个数.

令f（x）=lnx+2x-4=0，可得lnx=4-2x，

设g（x）=lnx，h（x）=4—2x，分别画出两个函数的图象，如图1所示，

由图可知两个函数的图象交于第一象限，

而g（x）=lnx在第一象限单调递增，h（x）=4-2x在第一象限单调递减，

所以两个函数的图象只有1个交点，

所以函数f（x）=lnx+2x-4只有1个零点.

该函数由两个简单初等函数g（x）、h（x）构成，于是令f（x）=0，将方程变为g（x）=h（x）的形式，构造出两个新函数，然后在同一坐标系中分别画出g（x）和h（x）的图象，利用数形结合思想来解题.通过观察两个函数的图象，即可明确其交点的个数.两个函数的图象有几个交点，方程g（x）=h（x）就有几个解，函数f（x）=0就有几个解，函数f（x）就有几个零点.

例3.已知函数f（x）=ax-2lnx（a∈R）有2个零点，求a的取值范围.

解：令f（x）=0，可得ax-2lnx=0

则当00，g′（x）>0;

当x>e时，1-lnx<0，g′（x）<0，

所以g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，

解答本题的关键在于将f（x）=0进行适当的变形，通过分离参数，构造出两个函数，利用数形结合思想来研究两个函数图象的交点.在画函数的图象时，可利用导数法来判断函数的单调性，求函数的最值，以便确定函数图象的变化情况.

总之，解答函数零点的个数问题，可以从方程和图象两个方面入手，利用方程思想和数形结合思想来解答.一般地，若易于求得方程f（x）=0的解，则可利用方程思想，通过解方程来解题;若不易求得方程f（x）=0的解，则需利用数形结合思想，借助函数图象来讨论函数零点的个数.