高中数学解题中分类讨论思想的应用
2022-05-30吕飞
吕飞
【摘要】高中数学知识复杂且抽象，充分体现出数学学科的科学性与系统性特征，在新一轮教育改革背景下，要求学生具备扎实的数学基础知识，掌握一些常用的数学思想方法，辅助试题的顺利解答.本文以分类讨论思想为例，探讨如何借助分类讨论思想，助推高中生顺利解答数学试题，同时分享一些个人建议，以期达到抛砖引玉之效，便于广大同行参考.
【关键词】分类讨论思想;高中数学;数学试题
分类讨论思想就是将所有研究的问题结合题目特点和要求，合理分成若干个类别，转化成多个小问题，这是一种先按不同情况分类、再逐一研究解题的数学思想方法.在高中数学解题训练中，由于知识难度的提升，试题难度也有所增加，教师应指引学生结合具体题目内容进行分类讨论，使其形成清晰的解题思路，确保他们得出的结果完整且准确.
1 借助分类讨论思想，顺利解答函数试题
一直以来，函数都是高考数学中的重要考点之一，无论前面的选择题、填空题，还是后面的大题，均会考查函数知识的应用，由于函数知识自身较为繁杂，逻辑性与抽象性也较强，不少学生遇到这类题目时会产生一定的畏惧心理，导致他们无法准确理清题意，影响解题的正确性.为此，高中数学教师可以引导学生借助分类讨论思想解答函数类试题，使其对题目内容进行恰当地分类讨论，简化解题步骤，辅助他们顺利解答题目，求得准确答案.
例1 假如a是一个实数，函数f（x）=x2+x-a+1，x∈R，那么函数f（x）的最小值是什么？
解析 学生采用分类讨论思想可以这样解题，按照以下步骤进行：当x
综合可知，当a≤-12，函数的最小值是-a+34，当-12
2 运用分类讨论思想，高效处理概率试题
概率知识属于高中数学课程体系中的重点内容，是学生在日常生活中经常接触到的一类知识，主要指随机现象的规律，通过学习能够让学生基于客观视角认识世界，使其形成客观思维，且在解题中形成理性的解题思路.在高中数学概率解题教学中，教师可指导学生运用分类讨论思想来分析，先以概率问题的本质为切入点，再分析题目中的概率类型，当明确已知条件之后，对题目中出现的概率个数进行分类讨论，让他们顺利得出概率的具体数值.
例2 已知在区间[-3，3]中随机选取数值x，同时要确保不等式x+1-x-2≥1恒成立，求概率.
解析 大多数学生遇到这类题目时，在缺乏解题技巧的情况下，将会花费大量时间理清题目中的各类数值，这时教师提示他们运用分类讨论思想进行思考，使其按照以下思路解答.具体方法如下：假如x<-1，则能够得到不等式-x-1+x-2≥1，该不等式没有解;假如-1≤x≤2，则能够得到不等式x+1+x-2≥1，解之得1≤x≤2;假如x>2，能够得到不等式x+1-x+2≥1，此时不等式恒成立.综上可得该不等式的解集是[1，+∞），在[-3，3]上使不等式有解的区间为[1，3]，则概率P=3—13—（—3）=26=13.
3 采用分类讨论思想，准确解决数列试题
数列知识作为高中数学中的一项基本內容，处于知识点交汇的位置，同不少内容都有着一定的联系，不仅有助于学生深入复习方程相关知识，还能够回顾不少数学问题，像等比的性质、一次函数与二次函数等.在高中数学数列解题教学中，教师可以引领学生采用分类讨论思想，尤其是在核算数列的等比数列求和题与周期性题时，运用分类讨论思想能能够对数列中存在的各种可能进行单独分析，由此简化题目的分解过程，助推他们求得准确结果.
例3 已知在等比数列an中公比是q，该数列的前n项和Sn>0（n=1，2，3 ......），那么请问公比q的实际取值范围应该是什么？
解析 处理这类数列试题时，学生要做的第一件事并非马上分析和计算，而是要进一步剖析题目中给出的条件，他们分析后发现题目中提供的公比q没有一个明确的范围，这表明q可以是任意值.在这种情况下，学生首先需考虑到等比数列的求和公式，即Sn=a1（1—q2）1—q，他们根据上述公式，以及分数相关知识能够发现公比q的取值是否是1将会对结果产生重大影响.所以，学生可以运用分类讨论思想把公比q的值进行分类讨论，即q=1与q≠1这两种不同情况，分类讨论后得出相应的取值范围.
4 应用分类讨论思想，轻松解答几何试题
数学课程主要由几何与代数两大部分构成，分类讨论思想不仅可以用来处理部分代数类问题，同样能够用来解答一些几何类试题.高中数学几何知识以解析几何与立体几何为主，题目显得更加抽象和难懂，解决起来难度较大，对学生的空间观念、思维能力与认知水平等有着更高的要求，他们极易陷入解题困境之中.所以，高中数学教师可以引导学生应用分类讨论思想解析几何类题目，对图形中的元素进行分类讨论，轻松解答几何试题.
例4 空间一点P到二面角α-l-β的两个面的距离分别为1与2，到棱的距离为2，求该二面角的大小.
解析 题目中说P是空间的一点，所以需考虑P点在二面角内部与外部两种情况进行分类讨论.具体解答过程如下：设PA⊥α于A，PB⊥β于B，则PA的值是1，PB的值是2，PA⊥l，PB⊥l，由此得出l⊥平面PAB，设平面PAB与l相交于点C，则∠ACB是二面角α-l-β的平面角，且PC⊥l，PC的值是2，所以，在直角三角形PBC中，∠PBC是45°，在直角三角形PAC中，∠PAC是30°，此时展开分类讨论，当点P在∠ACB内部时，∠ACB=45°+30°=75°;当点P在∠ACB外部时，∠ACB=45°-30°=15°，即二面角α-l-β的大小是75°或15°.
5 结语
在高中数学解题教学活动中，教师应意识到数学思想方法的实用性和价值，指导学生灵活运用数学知识对题目内容进行分类讨论，把原本繁琐复杂的数学题目简单化，让学生优化解题思路与流程，使其轻松、准确、高效、顺利地解答试题，增强学习数学的信心.
参考文献：
[1]顾宣峰.分类讨论思想在高中数学解题中的应用[J].高中数理化，2021（S1）：20.
[2]唐文.分类讨论思想在高中数学解题中的应用[J].当代家庭教育，2021（27）：119-120.
[3]杨龙琴.浅析分类讨论思想在高中数学解题中的应用[J].安徽教育科研，2021（33）：31-32.
