含参数的二次方程整数根的求解途径

黄马庆福建省晋江市第一中学高级教师。2011年指导的学生荣获泉州市一等奖。多次荣获“优秀指导教师”称号。多篇论文发表于《数理天地》、《中学数学》、《高中数学教与学》、《中学数学杂志》等CN级刊物。

含参数的二次方程整数根问题，是初中数学竞赛中常考的题型.本文简单归纳其求解的思考途径.

因为一元二次方程ax2+bx+c=0在Δ=b2-4ac≥0时有根x=-b±Δ2a，所以要使方程有整数根，必须Δ=b2-4ac为完全平方数，并且-b±Δ为2a的整数倍.这是基本思想.故常用思考途径有以下几种：

1 从判别式入手

例1 当x为何有理数时，代数式9x2+23x-2的值恰为两个连续正偶数的乘积？

解 设两个连续正偶数为k，k+2.

则9x2+23x-2=k（k+2），

即9x2+23x-（k2+2k+2）=0.

由于x是有理数，所以判别式为完全平方数，即

Δ=232+4×9（k2+2k+2）

=565+[6（k+1）]2，

令Δ=p2（p≥0），有

p2-[6（k+1）]2=565=113×5=565×1.

左边=[p+6（k+1）][ p-6（k+1）]，p≥0，k>0，得

p+6（k+1）=113，p-6（k+1）=5，①

或p+6（k+1）=565，p-6（k+1）=1，②

解①得k=8，于是x=2或-419;

解②得k=46，于是x=-17或1309.

综上可知，当x=2，-419或x=-17，1309时，9x2+23x-2恰为两正偶数8和10，或者46和48的乘积.

因为“两根为整数时，其和、积必为整数”因此，可以从根与系数的关系式中消去参数进行求解.

2 从根与系数的关系入手

例2 a是大于零的實数，已知存在唯一的实数k，使得关于x的二次方程x2+（k2+ak）x+1 999+k2+ak=0的两个根均为质数. 求a的值.

解 设方程的两个质数根为p，q.由根与系数的关系，有

p+q=-（k2+ak），①

pq=1 999+k2+ak.②

①+②，得 p+q+pq=1 999，

则（p+1）（q+1）=24×53.③

由③知，p，q显然均不为2，所以必为奇数.

故p+12和q+12均为整数，

且p+12·q+12=22×53.

若p+12为奇数，则p+12=5r（r=1，2，3），从而，p=2×5r-1为合数，矛盾. 因此，p+12必为偶数.同理，q+12也为偶数.所以，p+12和q+12均为整数，

且p+14·q+14=53.

不妨设p≤q，则p+14=1或5.

当p+14=1时，q+14=53，得p=3，q=499，均为质数.

当p+14=5时，q+14=52，得p=19，q=99，q为合数，不合题意.

综上可知p=3，q=499.

代入①，得 k2+ak+502=0.④

依题意，方程④有唯一的实数解.

故Δ=a2-4×502=0.

有a=2502.

如果根的表示式复杂，从韦达定理得出的关于参数（不妨设为a）的两个关系式中消去参数a也较困难， 当方程中a的次数相同时，可以考虑将原方程变形为关于a的一次方程.

3 变更主元

例3 试求所有这样的正整数a，使方程ax2+2（2a-1）x+4（a-3）=0至少有一个整数解.

解 因为方程中参数a是一次，所以可将a用x表示，即

a=2（x+6）（x+2）2.

又a是正整数，则 2（x+6）（x+2）2≥1.

解得-4≤x≤2且x≠-2.

故x=-4，-3，-1，0，1，2.

分别代入①，得符合题意的a的值为1，3，6，10.

练习

1.已知方程a2x2-（3a2-8a）x+2a2-13a+15=0（其中a为非负整数）至少有一个整数根.那么，a=.

2.求满足如下条件的整数k，使关于x的二次方程（k-1）x2+（k-5）x+k=0的根都是整数.

3.已知关于x的一元二次方程x2+cx+a=0的两个整数根恰好比方程x2+ax+b=0的两个根都大1，求a+b+c的值.

4.若关于x的方程ax2+2（a-3）x+（a-13）=0至少有一个整数根，求非负整数a的值.

答案

1.1，3或5.

2.k=0或2.

3.-3或29.4.1，13.