初中数学函数常见题型解析

韩岳 郭云霞

【摘要】三角函数和二次函数是初中阶段数学教学的重要部分，对许多学生来说是难点.在教学过程中，教师要注意所学问题的选择，鼓励学生尽可能多地思考.

【关键词】数学函数;三角函数;二次函数

1 二次函数单调性问题

例1 已知属于0，1时，函数y=（mx-1）2的图象与y=x+m的图象有且只有一个交点，求正实数m的取值范围.

解析 首先設f（x）=（mx-1）2，g（x）=x+m.由于x属于0，1，g（x）的单调性在0，1上是单增的，我们只需分类讨论一下f（x）的单调性即可.

（1）m∈0，1时，在同一平面直角坐标系中作出函数f（x）和g（x）的图象，如图1：

己知此时两函数图象在x∈[0，1]上有且只有一个交点.

（2）m>1时，在同一平面直角坐标系中作出函数f（x）和g（x）的图象，如图2：

要满足题意，则（mx-1）2≥1+m，解得m≥3或者m≤0（舍去）.

综上可知m的取值范围是0

2 二次函数最值问题

例2 已知f（x）=x2+3x-5，x∈t，t+1，若f（x）的最小值设为h（t），请写出h（t）的表达式.

解析 由于f（x）=x2+3x-5的对称轴为x=-32，开口向上.如图3.

（1）当t>-32，f（x）在t，t+1上是增函数;x=t时，f（x）最小，f（x）的最小值为x2+3x-5;

（2）当t≤-32

（3）当t+1≤-32，即t≤-32时，f（x）在t，t+1上单减;f（x）在x=t+1时最小，所以最小值为t2+5t-1;

总结 通过二次函数的图象来确定解题的大致思路，直观清晰是数形结合思想的特点.

3 二次函数值域问题

例3 已知两个二次函数y=x2-mx+m2+12和y=x2-mx-m2+22.

（1）两个函数的图象有一个与x轴存在A、B两个不同的交点，判断是哪一个;

（2）若A点坐标为（-1，0），求出B点的坐标，并对于经过A、B点的二次函数，当x取何值时，y随着x的增大而减小？

解析 （1）y=x2-mx+m2+12，由于Δ=（-m）2-4×1×m2+22=-m2-2<0，所以该函数与x轴没有交点.

y=x2-mx-m2+22，由于Δ=（-m）2-4×1×-m2+22=3m2+4>0，所以该函数与x轴没有交点.

所以图象经过A、B点的函数是

y=x2-mx-m2+22.

（2）将A点坐标代入函数中，根据函数y=x2-mx-m2+22，可得1+m-m2+22=0，解一元一次方程得m=0或2，当m=0时，原函数即y=x2-1，令y=0，可得x1=1，x2=1，则当m=0时，B点坐标为（1，0）.当m=2时，原函数即为y=x2-2x-3，令y=0时，可得x1=1，x2=3，当m=2时，B点坐标为（3，0）.

当m=0时，二次函数为y=x2-1.此函数的图象开口向上，对称轴为直线x=0，所以当x<0时，函数值y随x的增大而减小.

当m=2时，二次函数为y=x2-2x-3，此函数的图象开口向上，对称轴为直线x=1，所以当x<1时，函数值y随x的增大而减小.

4 坐标存在问题

例4 抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B，

（1）求抛物线的解析式;

（2）在地物线上求点M使△MOB的面积是△AOB面积的3倍;

（3）连接OA，AB，在x轴下方的地物线上是否存在点N，使△OBN与△OAB 相似？若存在，求出N点的坐标：若不存在，说明理由？

解析 根据题意可知抛物线的解析式为y=a（x-2）2+1，由于这条抛物线过原点，所以a（0-2）2+1=0，可以得到a=-14.则抛物线的解析式为y=-14x2+x.△AOB和所求△MOB同底不等高，又因为S△MOB=3S△AOB，则M的纵坐标为-3，所以-3=-14x2+x，即x2-4x-12=0，解之，得到x=6或者-2.满足条件的点有两个：M（6，-3），（-2，-3）.

5 函数动点问题

例5 现有一直线与直角坐标系交点为点A 、点B，并与O点构成△AOB. 直线可以表示为y=-13x+1. 之后以O点为圆点，转动△AOB形成△CDO，此时点A，C，D都在抛物线y=ax2+bx+c上，试求出以下问题答案.

（1）确定点A，B，C，D的准确坐标;

（2）求解二次函数的表达式;

（3）在直线BG（G为抛物线顶点）上，是否存在一点F，构成△ABF与△CDO相似.

解析 （1）根据题意可以确定A、B、C、D的坐标;

（2）在确定A、C、D的坐标之后，二次函数的表达式可以设为y=x2+2x+3;

（3）首先以顶点G为基准，根据勾股定理可知GH=OB，BH=OA，GB=AB，所以∠GBA是一个直角，那么问题可以转化为证明BFBA=ODOC或BFBA=OCOD.

教师在教学过程中，要抓住三角函数与其他函数之间的联系，引导学生理解三角函数的解题思路.

参考文献：

[1]杨平荣.对数形结合思想在初中函数教学中的作用探讨[J].学周刊，2013（22）：144-145.

[2]温莉英.初中生函数内容解题易错问题研究[D].西华师范大学，2017.

[3]徐锦水.论初中二次函数中几种常见的解题方法[J].数学学习与研究，2020（01）：145.