关于反比例函数的三大特性探究

刘伟侠

【摘要】反比例函数是初中重要的函数，中考常以反比例函数为基础进行综合考查.往往该类问题综合性强，条件信息隐蔽，解析时需要充分把握反比例函数及其图象的特性，利用函数的图象特性来转化条件.本文具体探究反比例函数的特性.

【关键词】反比例函数;中考数学;对称性

特性1 坐标特点

反比例函数的图象为平滑的曲线，曲线上的点均满足函数的解析式y=kx（k为常数，且k≠0），对其变形则可得xy=k，对于该值可以理解为任意一点的横坐标和纵坐标的乘积为定值.在求解时可利用图象上坐标的特点，利用xy=k来构造方程推导点坐标.

例1 如图1所示，四边形OABC为矩形，而四边形ADEF为正方形，点A和D均在坐标x轴的正半轴上，点C在坐标y轴的正半轴上.点F在线段AB上，点E和C均在反比例函数y=kx的图象上.已知OA=1，OC=6，则正方形ADEF的边长为 .

解析 解析时需要充分数形结合，已知OA的长，求正方形ADEF的边长，即AD的长，可表示為AD=OD-OA=xD-OA，而点D和E的横坐标相等，即xD=xE，故解析的关键是确定点E的横坐标.

根据条件可知点B的坐标为（1，6），设正方形ADEF的边长为m，则AD=DE=m，OD=1+m，则点E的坐标可以表示为（1+m，m）.又知点E和A均位于反比例反比例函数图象上，故其坐标满足（1+m）·m= xA·yA=6，点E在第一象限，可解得m=2，即点E（2，1），所以正方形ADEF的边长为2.

评析 本题目推导点坐标时充分利用反比例函数图象上点的坐标特点，即由xy=k来构造方程，通过解方程则可以简洁的获得结果.

特性2 函数图象中的面积关系

反比例函数图象存在特殊的面积关系，也就是函数k的几何意义：如图2所示的函数图象中，有S△AOC=k2，S矩形ABOC=k.

对于该特性的证明可以结合面积公式，即S△AOC= OB·OC2=xA·yA2=k2，而四边形ABOC为矩形，对角线AO平分面积，则S矩形ABOC=2 S△AOC=k.

求解k值

例2 如图3所示，△AOB和△ACD均为正三角形，且顶点B和D均在双曲线y=kx（x>0）的图象上.如果图中阴影三角形△OBP的面积为4，则k值为 .

解析本题目给出阴影三角形的面积，求数值k，显然是考查反比例函数系数k的几何意义，需要转化阴影部分的面积.

已知△AOB和△ACD均为正三角形，则∠AOB=∠CAD=60°，则AD∥BD，则点P和A到直线OB的距离相等，可推知△OBP与△OBA的面积相等，即S△OBP=S△OBA=4.

过点B作x轴的垂线，设垂足为点E，如图4所示，则S△OBE=S△BAE=12S△OBA=2.由于点B和D均在双曲线y=kx（x>0）的图象上.由反比例函数系数k的几何意义可知S△OBE=S△BAE= k2=2，所以k的值为4.

评析 上述例题主要考查反比例函数系数k的几何意义，需要理解图象上任意一点作坐标轴的垂线，垂足、原点O和该点所形成的三角形的面积均为k2.另外求重叠图形的面积，要善于利用面积割补法.

特性3 图象的对称性

反比例函数的图象实际上是对称图形，既是轴对称图形，也是中心对称图形.对称轴是直线y=±x，关于直线对称的两点坐标值可互换.即点A（4，3）关于y=x对称的点为（3，4）.而关于中心对称的两点，坐标值的符号会发生互换，即互为相反数.因此对于设定反比例函数上的对称关系点，可直接根据该对称特性求出.

轴对称

例3 如图5所示，△ABC为等腰直角三角形，其顶点A和C在x轴上，∠BCA=90°，AC=BC=22，反比例函数y=3x（x>0）的图象与AB和BC相交于点D和E，连接DE.当△BDE∽△BCA时，则点E的坐标为 .

解析 上述题目依托反比例函数构建直线了相似三角形，求点E的坐标需要充分利用反比例函数的图象特性.

在图象中作直线y=x，与DE相交点设为P，易得∠POC=45°，∠BAC=90°，可推得OP∥AB.已知△BDE∽△BCA，分析可知AB⊥DE，所以OP⊥DE.直线y=x是函数y=3x（x>0）图象的对称轴，则点D和E是一组对称点，设点E（a，3a）（a>0），由反比例函数对称点特性可得点D（3a，a）.过点D分别作BC和x轴的垂线，设垂足分别为F和G，如图6所示，则DG=FC=a，EC=3a，EF=CF-CE=a-3a，BF=2EF=2（a-3a）.

分析图象可知BE+EC=BC，所以有2a-3a+3a=22，可解得a=322，所以点E的坐标为（322，2）.

评析 上述两道例题在求解时分别利用了反比例函数的中心对称和轴对称特性，利用特性直接推导对称点坐标，极大的减低了解题难度.实际上点坐标关联特点是表象，点到对称中心或对称轴的距离相等才是对称的本质所在.

总之，探究总结反比例函数的特性有着现实的意义，不仅有助于深化理解函数知识，还可以有效拓展解题思维.特性探究中要把握图象特点，进行线段、点、面积之间的转化，总结探索，严谨论证，基于模型形成结论.