“球门张角问题”探究的教学设计、实践与反思

杨术林　时杰

摘  要：从教材的探究与实践活动内容出发，借助TI图形计算器对“球门张角问题”进行探究，意在引导学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题、拓展问题、回归实际的完整数学探究过程，并在此过程中发展学生的数学核心素养.

关键词：数学探究;球门张角;TI图形计算器

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）将数学建模活动与数学探究活动作为贯穿高中数学课程的四大主线之一，意在提升学生应用数学知识解决数学问题的能力. 对此，笔者尝试从沪教版《普通高中教科书·数学》必修第二册（以下统称“教材”）的探究与实践活动出发，开展对“球门张角问题”的数学探究实践课，尝试探索如何在数学探究活动中发展学生的数学核心素养.

一、教学内容分析

教材第七章“三角函数”后的探究与实践栏目中给出了球门张角问题，意在引导学生从不同角度考虑问题并建立恰当的数学模型. 为何会想到研究球门的张角？研究球门张角的一般路径是什么？引导学生对这些问题进行深入思考是培养学生问题解决能力的绝佳机会. 球门张角问题的背景是历史上著名的米勒问题，该问题可以进一步拓展为一般曲线和线段的张角问题，继而用代数的方法研究几何问题. 这就实现了研究方式的转变，并与学生今后要学习的解析几何建立了联系.

球门张角问题的教学要注意避免陷入纯粹的问题解决方法的教学，而应从现实情境出发，逐步引导学生发现问题、简化问题，继而提出新的数学问题，完成对数学问题的分析和解决，并对数学问题进行拓展，最终回到现实世界. 本节课需要回答的核心问题是如何探究足球射门的最佳位置，因而教学重点是要帮助学生经历探究数学问题的一般路径，积累数学活动经验. 基于以上分析，确定本节课的教学主线为“背景—问题—分析—探究—拓展—应用—总结”，并由此形成知识内容结构图，如图1所示.

二、学生特征分析

本节课的授课对象是高一学生，学生在初中已有学习圆周角、弦切角、切割线定理的经验，积累了较为丰富的平面几何知识. 在高一，学生又系统学习了常用三角函数公式、三角函数及其性质，但是在陌生的问题情境中还无法灵活运用公式解决问题. 学生也缺乏利用代数知识研究几何问题的经验，因而无法有效转化几何问题. 最主要的是，学生缺乏研究探究性问题的活动经验，且对技术辅助数学问题解决的作用认识不到位，发现和提出问题、分析和解决问题的能力有所欠缺.

三、教学目标分析

本节课教学目标设置如下.

（1）借助TI图形计算器，选择合适的数学对象研究足球射门问题.

（2）在利用TI图形计算器直观感知张角变化的过程中，能够正确构建辅助圆模型或利用三角公式找到张角最大时的动点位置.

（3）在拓展的球门张角问题中，能够灵活选择三角公式表示张角，借助TI图形计算器求解极值.

（4）经历探究和拓展球门张角问题的过程，逐步提升数学抽象和数学建模素养，学会用数学眼光觀察现实世界，提升发现和提出问题、分析和解决问题的能力.

（5）在利用TI图形计算器的过程中感受技术给学习带来的优势，激发学习数学的兴趣和热情，感悟数学在现实世界中的应用价值.

四、教学支持条件分析

TI图形计算器具有强大的几何测量功能和函数图象分析功能，学生通过自主操作、实验模拟，感受几何直观和技术辅助对探索问题的重要性，从而自然生成构建辅助圆解决张角问题的思路. 在一般曲线和线段的张角问题探究过程中，也可以引导学生利用TI图形计算器的几何测量功能先大致确定张角最大时动点的位置，再利用代数运算严格求解，形成几何与代数相互为用的问题解决方法.

五、教学设计与实践

1. 问题提出阶段——情境引入，发现问题，提出问题

（1）情境引入.

播放女足亚洲杯决赛视频，引导学生意识到视频中有些球射进了球门，而有些球没有射进球门.

【设计意图】通过播放女足比赛视频，引出现实问题，在激发学生爱国情怀的同时，调动学生对射门问题的好奇心和探究兴趣.

（2）发现问题.

问题1：哪些因素会影响足球射入球门？

预设：射门的距离，射门的角度，射门的力度，射门的时机，对方球员的干扰，等等.

【设计意图】通过头脑风暴提出影响足球射入球门的因素，并选择其中最重要的两个影响因素（射门距离和射门角度）进行分析.

（3）提出问题.

活动1：引导学生用图形表示问题. 如图2，将足球场抽象为矩形，球门抽象为线段，球员抽象为点，球员的运动轨迹和足球的运动轨迹抽象为直线.

活动2：利用TI图形计算器的几何功能，拖动点P观察并思考距离和角度是如何影响将足球射入球门的.

问题2：已知直线[l]和线段AB，那么直线l上的动点P在何处时，对线段AB的张角∠APB最大？

【设计意图】借助几何直观，合理选择对球门的张角作为研究对象来刻画最佳射门位置. 引导学生经历从实际情境中抽象数学问题的全过程，提升学生从数学角度发现问题和提出问题的能力.

2. 问题分析阶段——位置关系，实验观测，结论猜测

问题3：张角最大时动点[P]的位置在何处？

（1）位置关系.

师生共同对直线[l]与线段[AB]的位置关系进行探究，如表1所示.

【设计意图】引导学生基于直线与线段的位置关系，从几何定性和代数定量两个方面分析问题，并选择直线与线段平行和垂直的情况进行重点研究.

（2）实验观测.

活动3：利用TI图形计算器的几何测量功能，拖动点P，观察∠APB的大小变化，总结变化规律.

【设计意图】借助几何直观，感性认知角的变化情况.

（3）结论猜测.

结论：选取过点[A，B]的圆与直线[l]的切点[P，] 此时张角[∠APB]最大.

【设计意图】在感性认知角的变化情况的前提下，对问题的结论进行一定的合理性猜测，为下面的几何论证和代数运算做准备.

3. 问题解决阶段——几何论证，代数运算，模型构建

4. 问题拓展阶段——拓展问题，实际应用，总结提炼

5. 课堂小结

六、教学反思

1. 探究活动——形成核心素养的有效途径

本节探究课将《标准》中倡导的“提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”融入教学路径中，形成了如图13所示的教学路径. 在引导学生经历问题解决全过程的同时，潜移默化地提升学生的数学核心素养，实现了数学化与生活化的有机结合. 通过对实际情境的简化与抽象发展学生的数学抽象素养;借助TI图形计算器直观感知张角变化过程中提升学生的直观想象素养;以学生容易理解的相切图形构建张角模型，培养学生的数学建模素养，形成对事物关系的理性认识. 可见，在一个数学探究活动中，学生需要调动多种数学核心素养参与，正是在探究数学问题的过程中逐步形成和发展了数学核心素养. 不仅如此，在发现问题和提出问题阶段，需要学生用数学眼光观察现实世界;在分析问题阶段，需要学生用数学思维思考现实世界;在解决问题、拓展问题和实际应用阶段，需要学生用数学语言表达现实世界. 由此落实了《标准》对“三会”的要求.

2. 技术融合——开展探究活动的必然选择

随着信息技术的发展，数学问题的探究形式也发生了变化. TI图形计算器强大的几何与代数功能为本节课提供了便利. 在提出问题环节，通过TI图形计算器的直观演示使得抽象的张角变得直观可视，几何测量功能能让学生自主操作实验，从而发现结论，为解决问题指明了方向. 在问题解决环节，面对复杂的函数解析式，TI图形计算器帮助学生避免了烦琐的计算，改善了学生的学习方式，提高了课堂教学效率. 但是信息技术只能用于辅助教学，课堂教学一定要注意信息技术使用的恰当性，要与学生的发展水平相适应，要有利于学生主体性的发挥，切不可以信息技术代替数学思考.

3. 文化浸润——实现教育目标的关键要素

数学是科学也是文化，数学知识是一种显性的文化元素，教学中应该关注隐性的数学文化元素，包括数学史、数学理性精神和数学美等. 本节课的结尾，通过介绍米勒问题引导学生探寻数学发展的历史轨迹，让学生体会数学的文化价值，引导学生思考知识从哪里来、知识的本质是什么、知识到哪里去等问题. 数学教育要实现立德树人的根本任务，不能只依靠传授结果性数学知识，而要以知识为载体，走向学生自主生成的情感、态度与价值观. 这其中，对学生的文化浸润是必不可少的.

参考文献：

[1]H.德里. 100个著名初等数学问题：历史和解[M]. 罗保华，译. 上海：上海科学技术出版社，1982.

[2]中华人民共和国教育部制定. 普通高中數学课程标准（2017年版2020年修订）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[3]吴绍兵，于明. 关于课堂教学图形计算器使用恰当性的研究[J]. 数学教育学报，2009，18（2）：59-62.

[4]喻平，徐时芳. 核心素养指向的数学教学过程设计[J]. 数学通报，2022，61（3）：1-6，21.