加纵肋无限长圆柱壳声散射

2022-05-31童韫哲潘谢帆邓红超

船舶力学 2022年5期

童韫哲，潘谢帆，邓红超，吴锟

（1.水声对抗技术重点实验室，上海 201108；2.上海船舶电子设备研究所，上海 201108）

0 引言

水下航行器或航空飞行器的结构可以近似成有内部子结构的圆柱。按子结构对圆柱壳的作用方式，常见子结构可以主要分为周向加载子结构和纵向加载子结构，而加周期纵肋圆柱壳属于纵向加载的子结构[1]。

近些年，有大量文章研究了周向加载不同子结构圆柱壳的声散射问题，较典型的周向子结构是舱壁板[2-7]和环肋[8-12]。舱壁板和环肋对圆柱壳的作用可以分为轴向反力、径向反力、切向反力和弯矩。轴向反力与切向反力只在剪切波和纵波的截止范围内起作用，径向反力则在剪切波和纵波截止角外大部分角度范围内起重要作用，弯矩的贡献很小并只在高频起作用，在中低频弯矩贡献可以忽略[13]。当舱壁板或环肋轴向等间隔周期排列时，除了正横附近能观察到由圆柱壳体产生的纵波和剪切波外，在其它大部分角度范围内存在由周期结构引起的Bragg 散射和Bloch-Floquet 波散射现象[8-9]。此外，潘安等[13]理论研究了同时加载舱壁板和环肋圆柱壳的散射问题，研究表明，在低频段舱壁板剧烈的面外振动限制了因环肋引发的Bloch-Floquet弯曲波的传播。

目前，对于纵向加载子结构圆柱壳的研究相对较少，对于实际工程中纵向子结构的研究主要针对铺纵向加载子结构圆柱壳声散射问题。Guo[14-15]理论计算了加载弹簧振子和铺板圆柱壳的声散射问题，研究表明，内部子结构最主要的作用是辐射亚音速的弯曲波；Klauson 等[16-20]研究了纵向加肋或隔板的圆柱壳散射问题，指出圆柱壳与内部结构物的衔接点能够激发并辐射亚音速的弯曲波，并且壳体中的传播波在衔接点会发生类型转换。之后，童韫哲等[21]通过理论和实验的方法研究了加刚性铺板圆柱壳声散射机理，研究表明，铺板能够使壳体中的亚音速弯曲波辐射到远场。

纵肋与铺板类似，都属于纵向加载的子结构，其对圆柱壳的反力主要改变圆柱壳的周向振动状态，引起周向模态的耦合。为了研究纵肋对圆柱壳声散射的影响，本文首先导出加纵肋圆柱壳的表面径向振速和声散射场的解析解表达式。壳体振动采用薄壳理论的Donnell方程描述，考虑纵肋的纵振动和弯曲振动。通过周向模态展开和周期性条件导出在平面波激励情况下的圆柱壳径向振速及散射声场的解析解表达式。在此基础上，将周向模态看作对应的圆柱壳离散周向波数，数值计算离散周向波数频率谱，并据此对圆柱壳弹性波的激发和再辐射进行分析，解释远场声散射特征的形成机理。

1 理论分析

以圆柱壳中心为坐标原点，声波的入射角为φ0和θ0，如图1所示。设圆柱薄壳的中面半径为a，壳体厚度为hs，且hs/a≪1，杨氏模量为Es，泊松比为σs，密度为ρs，纵肋横截面的高和宽用大写字母H和W表示。壳体浸没在密度为ρf，声速为cf的流体介质中。

图1 无限长纵向加肋圆柱壳示意图Fig.1 Geometry of infinitely long cylindrical shells with lengthwise ribs

1.1 外部声场方程

省略时间因子e-iωt，入射声波可以写成

式中，K=kfcosθ0，γ=kfsinθ0，kf=ω/cf，ω为入射声波的角频率，Jn是第n阶贝塞尔函数。外部流体总声场为

式中：prig为散射声场的刚性部分，主要包含目标外表面的几何信息；pres为散射声场的弹性部分，主要包含目标的材料属性和内部结构信息。

式中，Hn是n阶第一类汉克尔函数，ẇn是径向振速的模态展开，并且ẇn=-iωwn。

1.2 壳体振动方程

圆柱壳运动分别通过轴向、周向和径向位置表示，其模态展开为

壳体振动的控制方程采用Donnell方程，将公式（5）代入控制方程，得到n阶振动满足的控制方程，具体推导过程参见文献[26]。

式中，J=a2/ρschs是常数，系数矩阵L(n)见附录A。Pn是刚性表面总声压的展开系数，Z是圆柱壳n阶模态辐射声阻抗，fzn和fwn是纵肋纵振动和弯曲振动对圆柱壳反力的展开系数。

1.3 纵肋对圆柱壳的反力

当肋很细时纵肋扭转振动的作用相当于四极子源，可以忽略。只考虑纵振动和弯曲振动的反作用力，单根纵肋的纵振动和弯曲振动方程可以写成

设沿圆周布有T根纵肋，第l根纵肋位于φl，得到纵向和径向总作用力为

利用三角函数的正交性得到总作用力的周向n阶模态展开系数为

此式表明n阶展开系数与n'阶振速有关，这是纵肋导致周向模态的耦合，其中：

n'=n时为n阶自阻抗否则为互阻抗。φl是第l根纵肋的圆周角，在均匀分布的情况下，纵肋间隔Δφ=2π/T。为简单起见，当纵肋均匀分布时设φl=0，利用等比级数求和的公式得到

令n'-n=mT，对n'的求和可以换成对m求和。当纵肋与壳体衔接时肋骨振速应该等于圆柱壳体的振速，因此有

若只考虑自阻抗不考虑互阻抗，则上式退化成

将公式（16）代入公式（6）可解出

其中Mij是矩阵L(n)对应的行列式|L(n) |中元素Lij的余子式。和分别是轴向力和径向力产生轴向振动u̇n的机械阻抗和分别是轴向力和径向力产生径向振动ẇn的机械阻抗。仿照文献[25]的方法引入算子S{·}可以解出ẇn，详细请见附录A，最后将ẇn代入公式（4）得到散射声场。把散射声场写成形态函数的形式：

式中，Ω=kfa是归一化频率，是柱面波传播规律，r是距离是按半径a归一化量，本文的计算结果会以背向散射声场形态函数f的形式给出。

2 数值计算和结果分析

基于以上理论分析，通过数值算例说明纵向加肋后对水中圆柱壳声散射特性的影响。圆柱壳体的基本参数：a=8 mm，壳厚半径比为hs/a=1.38%，壳体内部均匀排列了T根纵肋。壳体与纵肋材料一致，密度ρs=7850 kg/m3，杨氏模量Es=210 GPa，泊松比σs=0.3；纵肋横截面宽W=0.4 cm，纵肋横截面高H=0.8 cm。水的密度ρf=1000 kg/m3，声速cf=1500 m/s。

2.1 加纵肋圆柱壳中的共振频率分析

本文研究的纵肋沿周向均匀分布，纵肋对圆柱壳的反力主要改变周向振动状态，因此引起周向模态的耦合。为了分析纵肋对壳体振动的影响，首先考虑声波正入射情况（θ0=90o）。对于Donnell 方程描述的无限长圆柱壳，壳体中的弹性波可以分为纵波、弯曲波和剪切波，而声波正入射时壳体中不存在剪切波。由公式（4）可知，结构的弹性回波由壳体的径向振速ẇn决定。为了分析纵肋对壳体振动的影响，本文将n/a看作离散周向波数（因为n只能取整数），取ẇn的分贝值20log10| |ẇn，画出了壳体径向振速的离散周向波数频率谱，如图2所示。

图2 的横坐标是归一化频率Ω，取值范围是1～10；纵坐标是离散周向波数，取值范围是-800～800 m-1。白色虚线是水中声波波数，白色虚线内的区域是可高效辐射的超音速波，在超音速区域内的黑点是纵波在圆柱壳周向发生共振形成的。在本文的计算频段（1＜Ω＜10）内，纵波波数小于水中声波波数，根据Snell 定律，声波可以在临界角θc=sin-1（ks0/kf）进入壳体表面[26]，其中ks0是纵波波数。由于弯曲波波数大于水中声波数，弯曲波对应的临界角大于90o，无法在壳体的光滑处激发，如图2 所示。所以，基本圆柱壳的散射声场中无法观察到弯曲波特征。

图2 基本圆柱壳离散周向波数频率谱图（白色虚线标出了水中声波波数±kf）Fig.2 Discrete circumferential wavenumber spectrum of radial displacement in decibels (dB) for an unribbed cylindrical shell

图3 计算了声波入射角不同时加单根纵肋（T=1）圆柱壳的离散周向波数频率谱图，此时，纵肋位于φl=0o。声波入射角φ0=0o时纵肋处于亮区，φ0=180o时纵肋处于影区。可以看出，无论纵肋处于亮区还是影区，在离散周向波数频率谱中都能观察到弯曲波及其周向共振形成的亮点。不同之处在于，亮区的纵肋激发的弯曲波能量较大，而影区的纵肋激发的弯曲波能量较小。在声波的激励下，壳体的振动带动了纵肋的振动，纵肋对壳体的反力激发了壳体中的弯曲波。圆柱壳的亮区受声波直接照射，相比于影区振动幅度更大，因此亮区的纵肋对壳体的反力也更大[21]。所以，当纵肋处于亮区时，其激发的弯曲波能量更大。

图3 加单根纵肋（T=1）圆柱壳离散周向波数频率谱图（白色虚线标出了水中声波波数）Fig.3 Discrete circumferential wavenumber spectra of radial displacement in decibels (dB)for a cylindrical shell with one rib(T=1)

当纵波波数与归一化频率满足Ω=nkf/ks0，纵波会在圆柱壳周向达到驻波状态，形成强烈共振[24]，图2 中白色虚线内的黑点是由纵波的共振产生。因为纵波是超音速波，形成共振状态的纵波能够在壳体表面光滑处高效辐射到远场[23]，并在远场声压形态函数频谱中形成共振谷，如图4 所示。图4 给出了正入射时，基本圆柱壳与加单根纵肋圆柱壳散射声场形态函数频率谱对比图。与纵波一样，当弯曲波波数ka0与归一化频率满足Ω=nkf/ka0时，弯曲波也会在圆柱壳周向达到驻波状态，形成强烈共振。如图3所示，无论纵肋处于亮区还是影区，纵肋对壳体的反力都能激发壳体中的弯曲波并在周向形成共振。不同于纵波，由于弯曲波是亚音速波而无法在壳体光滑处高效辐射到远场，只能通过纵肋与圆柱壳的衔接点再辐射[21]。

图4 基本圆柱壳与加单根纵肋圆柱壳远场声压对比图Fig.4 Comparison of backscattering form function between ribbed(T=1)and unribbed cylindrical shells with different incidence angle

基于图3中因弯曲波共振产生亮点的位置，在图4中用黑色虚线标出了弯曲波的共振频点。对比图4（a）和（b）可以看出，当φ0=0o时，形成共振的弯曲波能够通过纵肋与圆柱壳的衔接点高效辐射到远场，并在远场声压形态函数频谱图中形成共振特征。当φ0=180o时，影区处纵肋与圆柱壳的衔接点同样能够高效辐射弯曲波，不同的是由于纵肋处于影区，对背向散射声场的影响较弱[21]。

2.2 纵肋数量对散射声场的影响

由前文的理论建模可知，纵肋对壳体的阻抗可以分为自阻抗和互阻抗。自阻抗主要体现了纵肋的附加质量，附加质量能够影响圆柱壳中纵波和弯曲波的相速度；而互阻抗主要体现了纵肋均匀分布对圆柱壳的影响[22]。本文研究的是加纵肋圆柱壳的声散射问题，纵肋数量的不同必然导致附加质量和分布的不同。为了研究纵肋数量对散射声场的影响，本节分别分析纵肋的自阻抗和互阻抗对散射声场的影响。图5给出了随纵肋数量增加，入射角θ0=90o，φ0=0o时加纵肋圆柱壳声散射形态函数频率谱，及忽略互阻抗和考虑互阻抗的情况对比。

由图5 可以看出，当纵肋数量较少时，忽略互阻抗的远场声压形态函数与基本圆柱壳几乎一致，互阻抗对散射声场起主要作用。因为纵肋较少时，纵肋的附加质量相比于壳体质量较小，对壳体中的纵波和弯曲波的相速度影响很小。此时纵肋对弯曲波的激发以及再辐射是散射声场的主要特征。随着纵肋数量的增加，远场声压中的弯曲波共振特征逐渐减少，互阻抗对远场声压的影响也逐渐减少。因为当纵肋分布密集时，纵肋对壳体的反力阻碍了壳体的弯曲振动[1]。纵肋数量的增加也导致了结构附加质量的增加，改变了壳体中纵波的相速度，使纵波共振峰发生偏移。当纵肋数量进一步增加时，互阻抗对散射声场的贡献逐渐减小，远场声散形态函数中因互阻抗引起的弯曲波特征逐渐消失，仅纵肋的附加质量对远场声压有贡献，如图5（d）所示。

图5 加不同数量纵肋圆柱壳散射声场形态函数频率谱对比图Fig.5 Comparison of backscattering form function from a cylindrical shell with different number ribs

2.3 斜入射情况，θ0≠90o

无限长基本圆柱壳的背向散射声场特征主要集中在正横附近，一部分是高幅值几何散射，另一部分是壳体的弹性波。壳体的弹性波具有截止角的纵波和剪切波，截止角为θs=cos-1（cf/cs），θT=cos-1（cf/cT），cs和cT是纵波和剪切波的相速度，其表达式见附录A。由前文的理论分析可知，纵肋对圆柱壳散射声场的主要作用是激发和再辐射亚音速的弯曲波。为了分析斜入射（θ0≠90o）时纵肋对散射声场的影响，分别计算了φ0=0o和θ0=85o，65o，45o时加单根纵肋圆柱壳的背向散射形态函数频率谱，此时纵肋始终处于亮区，计算结果如图6所示。

图6 斜入射时散射声场形态函数频率谱对比图Fig.6 Comparison of backscattering form function from a ribbed(T=1)cylindrical shell at oblique incidence

根据本文使用的材料参数，纵波和剪切波的截止角分别为θs=73.9o，θT=62.1o。入射角θ0=85o时，纵波和剪切波都能被入射声波激发；入射角θ0=65o时，入射角小于纵波截止角而大于剪切波截止角，只有剪切波能被入射声波激发；入射角θ0=45o时，入射角小于剪切波截止角，纵波和剪切波都无法被入射声波激发。对于基本圆柱壳，当入射角大于两个截止角时，除了在纵波和剪切波的共振频率，远场声压随频率的变换较平缓，如图6（a）和（b）的黑色实线所示。加纵肋后，远场声压随频率剧烈变化，纵肋激发和再辐射的弯曲波形成的共振成为散射声场的主要特征，此时纵波和剪切波的大部分散射特征被弯曲波共振掩盖。对于基本圆柱壳，当入射角小于剪切波和纵波截止角时，无任何弹性波辐射到远场，远场声压随频率的变化是一条平滑的曲线。值得注意的是，加纵肋后，仍然能观察到因弯曲波共振引起的远场声压随频率的剧烈变化，这是因为亚音速弯曲波的再辐射机理与纵波和剪切波的再辐射机理不同。纵波和剪切波是超音速波，根据Snell 定律，纵波和剪切波能在临界角内通过相位匹配的方式高效辐射声能。而弯曲波是亚音速波，只能通过纵肋与圆柱壳的衔接点辐射声能，这种辐射机理不存在临界角。实际上，纵波和剪切波也能通过纵肋与圆柱壳的衔接点辐射声能。然而在同样辐射机理的情况下，弯曲波辐射对声场的贡献远大于其它弹性波[25]。

3 结论

舱壁板和环肋沿圆柱壳纵向分布，其所产生的反力主要改变圆柱壳的纵向振动状态，引起纵向模态的耦合；而纵肋沿圆柱壳轴向分布，其所产生的反力主要改变轴向振动状态，引起轴向模态的耦合。为了研究纵肋对圆柱壳声散射的影响，本文在圆柱壳的周向使用模态展开和周期条件导出了平面波正入射时圆柱壳表面位移和远场声压计算公式。数值计算给出了壳体径向位移的离散周向波数频率谱和背向散射形态函数频率谱，通过分析分别解释了纵肋的附加质量及其分布对壳体中弹性波的影响，并以此为基础深入分析了背向散射声场中的特征。研究表明：

（1）在本文研究频段（1＜Ω＜10），声波正入射时只能直接激发壳体中超音速的纵波。加纵肋后，纵肋对圆柱壳的反力能够激发壳体中亚音速的弯曲波。对于超音速的纵波，其振动能量能直接在壳体光滑处通过相位匹配的方式高效辐射到远场，在声压形态函数中形成共振特征。

（2）纵肋数量较少时，纵肋对圆柱壳散射声场的主要作用是激发及辐射亚音速的弯曲波。随着纵肋数量的增加，纵肋附加质量也增加，这不但使纵波共振谷发生了偏移，还影响了远场声压形态函数频率谱中弯曲波的共振特征。当纵肋数量足够大时，纵肋附加质量对纵波共振谷的影响成为加纵肋圆柱壳散射声场中的主要特征。

（3）斜入射时，若入射角大于纵波和剪切波的截止角，基本圆柱壳和加纵肋圆柱壳中的纵波和剪切波都能被入射声波激发并高效辐射到远场。加纵肋后，纵肋激发和辐射的弯曲波在远场声压中起主要作用，纵波和剪切的特征被抑制。若入射角小于纵波和剪切波的截止角，纵波和剪切波均无法辐射到远场，远场声压中只能观察到通过纵肋与圆柱壳衔接点辐射的弯曲波特征。