利用开放式问题引导主题式学习的一些尝试及思考

【摘 要】 主题式学习有利于加深学生对知识的整体认识，实现对主线内容的整体建构.开放式问题有利于培养学生的创新意识与创新能力，具有多样性、主体性、探究性与可開发性等特点.如何在教学中利用开放式问题引导学生进行主题式学习，笔者在教学中通过尝试，给出了相关案例，并进行了一些思考，以期提高教学效率，提升学生数学素养.

【关键词】 开放式问题;主题式学习;高中数学

1 问题提出

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《课标》）指出，命题时，应包括开放性问题和探究性问题，重点考查学生的思维过程、实践能力和创新意识.2020年1月颁布的《中国高考评价体系》（以下简称《评价体系》）指出，高考试题应合理呈现情境，设置新颖的试题呈现方式和设问方式，促使学生主动思考，善于发现新问题、找到新规律、得出新结论，考查学生敏锐发觉旧事物缺陷、捕捉新事物萌芽的能力，考查学生进行新颖的推测和设想并周密论证的能力，鼓励学生摆脱思维定势的束缚，勇于大胆尝试.可见，教学与考试均提出对学生创新意识与创新能力的培养与考查.同时，《课标》提出了主题式学习，通过整合教学内容，利用大概念的观点，构建主线或主题内容，达到学生对知识的整体性认识的目的.在教学中，通过创设开放式问题，引导学生围绕主题进行深度探究，以期实现对知识的整体建构.

2 开放式问题的特征

开放式问题包含条件开放、结论开放或者条件与结论均开放，相比于传统数学问题确定的解答，开放式问题具有如下特点：（1）多样性.由于开放式问题的提出是不固定的，所以围绕某一核心概念展开讨论，条件的不同可以使得切入点是多样的，问题的不同可以使得答案是多样的.

（2）主体性.学生是数学学习的主体.通过创设开放式问题，给学生留出足够的思考空间并给予积极引导和恰当地组织合作学习，充分发挥其主体地位.教师关注学生在课堂活动中的表现，使其有体验数学的机会.

（3）探究性.通过情境材料设置的开放式问题应富有探究性，这样有利于学生从事观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动;同时，在内容与问题信息量上设置多方面的探究情境，促使学生积极、广泛地思考，取得较大的发展空间.

（4）可发展性.在设计开放式问题时，要尊重学生的个体差异，促进其个性的可持续发展，在发展中逐步提高其关键能力与核心素养.3 对构造开放式问题引导主题式学习的尝试

3.1 创设开放式情境，引导深度探究，促进主题学习

知识的产生和发展源于对问题的探究，问题的产生源于情境.因此，在教学中，可以围绕某一主题创设合适的情境，通过开放式问题，引导学生进行深度探究.

案例1 人教A版普通高中教科书数学必修第二册第54页有这样的一个问题：如图1，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一铅锤平面内.请设计一个测量方案，包括：

（1）指出要测量的数据（用字母表示，并标示在图中）;

（2）用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤.

在现实生活中，存在很多的测量问题，其数学本质是解三角形.在本案例中，需要根据要求测量所需数据，属于开放性情境问题.围绕解三角形这一主题情境，需要测量哪些边长，哪些角度，要根据实际情境进行分析.在解决这一测量问题时，可以将情境条件弱化，首先引导学生考虑如下两个情境.

情境1 如图2，若A，B之间有一座山，如何测量AB之间的距离？

分析 由于A，B之间不可视，所以需要在同一平面内选择一点C，测量AC，BC之间的距离以及∠ACB的大小，利用余弦定理求出AB之间的距离.

情境2 如图3，若A，B之间有一条河，如何测量AB之间的距离？

分析 由于A，B之间不可达，所以在其中一点的同侧选择另一点（不妨在点B同侧取一点C），测量BC之间的距离，∠ACB及∠ABC，利用内角和定理及正弦定理求出AB之间的距离.

以上情境都是通过构造一个三角形，在此三角形内结合情境正确选择正弦定理或者余弦定理.将上述条件强化，可得情境3.图4

情境3 如图4，若A，B在河的同侧，如何在对岸测量AB之间的距离？

分析 可以在对岸选择两点C，D，分别测量CD的距离，∠ACD，∠BCD，∠ADC及∠BDC，分别在△ACD及△BCD中利用正弦定理求出AC，BC的距离，再在△ABC中利用余弦定理求出AB之间的距离.

情境3即为案例1的解决策略.

围绕解三角形这一主题展开问题探讨，在复杂的情境中，学生要能够基于情境做正确分析，确定解决方案，测量需要的量.在此过程中，加深了学生根据条件合理选择正弦定理或余弦定理解三角形的认识，提升了学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，提升了数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养.

数学情境蕴含着相关的数学知识产生的背景和重要的数学思想方法，通过创设开放式的主题式的问题情境，围绕主题，引导学生进行问题探究，经历问题探究的过程，体会知识产生的背景，激发学生学习数学的兴趣，提升数学学习的能力.

3.2 根据问题灵活建立条件，凸显主体地位，引导主题学习

《课标》提出主题教学，围绕某一主题展开教学设计及教学实施. 可以说，在教学设计中，对教材内容的重构，对学习单元的设计提出了新要求.在主题教学观下，如何进行章末复习课教学设计及实施，凸显学生的主体地位，促进学生的深度学习，完善主题教学的理念，是我们需要研究的问题.在2021年江苏省高中数学青年教师评优课中，一个比赛课题是“直线与方程”的章末复习课.通过这次评优课活动，从中可以看到教师团队对主题式教学这一问题的思考与创新.

案例2 已知点P（1，2），（请添加一个条件），确定一条经过点P的直线l，并求直线l的方程.

上述案例是选手们用的比较多的一个例题，结合《课标》对学生“四基”及“四能”的要求，联系《评价体系》对学生能力的考查要求，创设开放性问题，通过小组合作、同学互問等方式展开教学，围绕主题添加合适的条件，同时指导学生提出有价值的问题，将内容不断拓展引申，完善知识体系，实现主题式教学.

在教学过程中，归纳学生提出的条件，主要包含如下几种情况：

添加条件1：直线l的斜率为1（或者l的倾斜角为45°）;

添加条件2：直线l的斜率不存在;

添加条件3：直线l过点Q（m，n）（其中m，n是常数）;

添加条件4：直线l在两坐标轴上的截距相等（或互为相反数，或互为倒数）.

通过上述条件的建立，实现了学生对直线方程五种方程形式的建构，确认了相关方程的使用局限性.由此，引导完善直线方程知识结构图，如图5，加深对直线方程形式的认识以及对每种形式适用范围的理解.

3.3 挖掘问题内涵，促进深度理解，推进主题学习

新高考中，出现了举例题，要求学生通过给出已知结论、性质和定理等条件，从题干中获取信息，整理信息，写出符合题干要求的结论或具体实例[1].这对学生深刻理解问题内涵，提升分析问题和解决问题能力，促进深度学习有重要的作用.另外，还可以促进学生养成对主题式知识建构的习惯.

案例3 （2021·新高考Ⅱ卷14）写出一个具有性质①②③的函数f（x）=.

①f（x1x2）=f（x1）f（x2）;②当x∈（0，+∞）时，f′（x）>0;③f′（x）是奇函数.

本题考查的是学生对函数性质的充分理解，例举满足条件的函数，首先学生对基本初等函数以及函数的图象与性质要有本质的理解，满足条件①的基本初等函数首先考虑幂函数f（x）=xα，再有条件②③可知函数为在区间（0，+∞）上单调递增的偶函数，根据分析，答案可以是f（x）=x2，f（x）=x4等等，其一般形式表示为f（x）=xα（其中α取正偶数）.由于答案不唯一，在教学中，教师要培养学生发散思维，发挥思考的空间，充分挖掘问题的内涵.

例如，还可以围绕f（x1x2）=f（x1）+f（x2）;f（x1+x2）=f（x1）f（x2）;

当x1，x2∈（0，+∞）时，f（x1）-f（x2）x1-x2>0;

当x1，x2∈（0，+∞）时，f（x1）-f（x2）x1-x2>1;

当x∈（0，+∞）时，f（x）+f′（x）>0（或f（x）-f′（x）>0）等条件，围绕构造函数的主题式研究，给学生多角度的思考与探索空间，构造符合条件的函数.

另外，通过对多变量x1，x2的研究，结合逻辑连接词“”与“”，还可以进行“x1，x2∈I，f（x1）=g（x2）恒成立”“x1，x2∈I，f（x1）=g（x2）成立”“x1，x2∈I，f（x1）>g（x2）恒成立”等命题的设计，实现构造方法的融会贯通.

举例题的答案不唯一，给学生很大的发挥空间，不同的学生会有不同的答案，不同的答案又体现了学生不同的思维，思维的本质是要挖掘问题的内涵，要对一类知识或者方法有深刻的理解，构建相关主题，最后能实现灵活运用.

3.4 构建结构不良问题，实现自主建构，完善主题学习

教育部考试中心任子朝、赵轩在文[2]中概括了数学学科结构不良问题的5个主要特征：（1）问题条件或数据部分缺失或冗余;（2）问题目标界定不明确;（3）具有多种解决方法;（4）具有多种评价解决方法的标准;（5）所涉及的概念、规则和原理等不确定.可见，设计并运用结构不良问题，可以帮助学生辨析概念，构建知识体系，培养发现问题、提出问题、解决问题的能力，提升对解题方法优劣的评价意识，提高数学学习的兴趣.

案例4 （2020·新高考Ⅰ卷17）在①ac=3，②csinA=3，③c=3b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值;若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinA=3sinB，C=π6，？

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

上述案例条件和结论都是开放的，这就需要学生能够从问题已有的条件出发，结合对知识的认知和已有的经验，挖掘信息，关联知识，寻找方法.

通过问题条件的缺失，可以丰富考查的内容.在教学中，组织学生选择条件进行补充，为学生提供多维度的思考空间，更好地拓展学生的思维宽度与广度，实现知识体系的自主建构.在本案例中，涉及到解三角形的知识内容.首先分析确定条件sinA=3sinB及C=π6，利用正弦定理及余弦定理可得

a=3b及a=3c，进而有b=c.

若选择条件①，结合a=3c，可求得c=1.

若选择条件②，角度1：考虑到b=c，所以有B=C=π6，所以A=2π3，所以sinA=32，由csinA=3得c=23.

角度2：考虑到a，b，c关系已经建立，所以不妨设a=3m（m>0），则b=c=m，由余弦定理可得cosA=b2+c2-a22bc=m2+m2-3m22m2=-12，所以sinA=1-cos2A=32，由csinA=3得c=23.

若选择条件③，显然与已知条件建立的b=c这一结果矛盾，于是满足条件③的三角形不存在.

围绕解三角形这一主题，通过结构不良问题，从多个角度分析，考虑对应可能，寻找不同路径，实现知识的整体建构.为了提升学生对知识的深刻理解，完善认知体系，还可以对问题条件做如下变式拓展.

变式1 在△ABC中，已知23c=acosB-bcosA，求tanAtanB的值.

分析 由23c=acosB-bcosA及正弦定理得23sinC=sinAcosB-sinBcosA，所以23sin（A+B）=sinAcosB-sinBcosA，从而得tanAtanB=5.本题实现了弦与切的转化.

变式2 在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ba+ab=6cosC，求tanCtanA+tanCtanB的值.

分析 本题是2010年江苏高考第13题，具有很好的区分度.主要过程如下：利用余弦定理，ba+ab=6cosC可化为a2+b2=32c2，于是tanCtanA+tanCtanB=sinCcosCcosAsinA+cosBsinB=1cosCsin2CsinAsinB=c2abcosC=c216（a2+b2）=4.在解三角形中，能够实施“边角互化”与“弦切互化”的关键因素是条件中要有齐次式，上述过程就实现了齐次式的作用.通过上述两个变式，将案例内容作了进一步的拓展探究.围绕解三角形这一主题，实现边与角，弦与切之间的相互转化.在教学中，可以通过改变条件或者结论，实现多元的发展，特别的，该系列题的求解内容丰富，考查了正余弦定理、三角形内角和、诱导公式、同角三角函数关系式、两角和与差的正余弦公式以及平面向量数量积等知识，入手宽，起点低，既可以利用正余弦定理进行边角互化解决问题，又可以从平面向量入手，实现了多个知识点的综合考查，达到了数学学习高效学习的效果[3].综合案例1及案例4，可以给出如图6所示的结构关系图.

4 对构造开放式问题引导主题式学习的思考

4.1 教师要有利用开放式问题引导学生主题式学习的意识

《评价体系》指出了情境化命題，以此来承载考查内容，达到考查目的.要培养与提高学生解决情境化问题的能力，需要教师注重在教学中创设问题情境，引导学生主动探究学习，促进深度学习.现在的教学中，讲授式教学和接受式学习仍然是教学的主要方式，对学生数学主题式学习能力与意识的培养是持续性的过程，需要教师改变观念，需要学生学会学习，开放式问题有利于发展学生的发散思维，有利于学生独立思考、自主探索，有利于培养学生围绕情境问题进行深度探究的意识，有利于学生主动建构知识体系，完善知识认知.4.2 教师要梳理清主题式内容体系，增强教学的阶段性、整体性与相关性高中数学课程内容由函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动四条主线构成，这样设置内容，更好地体现了知识的阶段性、整体性和关联性.作为教师，要能够认识结构变化，熟悉教材内容设置，注重数学逻辑体系，完成从以往按照“知识领域—知识单元—知识点”展开教学到现在按照“主线—主题—核心内容”呈现内容，开展教学的完美转化.例如，在函数的单调性教学中，可以围绕其为主题，串联函数单调性的概念，基本初等函数的单调性，数列的单调性，利用导数研究函数的单调性等知识，这些内容的呈现是存在阶段性的，教师要在教学中能够通过设置情境，在不同阶段，合理串联起它们的关系，从整体观角度认识它们之间的关联.4.3 让学生体验生成大概念体系，养成自主创新的思维习惯大概念是指在某一学科中居于重要地位，对学科其他内容更具统摄力、关联性的概念.学生对知识的掌握是离散型的，要培养学生在学习的过程中串联知识，建构体系，需要教师围绕最重要、最核心的内容设置合理的问题情境. 例如，通过设置开放式的问题，启发学生思考，引发学生展开联想，领悟知识之间的内在逻辑和思想方法.这样，学生应该更能体会知识的本质特点，围绕核心概念扩展知识体系.以此循序渐进地学习，逐步建立自主建构概念体系的能力，养成自主创新的思维习惯.

总之，在教学中，通过设计开放式问题，帮助学生多角度思考，有利于促进学生交流合作，培养思维的系统性、灵活性、创造性，加深对知识的整体认识，实现对主线内容的整体建构.

参考文献

[1] 任子朝等.高考数学新题型测试研究[J].数学教育学报，2015（02）：21-25.

[2] 任子朝，赵轩.数学考试中的结构不良问题研究[J].数学通报，2020（02）：1-3.

[3] 李刚.基于课本，提高命题的针对性和有效性[J].数学通讯，2017（02）：43-47.

作者简介 李刚（1983—），男，江苏苏州人，中学高级教师;曾获江苏省高中数学优质课评比一等奖;研究方向：中学数学教育.