数学思想在解答函数零点个数问题中的应用
2022-05-31邱香云
邱香云
函数零点的个数问题比较常见,常见的命题形式有两种:(1)求函数零点的个数;(2)已知函数零点的个数,求参数的取值范围.下面结合实例,谈一谈如何巧妙运用数学思想解答函数零点的个数问题.
一、利用方程思想
函数f(x)的零点即为函数f(x)=0时x的取值.因此,在解答函数零点的个数问题时,可利用方程思想,令函数f(x)=0,将问题转化为求函数f(x)所对应的方程f(x)=0的解的个数.解该方程,便可确定函数的零点的个数.
所以函数f(x)有4个零点.
该函数为分段函数,需分-π 二、利用数形结合思想 函数的图象是解答函数问题的重要工具.由于函 数f(x)的零点即为函數f(x)与x轴交点的横坐标,所以可利用数形结合思想,根据函数的解析式画出函数的图象,通过研究函数的图象与x轴交点的个数,来求得函数零点的个数. 例2.求函数f(x)=lnx+2x-4零点的个数. 令f(x)=lnx+2x-4=0,可得lnx=4-2x, 设g(x)=lnx,h(x)=4—2x,分别画出两个函数的图象,如图1所示, 由图可知两个函数的图象交于第一象限, 而g(x)=lnx在第一象限单调递增,h(x)=4-2x在第一象限单调递减, 所以两个函数的图象只有1个交点, 所以函数f(x)=lnx+2x-4只有1个零点. 该函数由两个简单初等函数g(x)、h(x)构成,于是令f(x)=0,将方程变为g(x)=h(x)的形式,构造出两个新函数,然后在同一坐标系中分别画出g(x)和h(x)的图象,利用数形结合思想来解题.通过观察两个函数的图象,即可明确其交点的个数.两个函数的图象有几个交点,方程g(x)=h(x)就有几个解,函数f(x)=0就有几个解,函数f(x)就有几个零点. 例3.已知函数f(x)=ax-2lnx(a∈R)有2个零点,求a的取值范围. 解:令f(x)=0,可得ax-2lnx=0 则当0 当x>e时,1-lnx<0,g′(x)<0, 所以g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减, 解答本题的关键在于将f(x)=0进行适当的变形,通过分离参数,构造出两个函数,利用数形结合思想来研究两个函数图象的交点.在画函数的图象时,可利用导数法来判断函数的单调性,求函数的最值,以便确定函数图象的变化情况. 总之,解答函数零点的个数问题,可以从方程和图象两个方面入手,利用方程思想和数形结合思想来解答.一般地,若易于求得方程f(x)=0的解,则可利用方程思想,通过解方程来解题;若不易求得方程f(x)=0的解,则需利用数形结合思想,借助函数图象来讨论函数零点的个数.