渗透数学思想凸显数学核心素养

李敏

【摘 要】  数学核心素养是数学学习的精髓，是学生通过数学学习而逐步获得的数学思维方式、数学关键能力及通过数学活动养成的健全人格.数学素养的核心是数学思维，而数学思想是数学思维的先导和工具，孕育在数学核心素养的培养之中.本文以2021年高考三角函数试题为例，介绍数学思想在三角函数中的运用及数学核心素养的体现，希望对该部分的复习备考有一定的帮助.

【关键词】  数学思想;数学核心素养;高考

1 转化与化归思想

运用转化与化归思想可以起到巩固旧知理解新知的效果，其本质是转化矛盾，变更问题.也就是把一个不太熟悉的未知问题通过某种手段变成可用自己所学知识解决问题的过程.常见的三角函数的转化有：抽象函数向具体函数的转化、特殊函数向一般函数的转化、多个三角函数向同一函数的转化、等价转化. 此外，像由未知角向已知角、统一三角函数名、降低三角函数公式的次数等也都是对三角恒等变换化简求值常用的处理手段.

例1   （北京卷·14）.若点P（ cos θ， sin θ）与点Q（ cos （θ+  π  6 ）， sin （θ+  π  6 ））关于y轴对称，写出一个符合题意的θ= .

解析   由题意可得 cos θ=- cos （θ+  π  6 ）， sin θ= sin （θ+  π  6 ），

所以 cos θ=- cos θ cos   π  6 + sin θ sin   π  6 ， sin θ= sin θ cos   π  6 + cos θ sin   π  6 ，

兩式相加得： cos θ+ sin θ=（ cos θ+ sin θ） sin   π  6 +（ sin θ- cos θ） cos   π  6 ，

得  sin θ+ cos θ  sin θ- cos θ = 3 ，即 1+ tan θ 1- tan θ = tan （  π  4 +θ）= tan （-  π  3 ），

所以  π  4 +θ=-  π  3 +k π ，k∈ Ζ .可令k=1，则θ= 5 12  π .

点睛   本题还可以从三角函数定义的角度结合两点关于y轴对称这个条件得到直接两个角之间的关系，即θ+θ+  π  6 = π +2k π ，k∈ Z ;解答本题时需进行巧妙的转化，数学运算和逻辑推理这两种数学素养的考查不言而喻.

2 数形结合思想

数与形是对立统一的两个方面.数形结合思想是通过数形转化实现抽象数量关系与图形、抽象思维与形象思维有机结合的一种思想方法.比如，我们常常用三角函数线求解三角等式问题;在涉及到三角函数与某一初等函数交点问题时，常将其性质和图象特征与函数的图形联系起来，进而将形的问题和代数问题巧妙结合.

例2   （全国甲卷·文15）已知函数f（x）=2 cos （ωx+φ）的部分图像如图所示，则f（  π  2 ）= .

解析   由题意可得： 3 4 T= 13 π  12 -  π  3 = 3 π  4 ，所以T= π ，ω= 2 π  T =2，

当x= 13 π  12 时，ωx+φ=2× 13 π  12 +φ=2k π ，所以φ=2k π - 13 π  6 （k∈ Z ），

令k=1，可得φ=-  π  6 ，

所以f（x）=2 cos （2x-  π  6 ），

所以f（  π  2 ）=2 cos （2×  π  2 -  π  6 ）

=2 cos  5 π  6 =- 3 .

点睛   此题难度不高，主要考查了直观想象、逻辑推理等素养，牢牢记住解析式的求法是关键.

3 函数与方程思想

三角函数的本质是圆函数，其性质是圆函数的代表.因此，通过函数观点来分析三角函数的相关问题有助于抓住主变量，把握问题的本质.其中，该思想最直接的应用体现就是通过消元法求解三角函数的值.此外，对于含参三角函数的方程问题也可以通过该思想转化为函数的最值问题.函数也是连接方程与不等式的关键一环，在高考试题中函数与方程思想在主客观题中都有考查.

例3   （北京卷·7） .已知函数f（x）= cos x- cos 2x，则该函数（  ）

（ A ）奇函数，最大值为2.

（ B ）偶函数，最大值为2.

（ C ）奇函数，最大值为 9 8 .

（ D ） 偶函数，最大值为 9 8 .

解析   因为f（-x）= cos （-x）- cos （-2x）= cos x- cos 2x=f（x），所以f（x）是偶函数.

因为 cos 2x=2  cos   2x-1，所以f（x）=-2  cos   2x+ cos x+1，

令 cos x=t，則f（t）=-2t 2+t+1，t∈[-1，1]，当且仅当t= 1 4 ，f（x）取得最大值，故选 D .

点睛   本题建立在余弦函数为背景的基础上侧重考查函数的奇偶性和最值.其中在判断奇偶性时，可直接利用偶函数的性质：偶+偶=偶;在求函数最值时一定要考虑自变量的取值范围，这里 cos x∈[-1，1].

例4   （上海卷·15）已知f（x）=3 sin x+2，对任意的x 1∈[0，  π  2 ]都存在x 2∈[0，  π  2 ]使得f（x 1）+2f（x 2+θ）=3成立，则θ的可能取值为（  ）

（ A ）  3 π  5 .  （ B ）  4 π  5 .   （ C ）  6 π  5 . （ D ）  7 π  5 .

点睛   这道题实质是在求三角函数的值域，通过关键词“任意”“存在”与方程构建了以集合间关系为解题的“切入点”.原问题可结合f（x 1）的取值等价转化成：当x 2∈[0，  π  2 ]时，即x 2+θ∈[θ，θ+  π  2 ]， sin （x 2+θ）取遍[-1，- 1 2 ]上所有的数，所以一定存在整数k，

使得：[2k π + 7 6  π ，2k π + 3 2  π ][θ，θ+  π  2 ]或者[2k π + 3 2  π ，2k π + 11 6  π ][θ，θ+  π  2 ].

最后根据求解的θ的范围发现只有 D 符合要求.

4 整体思想和分类讨论思想

整体思想在三角函数问题应用最多的是整体换元，比如可利用同角三角函数的关系式进行降次或万能代换公式转化为代数运算. 在研究正弦型函数时，常把它看做一个整体进行处理.分类讨论是通过将相似问题分类，实现缩小解题范围和化繁为简解决问题的目的.其中在分类时应做到：不发生遗漏、不重复分类、标准统一且在所给范围内分类，在分完类讨论各种情况后要注意整合，即有分有合，先分后合.

例5   （新高考Ⅰ卷·19）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b 2=ac，点D在边AC上， BD sin ∠ABC=a sin C.

（1）证明：BD=b;

（2）若AD=2DC，求 cos ∠ABC·

解析   （1）因为BD sin ∠ABC=a sin C，所以由正弦定理得，BD·b=ac，

又因为b 2=ac，所以BD·b=b 2，又b>0，所以BD=b.

（2）由题知，AD= 2 3 b，CD= 1 3 b，BD=b，

所以 cos ∠ADB=  4 9 b 2+b 2-c 2 2· 2 3 b·b =  13 9 b 2-c 2  4 3 b 2 ， cos ∠BDC=  1 9 b 2+b 2-a 2 2· 1 3 b·b =  10 9 b 2-a 2  2 3 b 2 .

因为 cos ∠ADB+ cos ∠BDC=0，所以化简整理得13b 2-9c 2+20b 2-18a 2=0，

即3c 2+6a 2-11ac=0，方程两边同时除以a 2，得3 （ c a ）  2-11（ c a ）+6=0，

解得 c a = 2 3 或 c a =3.

当 c a = 2 3 ，即c= 2 3 a时，  cos ∠ABC= a 2+c 2-b 2 2ac = a 2+c 2-ac 2ac = 7 12 ，

当 c a =3，即c=3a时，  cos ∠ABC= a 2+c 2-b 2 2ac = a 2+c 2-ac 2ac = 7 6 >1 （舍去）.

综上： cos ∠ABC= 7 12 .

点睛   第（1）问考查正弦定理中的“角化边”的应用，第（2）问考查余弦定理，突破点在于： cos ∠ADB+ cos ∠BDC=0，化简得出关于a，c的式子，然后构造 c a 并把它看作一个整体，进而得出两者之间的关系，最后根据情况讨论.

5 建模思想

建模思想简言之就是运用数学知识和思想方法，通过建立相关数学模型将现实问题不断抽象化的过程，进而实现问题求解的思想.三角函数问题的解决，同样可以通过建模来完成.运用建模思想，可以把具体数据转化在图形上，分析解决图形的过程就能够解决三角函数的问题.

例6    （全國甲卷·理8） 2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投A′，B′，C′满足∠A′C′B′=45 ° ，∠A′B′C′=60 ° .由C点测得B点的仰角为15 ° ，BB′与CC′的差为100;由A点测得B点的仰角为45 ° ，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′-CC′约为（  ）（ 3 ≈1.732）.

（ A ） 346. （ B ）373. （ C ）446. （ D ）473.

解析   过C作CH⊥BB′，过B作BD⊥AA′;故AA′-CC′=AA′-（BB′-BH）=AA′-BB′+100，

由题易知△ADB为等腰直角三角形，所以AD=DBAA′-CC′=DB+100=A′B′+100，

因为∠BCH=15 ° ，所以CH=C′B′= 100  tan 45 °  .

在△A′B′C′ 中，由正弦定理得：  A′B′  sin 45 °  = C′B′  sin 75 °  = 100  tan 15 °  cos 15 °  = 100  sin 15 °  ，

而 sin 15 ° = sin （45 ° -30 ° ）

= sin 45 °  cos 30 ° - cos 45 °  sin 30 ° =  6 - 2  4  ，

所以A′B′= 100×4×  2  2   6 - 2  =100（ 3 +1）≈273，所以AA′-CC′=A′B′+100≈373.

点睛   本题以生活实践情境—三角高量程测量法为载体，以正余弦定理为工具，还原了解三角形知识的综合应用过程.成功作答突破口在于将AA′-CC′的长度通过作相关辅助线的方式转化为A′B′+100，进而放到一个三角形中来解答.通过这道来源于生活的数学问题显示了对数学运算、数学建模等素养的考查.

以上这六种思想都是三角函数学习过程中需掌握的，且是高考考查的热点.数学思想渗透在三角函数解题的方方面面，只有在实践中多练多想，结合三角函数自身总结相应的解题技巧或解题模式，才能进一步提高自己的数学思维水平和关键能力，形成终生受益的学科素养.也只有在反复的实际运用中才能使數学核心素养才在数学思想的沃土中生根，收到事半功倍的效果.

参考文献：

[1] 陈培培.高考数学思想应用于三角函数解题教学研究[J].数理化解题研究，2019（33）：28-29.

[2] 刘玉文.渗透数学思想凸显核心素养——以2019年高考三角函数试题为例[J].理科考试研究（高中版），2020，27（3）：2-4.

[3]王新宏.运用数学思想方法求解三角函数问题[J].高中数理化，2015（7）：3-6.

[4] 王丽亚.例谈三角函数试题的求解策略[J].中学数学，2017（1）：85-87.

[5]徐永忠.运用数学思想方法解决高考三角函数问题[J].上海中学数学，2013（10）：14-17.