基于“四个理解”的单元结构化教学设计

摘  要：数学教学要在理解数学、理解学生、理解技术、理解教学的基础上设计和践行活动. 单元结构化教学要在系统论和结构化理论指导下审视教材内容和课程标准的要求，对知识内容进行分析、重组和整合，并形成相对完整的教学单元. 基于知识结构的“明线”和思想方法与核心素养的“暗线”，延长知识链条，拓展知识结构，升华思维层级，从而让学生的数学核心素养得以持续发展.

关键词：四个理解;单元教学;结构化

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）指出，重视以学科大概念为核心，使课程内容结构化，以主题为引领使课程内容情境化，促进学科核心素养的落实. 整体把握教学内容，促进学科核心素养连续性和阶段性发展. 高中数学是一个相互联系、相互贯通的知识和能力结构体，但教材知识的呈现往往是分散和孤立的. 单元结构化教学是指以教材为基础，用系统论和结构化的思维方式对教材中具有某种内在关联性的内容进行分析、重组和整合，并形成相对完整的教学单元，在整体化思维的观照下，有序规划、有效实施，呈现“学、教、评”一体的教学方式.

章建跃博士提出，数学教学要在理解数学、理解学生、理解技术、理解教学的基础上设计和践行活动.“四个理解”是单元结构化教学的导引. 单元结构化教学要求教师整体把握单元知识结构的内在逻辑，深刻理解内容本质，充分了解学生的认知规律，以高观点重构数学教材的内容，设计拾级而上、相对独立而又内具关联的活动群，以此实现学生数学核心素养的持续发展. 下面，笔者以“直线与平面的垂直关系”一课的教学为例加以说明.

一、理解数学，使单元结构化教学的生成逻辑更合理

“单元”并不一定指教材划分的知识章节，而是指基于学科核心素养、学生认知规律和学科知识逻辑体系建构的学科教学单位. 它可以介于章内容与课时内容之间，对外相对独立，对内关联性强、共同特征多，体系相对完整. 单元内容一般由基础知识、思想方法和核心素养加以串联. 单元结构化教学注重知识结构的“明线”和思想方法与核心素养的“暗线”. 一是要求对教学内容和教学结构进行优化，突出主题内容和知识间的关联性和结构性，形成“知识单元”，呈现可见的“明线”;二是要求围绕单元核心概念、原理，通过数学思想方法和核心素养要求，展现知识点之间的隐性联系，呈现内蕴的“暗线”. 从这个角度分析，我们将立体几何初步整合分成“基本立體图形”和“基本图形位置关系”两个大单元，并在此基础上生成若干个既相互独立又相互关联的实施单元.

立体几何中，基本几何图形的位置关系是基础，在整个教学中起奠基作用. 人教A版《普通高中教科书·数学》必修第二册（以下统称“教材”）先是对三者的位置关系进行分类，然后从空间中两条直线的位置关系、线面的位置关系和面面的位置关系进行了从定性到定量的探究. 特别是通过观察、思辨确认“垂直”“平行”的判定与应用. 无论是线线关系、线面关系还是面面关系，都以“情境、定义、判定、性质、应用”作为结构化教学的展开要素，形成项目化任务. 本节课的起始可以设置如下问题组织学生活动.

问题1：图1是一台路由器，在调节天线位置的过程中，如何知道天线与路由器的表面是否垂直？怎样判断呢？

教学过程：观察由几何画板软件生成的动画，将天线抽象成直线，将路由器表面抽象成平面. 从探讨“若直线和平面内一条直线垂直，能否得出直线与平面垂直？”入手，引发学生思考：什么是直线与平面垂直？怎么判定直线与平面垂直？逐步向深处探索.

问题2：将上述动画进一步变化，如图2，观察圆锥的轴SO与圆锥底面的位置关系，引导学生尝试给出直线与平面垂直的定义.

追问：当直线垂直于平面内无数条直线时，直线与平面是否垂直？

【设计意图】借助学生的生活经验和已有认知结构，借鉴线面平行的结构化研究经验，经历观察、质疑、归纳、提炼等探索过程，将线面关系逐步降维到线线关系，体现系统、联系的思维结构. 将学生熟悉的圆锥作为基本载体. 圆锥是直角三角形绕着一条直角边所在直线旋转得到的，对于圆锥底面中的任意一条直线都有一条半径与之平行，从而将圆锥的轴与底面任意一条直线的位置关系转化为直角三角形两条直角边之间的位置关系. 这一过程呈现了立体几何初步单元研究的基本路径.

为实现“学、教、评”一体化，本环节设置如下的嵌入评价量值，并进行实时评价，让学生不断清晰课堂教学的目标. 基础层级指标：学生能说出直线间的基本样态（如斜交、垂直等），能给出其他线面垂直的实例. 提高层级指标：学生能概括出直线与平面垂直的定义，能正确区分“无数”和“任意”.

二、理解教学，使单元结构化教学的意义重构更合情

理解教学，就是灵活选择教学活动的组织方式，引导学生从不同角度看待问题、分析问题和思考问题，形成对一个问题更准确、更全面和更深刻的认识. 单元结构化教学要基于学情，提炼合适的内容主线，设计恰当的学习主题，把知识链条延长，对知识面进行拓展，将思维层级升华，让散落于教材中的方法和思维凝练，形成“一般观念”和“发展逻辑”，体现出教学的整体性、发展性和逻辑性. 结构化视野，不仅是知识和技能的结构化，也是教学活动的结构化，更是基于核心素养的整个单元教学活动的条理化.

立体几何初步中，基本几何图形的位置关系，从定性的性质判定到定量的度量计算都是以“低维”来刻画“高维”、由“线”来刻画“面”的教学路径. 从学生的实际能力出发，从知识的发展逻辑和接受时序出发，引导学生进行具有整体意义的结构化学习，自主探究“直线与平面的垂直”，推动学生理解直线与平面垂直的定义，注重说理和推理，确认判定定理和性质定理，能有效落实数学抽象、直观想象和逻辑推理等素养的培育.

问题3：继续观察路由器模型，如果两根天线都垂直于路由器的表面，这两根天线呈现怎样的位置关系？

教学过程：观察几何画板软件生成的动画，并将上述问题放入长方体模型，如图3所示. 引导学生直观想象并探索和证明上述猜想.

问题4：如图4，已知a⊥α，b⊥α，求证：a∥b.

在证明问题的时候，因为直接证明不太方便，所以利用正难则反的思想方法引出反证法证明.

问题5：如何描述上述结论？

师生共同梳理，得到表1.

【设计意图】始终结合生活模型，学会从数学的角度发现和提出问题、分析和解决问题，加强现实图形与抽象图形的联系、图形语言与数学语言的联系、逻辑表达与知识结构的联系，感悟数学思维的结构化和系统化. 将直线与平面垂直的性质进行前置研究，体现基于学情分析的知识“再建构”，保障学生课堂数学思维的顺畅性.

为实现“学、教、评”一体化，本环节设置如下嵌入评价量值，并进行实时评价，让学生不断清晰课堂教学目标. 基础层级指标：学生能说出两条直线的位置关系，能用语言表达定理. 提高层级指标：学生能用三种语言表述性质定理，能思考并采用反证法进行证明.

三、理解学生，使单元结构化教学的过程演绎更合拍

从促进学生的思维发展这一立场进行分析，数学教学应当通过“结构性教学”帮助学生生成“结构性思维”，努力帮助学生学会学习. 单元结构化教学要求在系统分析的基础上组建学习单元、确定主题、明确目标、系统设计、结构化任务和递进性活动，充分调动学生的学习兴趣，让学生在综合思考后对概念进行理解和建构，完成单元学习，达成学习目标，沉淀并固化形成自己的素养品质.

在立体几何初步中，直线与平面垂直是空间中最重要的基本图形位置关系之一. 直线与平面垂直既是空间直线与直线垂直的延续，又是平面与平面垂直的基础，所以研究方法与思维路径都有承上启下的作用. 结构性思维要求通过归纳和分析，使学生理解空间中点、直线和平面的位置关系，用数学语言表述空间有关垂直的判定与性质，并运用结论进行推理论证，发展学生的逻辑推理能力. 这些应该始终在课堂中得到很好的体现.

问题6：继续观察路由器模型，如果两根天线处于平行状态，其中一根天线与路由器表面垂直，则另一根天线与路由器表面呈现怎样的位置关系？

教学过程：观察几何画板软件生成的动画，并将上述问题回归长方体模型，如图5所示. 引导学生直观想象并探索和证明上述猜想.

问题7：如图6，已知a⊥α，a∥b，求证：b⊥α.

教学过程：抓牢定义，只要证明直线b垂直于平面内的任意一条直线即可.

问题8：如何描述上述结论？

师生共同梳理，得到表2.

【设计意图】始终结合生活模型，强化定义的应用，积累空间问题平面化的经验. 关注同一主线内容的逻辑关系，沿着学生的思路展开教学，在前两个环节的基础上设计清晰的目标达成问题链条，在逻辑分明的核心任务引领下依次完成层次递进的子任务，实现研究方法的凝练，形成结构化思维.

为实现“学、教、评”一体化，本环节设置如下嵌入评价量值，并进行实时评价，让学生不断清晰课堂教学目标. 基础层级指标：学生能提出猜想，说出直线与平面的位置关系，能用语言描述结论. 提高层级指标：学生能对结论进行严格证明，并能用三种语言描述结论.

四、理解技术，合乎单元结构化教学的多元呈现

数学知识的形成依赖于直观，数学知识的确定依赖于推理. 也就是说，在大多数情况下，数学结果是“看”出来的而不是“证”出来的. 所谓“看”是一种直觉判断，这种直觉判断建立在长期、有效的观察和思考的基础上. 针对立体几何初步的单元特性，单元结构化教学要充分借助技术，充分利用基本几何模型，让学生充分经历直观感受、操作确认和辨别辨析等学习活动，通过观察和想象积累活动经验，让学生在不同维度的几何图形之间自如切换，加深对空间中几何图形位置和特征的探究.

立体几何初步单元的教学遵循从整体到局部、从具体到抽象的原则，提供丰富的实物模型或利用计算机软件呈现空间几何体，特别是三维空间的呈现，能帮助学生更加直观地认识空间几何体的结构特征，引导学生发现并描述基本图形的平行关系或垂直关系的命题，理解切、割、截后的几何性质，并能证明其中一些命题. 用定义判定直线与平面垂直，是一个由无限转化为有限的过程，技术的支持能让这一过程更切合学生的思考.

问题9：继续观察路由器模型，由直线与平面垂直的定义可知，如果天线和路由器平面内的所有直线都垂直，则直线和平面垂直. 但这样无限验证的过程，不利于我们进行推理论证，能否将条件减弱一些？

教學过程：观察几何画板软件生成的动画，排除直线垂直于平面内的“一条”直线就判定垂直的猜想. 回归长方体模型，如图7所示. 引发学生合理猜想：如果一条直线垂直于平面内两条相交直线，则直线与此平面垂直.

问题10：如图8，折叠三角形纸片，探究在什么条件下能使折痕与桌面垂直.

教学过程：安排探究活动. 进行折纸实验，让全体学生动手操作，发现将三角形纸片ABC沿边BC边上的高AD进行翻折，然后立在桌面上，此时折痕AD所在的直线与桌面所在的平面α垂直. 沿着折痕AD旋转、平移立起的纸片，让BD和CD在桌面内变换位置，探究AD与桌面的位置关系，并对操作背后隐含的数学本质做出自己的猜想. 利用几何画板软件进行动画展示，并对门、旗杆等模型进行解释，进一步验证猜想.

突出体现“降维”思想，借鉴线面平行的研究，从“线面垂直”向“线线垂直”转化. 在教学中一定要给学生充足的时间进行探索活动.

问题11：如何描述上述结论？

师生共同梳理，得到表3.

【设计意图】始终结合生活模型，充分利用信息技术的优势，通过学生对不同图形或模型的审视观察，类比直线与平面平行的判定方法，将线面垂直降维为线线垂直. 在图形的变化中，实现由无限向有限的转化，进一步巩固立体几何直观感知、操作确认和思辨论证的结构化思维体系.

为实现“学、教、评”一体化，本环节设置如下嵌入评价量值，并进行实时评价，让学生不断清晰课堂教学目标. 基础层级指标：学生能说出直线与直线的位置关系，能用语言描述定理. 提高层级指标：学生能顺着前面的内容自然提出猜想，能对定理进行总结、归纳，能用三种语言描述定理.

单元结构化教学呈现“系统分析、整体思维、结构视野”的课堂框架，体现课堂整体教学流程的结构化. 课堂的结课部分还应该系统回顾和总结本节课的主要内容，优化重组认知结构，用整体的、联系的和发展的眼光回看学习历程，从碎片化、零散的知识串联走向背后的结构、联系和规律，追求知识的应用和能力的迁移，进而建立科学的学习观.

问题12：本节课，我们学了哪些内容？生成了哪些有意义的学习成果？能否用思维导图来呈现？

本节课的内容用思维导图呈现，如图9所示.

【设计意图】用思维导图的形式进一步明晰课堂结构、思维结构和逻辑结构，帮助学生基于章节视角，综观单元全局，整体把握知识体系，加深对《标准》和教材的理解，以及对教材编写的明线（知识线）和暗线（思想方法线、核心素养线）的进一步有效链接，呈现高阶思维的样态，获得整体层面的、系统科学的认知方式.

为实现“学、教、评”一体化，本环节设置如下嵌入评价量值，并进行实时评价，促进学生提升思维层级. 基础层级指标：小组能有效合作交流，学生能说出本节课的大体框架. 提高层级指标：学生能系统表述思维框架和逻辑框架.

综上所述，数学核心素养具有整体性和联系性，不同知识背后所蕴含的数学素养和数学方法是相同或相似的. 因此，在发展核心素养的目标下，单元结构化教学应该有更大的作为.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

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[4]王晓东，胡勇. 旨在培育基于直观想象核心素养的概念教学：以“棱柱、棱锥和棱台”为例[J]. 中国数学教育（高中版），2020（1 / 2）：80-83，88.