第12届(2010年) “希望杯”全国数学邀请赛试题初中二年级 第1试
2022-05-30
一、选择题
1. 设x=2001-2000，y=2000-1999， 则x，y的大小关系是（）
（A） x>y.（B） x=y.
（C） x 2. 代数式x+x-1+x-2的最小值是（） （A） 0.（B） 1+2. （C） 1.（D） 不存在的. 3.设b≠c，且满足（3+1）（a-b）+2（b-c）=a-c，则a-bb-c的值（） （A） 大于零.（B） 等于零. （C） 小于零.（D） 的正负号不确定. 4.设y=x4-4x3+8x2-8x+5，其中x为任意实数，则y的取值范围是（） （A） 一切实数. （B） 一切正实数. （C） 一切大于或等于5的实数. （D） 一切大于或等于2的实数. 5.已知点D在线段EF上，下列四个等式： ① DE=2DF， ② DE=13EF， ③ EF=2DF， ④DF=12DE， 其中能表示：点D是线段EF的一个三等分点的表达式是（） （A） ①②③.（B） ②③④. （C） ①②④.（D） ①③④. 6.已知△ABC中，∠B=60°， ∠C>∠A，且（∠C）2=（∠A）2+（∠B）2， 則△ABC的形状是（） （A） 锐角三角形. （B） 直角三角形. （C） 钝角三角形. （D） 直角或钝角三角形. 7.凸n边形中有且仅有两个内角为钝角，则n的最大值是（） （A） 4.（B） 5. （C） 6.（D） 7. 图1 8.如图1，ABCD是边长为1的正方形，EFGH是内接于ABCD的正方形，AE=a， AF=b， 若SEFGH=23，则|b-a|等于（） （A） 22. （B） 23. （C） 32.（D） 33. 9.某工厂生产的灯泡中有15是次品，实际检查时，只发现其中的45被剔除，另有120的正品也被误以为是次品而剔除，其余的灯泡全部上市出售，那么该工厂出售的灯泡中次品所占的百分率是（） （A） 4%.（B） 5%. （C） 6.25%.（D） 7.25%. 10.在正常情况下，一个司机每天驾车行驶t小时，且平均速度为v千米/小时，若他一天内多行驶1小时，平均速度比平时快5千米/小时，则比平时多行驶70千米，若他一天内少行驶1小时，平均速度比平时慢5千米/小时，他将比平时少行驶（） （A） 60千米.（B） 70千米. （C） 75千米.（D） 80千米. 二、A组填空题 11.计算：2001×20002000-2000×20012001=. 12.已知关于x的不等式2m+x3≤4mx-12的解是x≥34，那么m的值是. 13.Root of the equation x3+x15+x35+x63=2 is. （英汉小字典：root根; equation方程.） 14.已知x2+2x+5是x4+ax2+b的一个因式，那么a+b的值是. 15.若三角形的三个外角的比是2∶3∶4，则它的三个内角的比是. 16.若∠A的补角的余角大于30°，12∠B的余角的补角小于150°，那么∠A与∠B的大小关系是. 17.如图2，△ABC中，∠A=30°，CD是∠BCA的平分线，ED是∠CDA的平分线，EF是∠DEA的平分线，DF=FE，那么∠B的大小是. 图2图3 18.如图3，在菱形ABCD中，∠DAB=120°，点E平分DC，点P在BD上，且PE+PC=1，那么边长AB的最大值是. 19.已知x， y， z为实数，且满足x+2y-z=6，x-y+2z=3， 那么x2+y2+z2的最小值是. 20.已知n是正整数，且n4-16n2+100是质数，那么n=. 三、B组填空题 21.设A=|2x+1|-|1-2x|，则当x<-12时，A=;当x>12时，A=. 22.Suppose both a and b are integer. As （a-2b）（8-a）=1， then a+b=or.（英汉小字典：integer整数.） 图4 23.如图4，延长凸五边形A1A2A3A4A5的各边相交得到五个角：∠B1， ∠B2， ∠B3， ∠B4， ∠B5，它们的和等于;若延长凸n边形（n≥5）的各边相交，则得到的n个角的和等于. 24.我国在使用公元纪年的同时，也一直沿用我国古代创立的干支纪年法，如甲午战争中的甲午，辛亥革命中的辛亥就是年份的名称.干支中的干是天干的简称，是指：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸;支是地支的简称，是指：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥.在纪年时，同时分别从甲子开始，不改变各自的顺序，循环往复下去.已知公元2001年是辛巳年，那么公元1999年是年，上一个辛巳年是公元年. 25.若ab=bc=cd=da，则a-b+c-da+b-c+d的值是或. 参考答案 一、选择题 题号12345678910 答案CBCDCABDBA 提示 1.x=2001-2000=12001+2000， y=2000-1999=12000+1999， 因为 2001+2000>2000+1999， 所以x 选（C）. 2.要使代数式x+x-1+x-2有意义，需满足条件： x≥0 x-1[]≥[]0 x-2≥0， 所以x≥2. 当x≥2时， x+x-1+x-2 ≥2+2-1+2-2 =2+1. 即x=2时，原代数式取得最小值2+1. 选（B）. 3.因为（3+1）（a-b）+2（b-c） =a-c， 所以（3+1）（a-b）+2（b-c）- （a-b）-（b-c）=0， 所以3（a-b）+（2-1）（b-c）=0， 即3（a-b）=（1-2）（b-c）. 因为b≠c，b-c≠0. 所以a-b[]b-c[SX）]=[SX（]1-[KF（]2[KF）][][KF（]3[KF）][SX）]<0. 选（C）. 4.y=x4-4x3+8x2-8x+5 =x4+4x2+4-4x3+4x2-8x+1 =（x2+2）2-4x（x2+2）+（2x）2+1 =[（x2+2）-2x]2+1 =[（x-1）2+1]2+1， 因为（x-1）2≥0， 所以（x-1）2+1≥1. 所以当x=1时，y取得最小值2，即y的取值范围是一切大于等于2的实数. 选（D）. 5.点D在线段EF上. ①若DE=2DF，则D是线段EF的一个三等分点.所以①正确. ②若DE=13EF，同样点D是线段EF的一个三等分点. 所以②正确. ④若DF=12DE，点D也是线段EF的一个三等分点. 所以④正确. 综上可知①、②、④正确. 故选（C）. 6.△ABC中，∠B=60°，∠C>∠A， 设∠C=60°+x，则∠A=60°-x. 因为（∠C）2=（∠A）2+（∠B）2 所以 （∠B）2=（∠C）2-（∠A）2 =（∠C+∠A）（∠C-∠A）， 所以3600=120×2x， 所以x=15°. 所以∠C=75°，∠A=45°. 故△ABC是锐角三角形. 故选（A）. 图5 7.因为凸n边形的外角和为360°，所以在外角中最多有3个角为钝角，即内角中最多有3个不是钝角，再加上2个内角为钝角. 所以n≤5. 由图5知，可以作出n=5的多边形符合条件， 故选（B）. 图6 8.如图6，△AEF为直角三角形. 所以EF2=AE2+AF2. 又△AEF≌△DHE， 所以AF=DE， 所以a+b=1， a2+b2=23，①② ①2-②，得2ab=13，③ ②-③，得（a-b）2=13， 所以|a-b|=33. 故選（D）. 9.设工厂的总产量为M，则次品为15M;正品为45M;检查时，被剔除的次品数为 15M×45=425M， 被剔除的正品数为 45M×120=125M. 所以出售的产品中次品数为 15M-425M=125M. 而出售产品的总量为 125M+45M-125M=45M. 所以该工厂出售的灯泡中次品所占的百分率为 125M45M×100%=5%. 故选（B）. 10.由题意知 （t+1）（v+5）-vt=70， 即5t+v+5=70， 所以5t+v=65， 若每天少行驶1小时，且速度比平时慢5千米/小时，则 vt-（t-1）（v-5） =vt-vt+5t+v-5 =60（千米）. 故选（A）. 二、A组填空题 题号1112131415 答案091092315∶3∶1 题号1617181920 答案∠A>∠B50°233143 提示 11.设a=2000，则 原式=（a+1）·（10000a+a）- a[10000（a+1）+a+1] =10001·a·（a+1）-10001·a·（a+1） =0. 12.原不等式可化为 4m+2x≤12mx-3， 所以（12m-2）x≥4m+3，① 又因为原不等式的解为x≥34， 即4x≥3，② 比较①、②有 412m-2=34m+3， 解得m=910. 13.因为13=11×3=12×1-13， 115=13×5=12×13-15， 135=15×7=12×15-17， 163=17×9=12×17-19. 所以原方程化为 121-13x+1213-15x+1215-17x+1217-19x=2. 所以121-19x=2. 解得x=92. 14.因为x2+2x+5是x4+ax2+b的一个因式， 所以 x4+ax2+b =（x2+2x+5）·（x2+mx+n） =x4+（2+m）x3+（2m+n+5）x2 +（5m+2n）x+5n， 比较对应各项系数知 2+m=0，2m+n+5=a，5m+2n=0，5n=b， 解得m=-2，n=5. 所以a=2m+n+5=6， b=5n=25， 所以a+b=31. 15.设三角形的三个外角分别为2k、3k、4k. 因为三角形的外角和为360°， 所以三个外角分别为80°、120°、160°. 相应的三个内角分别为100°、60°、20°. 所以三个内角之比为5∶3∶1. 16.由已知得 90°-（180°-∠A）>30°， 所以∠A>120°. 又180°-90°-12∠B<150°. 所以12∠B<60°， 即∠B<120°， 所以∠A>∠B. 图7 17.如图7，在△DEF中，DF=EF， 所以∠FDE=∠FED， 即∠4=∠5. 又CD、DE、EF分别是∠BCA，∠ADC，∠AED的平分线， 所以∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6. 所以∠5=∠3. 所以EF∥CD （内错角相等，两直线平行）. 所以∠6=∠2， 即∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=∠6. 又∠1=∠3， 所以BC∥DE. 所以∠B=∠4=∠1. 所以∠ACB=2∠B. 在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°. 所以30°+3∠B=180°. 所以∠B=50°. 图8 18.如图8，取AD的中点F，连接PF、CF. 因为ABCD是菱形， 所以AD=DC， ∠1=∠2. 在△DEP和△DFP中， DE=DF，∠1=∠2，DP=DP， 所以△DEP≌△DFP， PE=PF. 又PE+PC=1， 所以PF+PC=1. 当P点在BD上运动时，只有当F、P、C三点共线时，PF+PC的值最小. 即PF+PC≥FC， 所以FC≤1， 在△FDC中，∠CDF=60°， DF=12DC. 所以△FDC是直角三角形， ∠CFD=90°. 設AB=CD=x，则 DF=12x， FC=CD2-DF2=32x. 所以32x≤1，x≤233. 所以AB≤233， 即AB的最大值为233. 19.已知x+2y-z=6，x-y+2z=3，①② ①-②得3y=3z+3， 即y=z+1.③ ③代入①得 x+2（z+1）-z=6， 即x=4-z. 所以x2+y2+z2 =（4-z）2+（z+1）2+z2 =16-8z+z2+z2+2z+1+z2 =3（z-1）2+14 ≥14. 当z=1，y=2，x=3时，x2+y2+z2取得最小值14. 20.因为 n4-16n2+100 =n4+20n2+100-36n2 =（n2+10）2-36n2 =（n2+6n+10）（n2-6n+10）， 因为n4-16n2+100为质数且n是正整数， 又n2+6n+10≠1， 所以n2-6n+10=1， 即（n-3）2=0， 所以n=3. 三、B组填空题 题号2122232425 答案-2;210;14180°;（n-4）180°己卯;19410;-2 提示 21.当x<-12时， 2x+1<0， 1-2x>0， 所以A=|2x+1|-|1-2x| =-（2x+1）-（1-2x） =-2. 当x>12时，2x+1>0， 1-2x<0. 所以A=|2x+1|-|1-2x| =2x+1-（2x-1） =2. 22.因为a，b均为整数， 所以a-2b，8-a为整数， 又（a-2b）·（8-a）=1， 所以a-2b=1，8-a=1，或a-2b=-1，8-a=-1. 解得a=7，b=3，或a=9，b=5. 所以a+b=10，或a+b=14. 图9 23.（1）因为∠B1A1A2是△A1B2B4的外角（如图9）. 所以 ∠B1A1A2 =∠B2+∠B4， 又∠B1A2A1是△A2B3B5的外角， 所以∠B1A2A1=∠B3+∠B5， 所以 ∠B1+∠B2+∠B3+∠B4+∠B5 =∠B1+∠B1A1A2+∠B1A2A1 =180°. 当多边形为n边形时（n≥5），顺次连接B1B2，B2B3，…，BnB1.则多边形B1B2…Bn为n边形，它的内角和为（n-2）·180°. ∠B1A2B2+∠B2A3B3+…+∠BnA1B1 =（n-2）·180°. 又n个小三角形△B1A2B2，△B2A3B3，…，△BnA1B1的内角均为180°，一共是n·180°，即∠B1+∠B2+…+∠Bn等于n边形内角和減去n个小三角形的内角和，再加上 n边形A1A2…An的内角和. 所以∠B1+∠B2+…+∠Bn =（n-2）·180°-n·180°+（n-2）·180° =（n-4）180°. （2）如图9，在△B1A1A2中， ∠B1+∠B1A1A2+∠B1A2A1=180°， 其中∠B1A1A2与∠B1A2A1都是多边形A1A2…An的外角. 将这n个小三角形△B1A1A2、△B2A2A3，…，△BnAnA1的内角全部加起来，得 n·180°=∠B1+∠B2+…+∠Bn-2·（n边形外角和） 所以 ∠B1+∠B2+…+∠Bn=（n-4）180°. 当n=5时， ∠B1+∠B2+∠B3+∠B4+∠B5=180°. 24.己卯;1941. 25.设ab=bc=cd=da=k， 所以d=a·k，c=d·k=a·k2， b=c·k=a·k3，a=b·k=a·k4. 所以k4=1， 即k=±1. 当k=1时，a=b=c=d. a-b+c-da+b-c+d=0. 当k=-1时，a=-b=c=-d， a-b+c-da+b-c+d=-2.
