对一类概率问题解法的探究
2022-05-31金毅
金毅
概率是高中数学中的重要模块.常见的概率问题主要有等可能事件的概率(即古典概型)、几何概型、条件概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立的事件同时发生的概率(包括n次独立重复试验的概率)等.解答这些概率问题的常用方法有定义法、公式法、间接法等.而对于n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率问题,仅利用公式、定义,无法顺利求得问题的答案,本文重点谈一谈解答此类概率问题的两种途径.
一、利用数列的通項公式
例1.甲,乙,丙,丁四个人相互之间传球,从甲开始传球,甲等可能地把球传给乙,丙,丁中的任何一个人,依此类推.设经过n次传球后,球落在甲手上的概率为an.
(1)求a1,a2,an;
(2)探究:随着传球的次数足够多,球落在甲,乙,丙,丁4人手上的概率是否相等,并说明理由.
二、利用函数的性质
例2.某工厂生产某种电子产品,每件产品不合格的概率均为p,每件产品检验合格与否相互独立.现工厂要求将产品每k个(k≤5)一组进行分组检验,如果某一组产品检验合格,则说明该组内产品均合格,若检验不合格,则说明该组内有不合格产品,再对该组内每一件产品单独进行检验.设该工厂生产1000件产品,记每件产品的平均检验次数为X.
(1)求X的分布列及数学期望;
(2)当p=0.1时,求使该方案最合理时k的值及1000件产品的平均检验次数.
所以X的分布列如下:
当1≤k≤5,k∈N*时,g(k)单调递减,
所以当k=4时,平均检验次数最少,该方案最为合理,此时g(4)=0.594,所以1000件产品平均检验594次.
在解答概率问题时,要学会将随机变量X看作变量,将n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率、期望看作函数式,借助函数的性质来解题.
可见,解答概率问题,不仅要掌握概率中的基本公式、定义,会判断事件的类型,还需将问题与数列、函数关联起来,利用数列的通项公式、函数的性质来辅助解题,这样才能有效地提升解题的效率.