“糖水不等式”的证明及其应用技巧

李施贤

不等关系和相等关系是两种重要的代数关系，表示不等关系的式子通常被叫做不等式.在本文中，笔者主要谈一谈“糖水不等式”的证明及应用技巧.

一、证明“糖水不等式”的几种方法

人教版必修一（2019A版）43頁的练习10：已知b克糖水中含有a克糖（b>a>0），再添加m克糖（m>0）（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立.

下面来探讨一下“糖水不等式”的几种证明方法.

证法一：作差法.

因为b>a，所以b-a>0.

证法二：几何性质法.

如图1，构造RtΔABC，使∠C=90°，AC=b，BC=a，分别延长CA至A₁，CB至B₁，令AA₁=BB¹=m，过A₁作A₁B₂∥AB交CB₁于B₂，

从而可得BB₂1=m，

所以点B₂在BB₁之间，

故∠CAB=∠CA₁B₂<∠CA₁B₁，

tan∠CAB1B₁，

根据题意构造出直角三角形ABC，分别设出各条线段的长，便可构造出等比例的线段，通过比较角之间的关系式，比较出两个比例式的大小.

证法三：利用直线的斜率公式.

如图2所示，设A（b，a），B（-m，-m），

由图可知点A在直线OB的下方，

则k_OAAB

二、“糖水不等式”的应用技巧

“糖水不等式”来源于生活，且较为简单，便于记忆.“糖水不等式”表示的是在一个真分数的分母、分子上同时加上一个正数时，分数将变大，且小于1，这种不等关系与不等式的传递性有所不同，因此在解题中能发挥巨大的作用，尤其在比较大小关系、证明不等式时，运用“糖水不等式”，可使问题快速得解.

例1，（2020全国III理科，第12题）5⁵<8⁴，13⁴<8⁵，设a=log₅3，b=log₈5，c=log₁₃8，则（）.

A.a

C.b

用排除法可得本题选A.

例2.已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=3a_n+1.

当n≥2时，由“糖水不等式”得

在求得数列的通项公式后，便可在通项公式的分子、分母上同时加上常数“1”，利用“糖水不等式”进行放缩，就能构造出一个等比数列，根据等比数列的前n项和公式进行求和，即可证明不等式.

例3.设n∈N^*，x_n是曲线y=x²ⁿ⁺²+1在点（1，2）处的切线与%轴交点的横坐标.

（1）求数列{x_n}的通项公式;

例4.已知函数f（x）=ln（1+x）-x.记f（x）在区间[0，π]（n∈N^*）上的最小值为b_x，令a_n=ln（1+n）-b_x.

解：（1）略;

（2）由已知条件可以求得a_n=n.

本题乍一看比较难，但将通项公式平方，再利用“糖水不等式”，将分子，分母都减去一个正数，分数值就会增大，从而使不等式得以简化.用“糖水不等式”便将不等式进行巧妙的放缩，问题就能顺利得解.

从上述分析可以看出，利用“糖水不等式”，可使原本复杂的解题过程变得简单，使整个解题的思路变得清晰、明朗.这就启发我们在以后的学习中，不仅要掌握知识，还要多探究知识产生、发展的背景及其应用，以达到举一反三、融会贯通的目的，这样便能在解题时做到游刃有余.