APP下载

数学思想在解答函数零点个数问题中的应用

2022-05-31邱香云

语数外学习·高中版中旬 2022年8期
关键词:交点零点个数

邱香云

函数零点的个数问题比较常见,常见的命题形式有两种:(1)求函数零点的个数;(2)已知函数零点的个数,求参数的取值范围.下面结合实例,谈一谈如何巧妙运用数学思想解答函数零点的个数问题.

一、利用方程思想

函数f(x)的零点即为函数f(x)=0时x的取值.因此,在解答函数零点的个数问题时,可利用方程思想,令函数f(x)=0,将问题转化为求函数f(x)所对应的方程f(x)=0的解的个数.解该方程,便可确定函数的零点的个数.

所以函数f(x)有4个零点.

该函数为分段函数,需分-π

二、利用数形结合思想

函数的图象是解答函数问题的重要工具.由于函

数f(x)的零点即为函數f(x)与x轴交点的横坐标,所以可利用数形结合思想,根据函数的解析式画出函数的图象,通过研究函数的图象与x轴交点的个数,来求得函数零点的个数.

例2.求函数f(x)=lnx+2x-4零点的个数.

令f(x)=lnx+2x-4=0,可得lnx=4-2x,

设g(x)=lnx,h(x)=4—2x,分别画出两个函数的图象,如图1所示,

由图可知两个函数的图象交于第一象限,

而g(x)=lnx在第一象限单调递增,h(x)=4-2x在第一象限单调递减,

所以两个函数的图象只有1个交点,

所以函数f(x)=lnx+2x-4只有1个零点.

该函数由两个简单初等函数g(x)、h(x)构成,于是令f(x)=0,将方程变为g(x)=h(x)的形式,构造出两个新函数,然后在同一坐标系中分别画出g(x)和h(x)的图象,利用数形结合思想来解题.通过观察两个函数的图象,即可明确其交点的个数.两个函数的图象有几个交点,方程g(x)=h(x)就有几个解,函数f(x)=0就有几个解,函数f(x)就有几个零点.

例3.已知函数f(x)=ax-2lnx(a∈R)有2个零点,求a的取值范围.

解:令f(x)=0,可得ax-2lnx=0

则当00,g′(x)>0;

当x>e时,1-lnx<0,g′(x)<0,

所以g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,

解答本题的关键在于将f(x)=0进行适当的变形,通过分离参数,构造出两个函数,利用数形结合思想来研究两个函数图象的交点.在画函数的图象时,可利用导数法来判断函数的单调性,求函数的最值,以便确定函数图象的变化情况.

总之,解答函数零点的个数问题,可以从方程和图象两个方面入手,利用方程思想和数形结合思想来解答.一般地,若易于求得方程f(x)=0的解,则可利用方程思想,通过解方程来解题;若不易求得方程f(x)=0的解,则需利用数形结合思想,借助函数图象来讨论函数零点的个数.

猜你喜欢

交点零点个数
怎样数出小正方体的个数
2019年高考全国卷Ⅱ文科数学第21题的五种解法
一类Hamiltonian系统的Abelian积分的零点
等腰三角形个数探索
怎样数出小木块的个数
阅读理解
怎样数出小正方体的个数
借助函数图像讨论含参数方程解的情况
试析高中数学中椭圆与双曲线交点的问题
指数函数与幂函数图象的交点的探究性学习