基于数学建模在小学数学图形教学中的设计与思考

潘朝辉

一、問题的提出

《课标》提出：“在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程。” 图形与几何是人们用于解决实际问题和数学问题的重要模型，直观、空间想象等越来越成为一种重要的思维方式，合情推理和演绎推理贯穿了人们发现问题和解决问题的全过程。因此，在小学图形教学中，重视渗透模型化理念，让学生积累一定的数学模型思想，并逐步体会数学建模过程，既是数学教学的核心目标之一，也是学生数学素养形成的重要体现。然而在学生的实际学习过程中表现出数学活动经验缺失，空间观念和推理能力薄弱，在实际图形教学中，具体表现如下：

（一） 数学活动经验缺失

在图形教学中，为帮助学生建立较好的空间观念，需要教师不断地从生活实际中抽象出数学模型，实现生活原型到数学模型地过渡。然而，这个建模过程往往需要花大量的时间，让学生经历学习探究过程，积累活动体验，可是实际一节课只有短短40分钟，不少教师觉得这个时间很宝贵，就把这个数学与生活的有效建模时间压缩，使得新课展开时匆匆而过，而把大量时间花在反复练习巩固上，使得学生只会机械模仿进行题海式解题。

（二）数学意义理解浅层

空间是物质存在的一种客观形式，是物质存在的表现。空间观念是由长度、宽度、高度表现出来的客观事物在人脑里留下的概括的形象。小学生受生理和心理特征、知识结构以及认知能力的影响，很难建立及强化物体的空间观念，也较难形成完整的空间意识。例如在教学长方体体积计算时，绝大多数学生都能说出体积计算公式，却不能准确无误地说出长方体体积的意义，即这个长方体所含有多少个体积单位。当体积、表面积、棱长总和等多种表述混在一起时，就会错误百出，可见学生对于长方体体积的意义理解不够到位。

（三）公式应用生硬死板

在一个知识板块学习结束后，进入复习阶段，教师自我感觉只要将平时所教的零散知识点作系统回顾，就会取得不错的效果，可实际学生会出现问题：只能应用单一知识点，相似知识点之间混为一谈，做不到相似知识点灵活应用，更谈不上举一反三，导致学生每次学习时总是错误不断，教师只能多次巩固，导致学生学业负担加重，兴趣下降。

基于上述现状分析，笔者撰写了基于数学建模在小学数学图形教学中的设计与思考一文，试图在小学数学图形教学中加强数学建模思想方法的实践和应用，培养小学生的建模意识和能力，提高学生的数学素养。

二、教学实践

在图形教学活动中，数学建模的过程就是创设学生熟悉的问题情境，引导学生经历观察、实践、探索和思考等活动逐步建立数学模型，然后运用这一模型去解释生活中的一些现象和解决生活中的实际问题。通过这样的教学活动，有利于学生主动建立自己的认知结构，掌握数学知识的内涵，还有利于提高数学思考和实际解决问题的能力。

（一）表象积累，理解意义

在教学过程中充分利用一些来自学生身边的生活素材和实际问题，创设出符合学生实际的数学活动情境，为构建模型提供丰富的体验。而学生对模型的识别与理解是要一定的时间与实践强化的，教师要给予学生能强化记忆与理解的模型，这才能强化表象，促使数学模型的建立。

【案例一】选用超轻粘土

我们在进行圆锥的体积公式推导时，一般都是采用倒水或倒沙的实验：用圆锥从脸盆中装满沙（或水），倒到等底等高的圆柱中，进行了三次，正好把圆柱倒满。从这个实验中得出：圆锥的体积是与它等底等高圆柱体积的三分之一。得出结论后，学生运用公式的正确率一开始很好，但很快就会出现忘记“乘以三分之一”的现象，也就是在新课教学时，通过实践并没有真正建立“圆锥的体积是等底等高圆柱体积的三分之一”这个模型。由此，我们将实验的步骤进行了调整：在实验过程中，统一要求学生使用课前准备的超轻粘土（可以随意改变形状，并可以固定），实验时每个小组成员把超轻粘土先灌满圆柱，再从圆柱中取出粘土到等底等高的圆锥中，并将圆锥中的超轻粘土取出，呈现冰激凌状，依次这样操作，看一看圆柱的超轻粘土可以做出这样几个冰激凌状粘土块？从这个实验中，学生很快就能得到结论：圆柱的体积是圆锥体积的3倍，或者圆锥的体积是圆柱体积的三分之一。

对于这一实验用圆锥倒三次水入等底等高的圆柱，这三次的过程是稍纵即逝的，学生在脑海中留下的印象并不深刻，而用超轻粘土做“冰激凌”的活动，将原来倒水的过程变成做实物模型，这三个“冰激凌”实实在在地放在学生面前，使等底等高圆柱和圆锥的三倍关系模型的表象得到了强化，从而深深地印在了学生的大脑里。笔者在两个平行教学班级进行了调查（见下表），结果很好证明了：表象的积累，更加符合小学生学习的特点。具体可看的东西，有利于学生建立圆锥与圆柱之间的关系。而水和沙，由于操作相对简单，倒出后形状立马变化，虽然节约了实验的时间，但并不利于数学模型的建立。

[ 忘记乘三分之一人数占比 班级1利用超轻粘土建立数学模型 6.67% 班级1利用水（沙）建立数学模型 22.22% ]

【案例二】巧用伸缩杆

在小学二年级“角的认识”单元中，出现数角个数的练习。笔者认为在教数学角的个数之前，需要让学生对角建立模型，教材上对角的定义是：从一点引出两条射线所形成的图形叫做角。但是生活中，我们却不能见到两边是射线的角。那么，生活中的角是以什么形式出现的呢？在小学数学教学中，角又应该从研究或解决什么问题引入呢？笔者认为，根据小学生的心理特征及学习起点，应该先有“角的大小”的理解，再有角的概念。于是在教学时，指导学生使用伸缩杆制作角，在操作过程中，固定两根伸缩杆形成一个角，再拉长伸缩杆，发现只是改变边的长度，并没有改变角的大小;再固定伸缩杆的长度，转动其中一根伸缩杆，发现夹角发生变化，动态形象地让学生感受到角的大小与两边的张开度有关，从而顺利塑造这个“角”的模型，进而使学生较为容易理解角的大小是可以通过相互叠加，得到不同大小的角。

经历拉伸、转动伸缩杆的实践操作，使空间形式在学生头脑中具体化、形象化，逐步形成明确的数学概念，并在头脑中建立起丰富的表象，感受解决实际问题的意义。学生的空间知识来源于现实生活，可以从活动实践中逐步建立起来。

（二）抽象本质，建构模型

抽象是认识事物属性过程中抛弃个别的、偶然的因素和非本质的属性，概括出一般的、必然的、本质的属性。具体生动的问题情境为学生数学模型的建构提供了可能。教师必须组织学生在充分感知大量感性材料的基础上，经历观察、对比、操作等活动，引导学生逐步发现这些问题的共性，才能建立起数学模型。在这个过程中，从具体的表象中抽象出本质特征，使认识从感性上升到理性，这是建模质的飞跃。

【案例三】对比多个立体图形之间的异同

笔者在五年级教学长方体、正方体表面积和体积之后进行了这样的练习设计：在一个棱长为10厘米的正方体中挖掉一个长5厘米、宽5厘米、高10厘米的长方体，你准备如何操作？剩下的立体图形的体积是多少立方厘米？经过独立思考和汇报交流后发现有以下三种操作方式，如图所示：

针对以上三种操作，分别算算剩下图形的体积，你有什么发现？

学生不难发现这三种图形的体积相等，在教师的引导下，学生还会总结出虽然这三个图形的形状不同，但是它们的高和底面积相同。在长方体和正方体体积计算的经验基础上，可以推断出这三种图形的体积也可以用“底面积乘高”来计算。我们还可以大胆想象底面还可以是哪些图形？

这个环节有学生先观察三个立体图形之间的联系，发现三个图形有相同的底面积、高、体积，初步感知像这样的立体图形都可以用“底面积乘高”计算它们的体积。接着让学生发挥想象，还有怎样的图形也可以这样去算，假如用一个三角形当作一个立体图形的底面，将得到一个三棱柱，依次可以是五棱柱、……圆柱。在这一环节中学生经历对比多个立体图形之间的异同，归纳出直棱柱体积计算方法，并经历猜想，将这样的方法推广到即将学到的圆柱体积的计算，为今后的学习奠定基础，使所学知识得到升华。

经历这样的学习过程，学生明白虽然直轮柱的形状不同，但是它们有相同的底面积和高，学生对轮柱体积的理解必定走向半具体、半抽象的模型，从而构建起真正的数学认识，完成从直观的数学模型再到抽象的数学模型的建构过程。

（三）结合实际，巧用模型

在具体问题中抽象出数学模型后，建模并未终结，教师还要变换问题情境，引导学生将数学模型再应用到现实生活中去，以此来深化模型的内涵，拓展模型的外延。

变式练习被普遍认为是拓展思路、发展思维和培养创造能力的有效途径。因此，教师要重视让学生进行一题多解的练习。同时，在多种思路的呈现后，学生要进行比较，找到知识间的联系与区别，从而更好地发展思维。

【案例四】周长练习

学习完圆的周长之后，出示了如图所示的一个问题，蚂蚁从半圆的一端爬到另一端，所爬行的路哪一条路长？

本题是一道有一定挑战的周长练习题，题中没有给出任何数据，绝大多数学生能看出蓝色线就是这个大圆的周长的一半，但是红色线路是由若干个等大的半圆组成，无形中增加了解题难度，可其中还蕴藏着“所有小圓的直径之和就是大圆的直径”这个关键信息。学生可以根据特殊数据代入、公式推算等方法得出所有小圆周长等于大圆的周长，即蓝色线路与红色线路相等。

习题可以千变万化，是做不完的。在平时的习题教学中，教师应指导学生绝不能只停留在答案正确与否的层面上，而是应该以典型题为例题，不断创设新的问题情境，促进学生不断地思考，使学生思维不断地向着更高层次发展，解决和分析问题能力逐级提高，达到“解决一个问题，学会解决一类问题”的目的。

三、成果与反思

通过笔者长期教学实践与积累，有效梳理了小学数学图形教学数学建模的理念和策略，对自己的教学起到了很大的帮助，其中也带来了新的思考：

（一）积累改变教育观念

在笔者刚任教的前几年，经常会与同事们探讨图形教学很难取得很好的成绩，在课堂上学生似乎学得很不错，可是在练习或者检测中，总是出现很多问题，可以把原因归结为学生的空间观念差，缺少数学建模意识，不会举一反三，灵活运用。但是经过最近几年的实践与反思改变了观念，认真分析导致出现问题的原因，从自己的课堂做出改变。

（二）观念改变教育行为

有了正确的教育观念，引领教育行为，从学生的生活经验和客观事实出发，优化课堂教学，改变传统教师讲、学生听的教学模式，提高了学生的学习兴趣，使他们积极参与数学学习活动，在观察、实验和操作的过程中积累了数学活动经验，在思考与探索的过程中培养了模型意识和解决问题的能力。

（三）行为改变教学成绩

最近几年，笔者一直担任两个班级的数学教学任务，在不断的积累与反思中一路前行，在每学年期末检测中都取得了不错的成绩，在学校平行班中一直名列前茅，也得到了学校领导和教研员的一致肯定。