发挥数学思想优势，提升学生解题水平

张舒

【摘要】数学是一门抽象性与逻辑性较强的学科，学生在学习和理解以及运用所学知识分析、解决问题时难免遇到问题，打击学生解题自信心.在初中数学解题中发挥数学思想优势，可有效简化题目难度，提升学生解题效率.

【关键词】初中数学;数学思想;解题策略

1 运用数形结合 提升学生解题水平

数与形是数学学科中研究的基本对象，二者在相应的条件下可相互转化.一般中学数学研究基本为数与形，正因数与形的紧密联系称之为数形结合.部分图形过度简单，单纯观察无法看出图形规律，此时需要为图形赋予角度与边长.换言之，数形结合将图形与数字相结合并在图形中标注所有运算、数字关系以及研究对象间的逻辑关系，以可视化呈现抽象数字，提升学生解题效率与解题自信心.

例1 某学校组织竞赛，共有25人参与竞赛，大赛设置A、B、C三道题目，参赛者至少选做一道题，根据题目回答情况得知，未能解答A题的人中可成功解答B题的人数为解答出C题人数2倍，只解答出A题人数比其余人数中解答出A题多1人，在所有只解答一道题参与学生中，有一半学生不能解答出A题，请问只成功解答B题共有多少参赛者？

解析 单从文字分析具有难度较大，尤其对于数学基础较大的学生而言，难以理清题目逻辑关系，对此，可在解题中引入数形结合方式，即将以图形关系表示文字逻辑关系.以图1所示：

根据图1可得知，运用三个大圆A、B、C表示解出A、B、C三道题目人数，图中相互重叠部分则表示能同时解答出A、B、C三道大题或其中两道题目参数人数集合，运用a、b、c、d、e、f、g进行表示，每个学生至少解出一题得出：a+b+c+d+e+f+g=25①

由未解答出A题学生中解答出B题人数是解答出C题人数2倍，得出：b+f=2（c+f）②

只解答出A题学生比余下解答出A题学生多一人，得出：a=d+e+g+1③

只解答出一题学生中有一半学生未解答出A题，列式：a=b+c④

由②可得：b=2c+f，f=b-2c ⑤

由⑤代入数式①：a+2b-c+d+e+g=25⑥

以③、④代入⑥：2b-c+2d+2e+2g=24⑦

同时，3b+d+e+g=25⑧

数式⑧×2-数式⑦得4b+c=26⑨

因为c≥0，所以b≤6.5.

运用数式⑤+⑨将c消去，得f=b-2（26-4b）=9b-52，

因为f≥0，所以b≥952，

因为b表示人数，所以b=6.

只解答出B题学生有6人.

2 运用整体思想 提升学生解题水平

整体思想是初中众多数学思想之一，其应用相对广泛，可以说贯穿初中数学解题，在高效解题中发挥着不可小觑作用.近年来，中考命题重心即整体思想，所谓整体思想即基于整体角度处理问题，有整体设元、整体变形、整体代换等多种表现形式.所以，初中数学教师可指导学生运用整体思想解题，拓宽解题思维，实现核心素养目标.

例2 已知12x2-4x+1=36x2-2x，求x值.

解析 上述题目涉及方程问题解答，如果在解答中从常规思路着手，则需将等式右侧分母去除，式子两侧需同时乘以6x2-2x并进行整理.该式子未知数最高项为四次，等式略显复杂，影响后续计算效率.基于式子整体层面观察方程结构可得知6x2-2x为12x2-4x一半，需令y=6x2-2x，所以2y=12x2-4x，化简式子为2y+1=3y，等式两侧同时乘以2整理后可得出2y2+y-3=0，由此一来，可迅速求出y值.又因为y=6x2-2x，可求出x的值.

例3 解方程组2x+3y=12①7x-17y=97②

解析 如果从常规换元思路解答该题，则需设2x=6+t，3y=6-t，有x=3+12，y=2-13，随之出现分式，需要更换换元思路才能提升解题效率.设2x=6+6t，3y=6-6t，则有x=3+3t，y=2-2t，达到化简为繁.

3 运用化归思想 提升学生解题水平

化归即转化与归纳简称，所谓化归思想即将抽象复杂的问题转至简单问题，将未知转至已知，例如将代数问题转至几何问题，将四边形问题转至三角形问题，或将分式方程转至整式方程等.

作为初中数学解题重要思想之一，化归思想实质即运用变化方式分析和解决与数学有关问题，达到高效解决问题目的.

化归思想体现在初中数学解题多个方面，所以，教师可指导学生在解题中合理运用化归思想，善于变换转化要解决问题，简化问题，提升解题效率.

在解答不等式问题中运用等式策略能使解题方式更为简洁，有利于学生树立清晰解题思路.

例4 如果不等式kx-4≤2解集为x1≤x≤3，实数则为k=？

解析 针对不等式解集问题可代入端点值，此时等号成立，

根据题意，kx-4=2两根为1，3，

即k-4=2，3k-4=2，解得k=2.

变量间需借助不等式相互制约，反映变量间内在联系.受函数单调性影响，不等式与界性间有着直接联系，所以为不等式转化至函数提供契机.

例5 已知a，b∈R，

证明a+b1+a+b≤a+b1+a+b

解析 先构造函数f（x）=x1+x（x>0），

得知f（x）=x1+x=1-11+x，在（0，+∞）呈单调递增，

因为a+b≤a+b，

所以a+b1+a+b≤a+b1+a+b.

在解答含字母系数的不等式时，需要讨论系数，也称之为分类讨论思想.当数学问题结果非唯一时，根据某种标准划分数学问题再进行解答.

例6a为实数且x>y，下列不等式中成立的是？

（A）ax>ay. （B）a2x≤a2y.

（C）a2x>a2y.（D）a2x≥a2y.

解析因为a为实数，需要分类讨论选项中a、a2两种情况;对于a：①a为正数，根据不等式性质2得知，A选项正确.②中，a为负数，0时没有答案，所以没有选项.对于a2：因为a2≥0，根据不等式性质2得知（A）（B）（C）为错误选项，正确答案为（D）.

数学教师在指导学生运用化归思想转化不等式時应明确题目类型，最大限度发挥化归思想优势作用.并在此过程中使学生掌握解题方式.

学生运用化归思想后会因因其便利性对探究知识产生兴趣，尤其在逐一突破问题难点后能产生学习数学自信心，为后续巩固知识和运用所学知识分析和解决实际问题奠定基础，切实提升解题水平.

参考文献：

[1]陈娟.数学思想在初中数学解题中的应用[J].广西教育，2021（09）：141-142.

[2]熊海龙.数学思想方法在初中数学解题中的应用[J].理科爱好者（教育教学），2021（01）：136-137.

[3]董明华.数学思想在初中数学解题中的应用研究[J].中学数学，2020（22）：62-63.