对数学建模核心素养培养的尝试

王瑞平

【摘  要】2014年教育部印发了《关于全面深化课程改革、落实立德树人根本任务的意见》，明确给出了“核心素养”的概念，到今年《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》的提出，“数学核心素养”走过了轰轰烈烈的八年时光。在这八年时光里，孩子们的数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象和数据分析能力得到了不同程度的发展，在小学学会的这些能力会影响孩子的一生，并由数学的核心素养迁移到其他的学科。其中“数学建模”素养对学生的影响更为深远。数学建模是数学的一个分支，最简单的理解就是从生活问题中提炼出数学问题，建立起数学模型，得到解决问题的一般思路和方法，并广泛应用到解决这一类问题中去。

【关键词】数学建模;游戏公平;圆的周长;课堂 预设

数学建模是需要人们对现实问题进行细致入微的观察和分析，运用各种数学知识，从实际问题中抽象、提炼出数学模型的過程。数学建模在整个小学高段占据着重要的作用，特别对孩子们以后深入学习中学知识打下了基础。怎样在教学中激发学生数学建模的欲望这一核心素养呢？下面以六年级上册《圆的周长》一课为例，阐述如何激发学生建模的欲望，培养学生对数学建模核心素养的尝试。

一、《圆的周长》是典型的二维关系模型

本节课是在学生学习了长方形、正方形、平行四边形、三角形和梯形这些基本平面图形的周长之后进行教学的。以前学习的平面图形都是由直直的线段组成的，求它们的周长只要把首尾相连的几条线段相加求和即可。而圆的周长却是一条曲线，这是我们第一次接触求一条曲线的长度，这里面涉及到了化曲为直的转化思想。如何把这条曲线转化为直线段？怎样激发学生建立求圆周长计算公式的模型？我设计了以下几个环环相扣的问题来激发学生建模的欲望！

二、环环相扣的问题，激发学生建模的欲望

（一）学习圆周长的必要性——圆的周长怎样计算

上课伊始，我给学生们讲了一个小故事。贪财的巴依老爷的计谋屡屡被阿凡提识破，心里非常窝火。一天，仆人送给巴依老爷一头强壮的小花驴，阴险的巴依老爷心生一计。他叫来阿凡提，说：“阿凡提，我得到了一头小花驴，今天就让我的小花驴和你的小黑驴比赛一场。规定小花驴沿着圆形路线跑，小黑驴沿着正方形路线跑。哪头驴最先回到起点，那头驴就获胜。输了的一方要给赢了的一方10个金币。”这个游戏规则公平吗？（假设两头驴的奔跑速度相同）

师：怎么判断这个游戏规则是否公平呢？

生：比较两头驴跑的长度是否相同。小花驴跑的是一个圆的周长，而小黑驴跑的是一个正方形的周长。分别计算出圆的周长和正方形的周长，再比较这两个周长的大小即可，如果两个周长相等，则游戏规则公平，反之，游戏规则不公平。根据正方形的周长=边长×4，很容易求出正方形的周长，可是圆的周长怎么计算呢？

讨论到这里，学生的思路一下子被困住了。怎样计算圆的周长呢？全体学生陷入沉思。这时，我板书本节课的学习内容——计算圆的周长。以“游戏规则是否公平”引导学生思考，要解决“游戏规则是否公平”的问题就必须知道怎样计算圆的周长，激发了学生学习的兴趣，促使学生初步萌生建模的欲望！

（二）什么是圆的周长？怎么测量圆的周长？感知测量有误差

师：什么是图形的周长？圆的周长指的是什么呢？

生：封闭图形一周的长度就是图形的周长。（学生用手指围着圆片的外沿转了一圈）圆的周长就是围绕着圆一周的那条曲线的长度。

师：我们知道了圆的周长，那么怎样测量圆的周长呢？

生：可以用“滚动法”或者“绕线法”。

学生拿出学具，纷纷测量起圆的周长。测量结束，学生发现同样大小的一个圆片，测量出的周长并不完全相同，总会存在一些误差。

要测量圆的周长，我们必须要想办法把曲线转化为我们会测量的直线段的长。学生根据生活经验知道，可以用“滚动法”或者“绕线法”来把这条曲线转化为线段。尽管采用“滚动法”时我们把圆紧贴在直尺上，采用“绕线法”时我们尽量选择没有弹性的细线，可依然会有误差。有时我们还会遇到求大圆的周长，如围绕圆形花坛的外沿走一圈走了多少米、高大的摩天轮转动一圈轿厢转过了多少米，我们就无法再采用“滚动法”或者“绕线法”来直接测量……那么，我们应该怎样尽可能地减少误差，使结果更加精确？如何准确地解决生活中关于圆的周长的问题呢？这一系列的问题，再一次激发学生迫切想要知道如何计算圆的周长的欲望。圆的周长是不是也像以前学过的平面图形那样，有计算公式呢？圆的周长到底应该怎样计算呢？

（三）计算圆的周长需要抓住两个关键：圆的周长与什么有关？与这个相关量之间有什么倍数关系？

师：计算圆的周长是本节课需要学习的内容，那么圆的周长与什么有关系呢？

学生通过联系旧知，纷纷发表自己的见解。

生：正方形的周长跟边长有关，增加（减小）边长的长度，正方形的周长也会增加（减小）。长方形的周长跟长与宽的和有关，分别增加（减小）长方形的长与宽的长度，长方形的周长也会增加（减小）。在用圆规画圆的过程中，我发现圆规两脚尖的距离增加（减小），也就是半径增加（减小），画出的圆的周长也会增加（减小），因此我猜测圆的周长和直径（或半径）有关。

师：正方形的周长=边长×4，长方形的周长=（长+宽）×2，圆的周长与它的直径之间是不是也存在着一个固定的倍数关系？我们需要验证一下。

学生动手验证的时刻来了，大家拿出课前准备好的大小不一的圆片，分别测量（尽可能地想办法减少误差，比如绳子需要越细越好，弹性越小越好，在测量的时候还得注意在圆片上做好开始的标记，同时最好拿着圆片绕一段松开一段）出每个圆片的周长和直径，用它的周长除以它的直径之后，发现周长是它的直径的3倍多一点儿，虽然测量有误差，但是周长除以直径的商都是3点几。

我们找到了求圆的周长的关键点：第一，圆的周长和直径（或半径）有关系;第二，圆的周长和直径之间也存在着一个固定的倍数关系，只要找到这个固定的倍数，那么圆的周长计算公式的模型就建立起来了。解决了这两个问题后，学生建模的欲望越来越强烈了。

那么圆的周长到底是直径的几倍呢？

人类对圆周率的探索，经历了一个漫长的过程。从公元前3世纪古希腊的数学家阿基米德，我国南北朝时期著名的数学家祖冲之，到现在人们用计算机算出圆周率小数点后62.8万亿位，人类的脚步从未停歇，还将继续研究下去。

问题到这里已经接近尾声了，整个建模公式只差最后一步了。

三、突破关键问题后激发学生建模欲望的尝试

有了这个π，学生恍然大悟，找到了圆的周长与直径之间存在的固定的倍数π，也就是圆的周长是直径的π倍。得到圆的周长计算公式——C圆=πd=2πr，就这样建立了圆的周长公式的计算模型！

得到了圆的周长计算公式，就可以解决生活中的求圆的周长的实际问题。在两头毛驴奔跑速度相同的情况下，圆的周长小于正方形的周长，必然是围绕着圆跑的小花驴最先回到起点，所以这个游戏规则是不公平的。

应用圆的周长计算公式可以求出圆形花坛最外沿一圈的长度，也可以求出摩天轮转一圈轿厢经过的长度。还可以解决如求半圆的周长，已知周长求直径，已知周长求半径……的问题。

有了这一次成功的数学建模，学生想要自己进行数学建模的热情空前高涨。从生活中的实际问题出发，提炼出数学问题，经过一步步探索，找到了解决实际问题的方法。通过联系旧知，发展数感和量感，从而找到解决一类问题的方法。课后我给学生布置了小组作业：回忆长方体和正方体的体积公式的推演经过，设计计算圆柱体积计算方法的数学模型。

四、我们的思考

回顾一下我们建模的过程，首先提出问题：圆的周长怎么计算？其次，要解决这个问题的关键有两个：第一，圆的周长与什么有关系？第二，圆的周长与这个相关量之间是否也存在着一个固定倍数关系？再次，找到圆的周长与直径有关，那么可以猜想圆的周长与直径之间存在着一个固定的倍数关系，验证圆的周长与直径之间存在着一个固定的倍数关系，得出结论：圆的周长与直径之间存在着一个固定的倍数——π，圆的周长是直径的π倍。最后建立圆的周长计算公式模型C圆=πd或C圆=2πr（这里的π是一个固定的数）。

纵观整节课，在建模的过程中，教师循循善诱、学生积极思考、师生默契互动，使得课堂氛围其乐融融。融洽宽松的课堂环境给了学生思维任意驰骋的空间，课堂上频频出现思维闪动的火花，就连平时不爱说话、不主动举手回答问题的同学，都积极发言。这样的课堂极大地开拓了学生的思维，使得老师预设的问题顺利地得到解决，建模的各个环节紧密地进行推进。最后成功地建模，学生们激动万分。通过这样的活动，挖掘了学生的潜能，使得学生重新认识了自己，也认识了数学，增强了学生学习数学、热爱数学的信心。当我布置了小组作业的时候，同学之间马上积极交流起来，这样的小组活动既调动了学生的学习积极性，同时也培养了学生的概括能力和总结能力。

整个建模的过程在未来的数学学习上也是常常出现的，如以后初中学习一次函数，找函数的解析式时，学生只有先找到常数k，才能找到函数的解析式。

五、结束语

李大潜院士说：“数学建模是开启数学大门的金钥匙。”可见数学建模的重要性。在《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》中，关于数学建模只说到了“模型意识”和“模型觀念”，怎样有效地去设计一堂数学建模的课程，还处于摸索阶段，没有现成的路径可以参考，本次课程也只是我的一种尝试。也许本次尝试还有很多不完善、不尽如人意的环节，还有待继续磨合和提高。但是在整个建模的过程中，学生跟着我的设计思路一步一步往下进行，推演得还算顺利，基本完成了探索和建模的过程，达到了预期的目的。经过课后反思，我发现在上建模课程的时候，可以给学生足够多的时间去尝试、去探索，哪怕最后会出现很多预设之外的问题，但是这种尝试的过程是学生需要的，也是学生该积累的，不管成功还是失败，对学生和老师来说都是一种积累，在积累中不断进步！

在数学核心素养培养的道路上，我们的学习是永无止境的。多年后学生在生活中遇到一些困难，需要解决一些问题时，他们如果能够找到问题的关键，通过假设—验证—得出结论—解决问题，就是我们所追求的核心素养！