借力变式训练，提升几何解题技巧

徐黎明

[摘  要] 几何变式训练是通过一题多练、一题多解的方法培养学生思维的灵活性，理解数学本质的有效方法. 教学中可以通过图形变化、条件变化、结论变化等方式，拓展学生思维，有效提升学生的解题能力.

[关键词] 变式训练;解题技巧;思维训练

习题练习可以检验学生对所学知识的掌握情况，推动教师的教学工作做出有效调整，能够对学生的学习情况进行查漏补缺，可以有效提升学生的解题技巧，增强学生学习数学的信心. 然而在习题教学中很容易落入“就题讲题”的俗套，掉进“题海”战术，为了避免这种低效教学的模式，教师要发挥主观能动性进行变式训练. 从不同的角度、不同的层次水平、不同的背景，在不改变习题本质的情况下对习题进行改编，可以帮助学生理解数学思想，有效掌握解题技巧，拓展思维的广泛性[1]. 如何进行快速高效地变式训练，在减轻教师负担的同时，又能提升教学效果，笔者进行了一些思考，总结出一些方法，与各位同行进行讨论.

原题简单变式

简单变式是在原题的基础上不改变原有的架构和内容，仅仅将结论和条件进行互换，或者只是简单改变一个条件，又或者将结论作简单改变的一种变式训练. 这样的变式训练难度不大，旨在使学生能够熟练运用所学知识，所以这样的变式训练主要适用于新课的练习.

案例1 如图1所示，点D在线段AB上，点E在线段AC上，AB和AC相等，∠B和∠C相等，求证：AD和AE相等.

变式1：（1）如图1所示，点D在线段AB上，点E在线段AC上，∠B和∠C相等，AD和AE相等，求证：AB和AC相等.

（2）如图1所示，点D在线段AB上，点E在线段AC上，AB和AC相等，AD和AE相等，求证：∠B和∠C相等.

变式2：如图1所示，点D在线段AB上，点E在线段AC上，AB和AC相等，∠B和∠C相等，求证：BD和CE相等.

变式3：如图1所示，点D在线段AB上，点E在线段AC上，AB和AC相等，CD垂直于AB，BE垂直于AC，求证：BD和CE相等.

思路评析 变式1只是将条件和结论进行了简单互换，所以在解题思路上既有联系又有区别，共同点在于都需要通过三角形全等进行求证，但不同的是原题是通过角边角进行判定，而变式则分别是通过角角边和边角边进行判定.变式2和变式3虽然对结论和条件都进行了简单的变化，但是解题思路没有发生改变，仍然是通过三角形全等进行求解. 通过这样的变式练习，学生对于三角形全等的求证方法得到了进一步的巩固.

上述的变式训练笔者的选材没有脱离教材，但是又对教材进行了深入挖掘，让学生在感悟试题条件、结论等发生变化的基础上，对解题思路做出相应的改变，在变化中寻找不变，激发学生的学习兴趣，促进学生积极思考，体验获得成果的喜悦.

几何图形变式

几何证明题的变式练习离不开图形变式训练，通过对图形的改变，形成一组图形变式系列题，加大了题目的难度，需要学生综合运用所学知识进行解决，因此这样的变式练习适合单元复习使用. 图形变式练习着重考查学生面对不同的条件，学会同类转化，能采用相同的解题思路解决问题，提升学生的识图能力，达到举一反三、触类旁通的效果.

案例2 已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一个动点（除B点和C点）. 以AD为边作菱形ADEF，使∠DAF=60°，连接CF.

（1）如图2所示，当点D在BC边上时，求证：①∠ADB和∠AFC相等;②判断∠AFC是否等于∠ACB與∠DAC的和.

（2）如图3所示，当点D在BC边的延长线上时，若其他条件不变，那么∠AFC是否等于∠ACB与∠DAC的和？你认为∠AFC，∠ACB，∠DAC之间存在怎样的数量关系？请写出你的证明过程.

（3）如图4所示，当点D在CB边的延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变，请将图形补全，并且写出∠AFC，∠ACB，∠DAC之间存在的数量关系.

思路评析 通过动点D的变化，形成了不同的图形结构，随之∠AFC，∠ACB，∠DAC之间存在的数量关系也发生变化. 但是学生透过现象抓住本质可以发现证明的思路都是通过三角形全等从而得到∠ADB和∠AFC相等，再利用三角形的内外角定理去寻找等量关系. 几何证明题的图形变化多端，图形变式训练对于学生的识图能力有很大的提升作用，通过这种训练，学生能在类似的图形中找到共同点，从而进行类比找到相同的解题思路，实现了快速高效的解题目标.

证明过程变式

过程变式是一种综合性的变式训练，问题的本质未变，但是可能图形、条件和结论都已经变了，这样的变式题综合性强、解题思路隐蔽，主要适用于综合性的复习. 其作用是训练学生能从复杂的变化中抽离出不变的本质，在知识点之间构建联系，提高学生的思维能力和解题能力，锻炼思维的灵活性.

案例3 如图5所示，A是线段BC上任意一点，分别以AB，AC为边在BC的同侧作等边三角形ABD，等边三角形ACE，连接BE和DC.

求证：CD和BE相等，并且CD与BE的夹角为60°.

变式1：如图6所示，△ABD，△ACE分别是以△ABC的边AB，AC为边作的等边三角形，连接BE和DC相交于点P. 求证：DC和BE相等，并且∠DPB=60°.

变式2：如图6所示，△ABD，△ACE分别是以△ABC的边AB，AC为边作的等边三角形，连接BE和CD相交于点P，如果把△ACE绕点A旋转. 求证：无论△ACE绕点A旋转到任何位置，DC和BE都相等，并且∠DPB=60°.

变式3：如图7所示，把等边三角形ABD和等边三角形ACE改为正方形ABEF和正方形ACMN，那么BN与CF的长度和夹角发生了什么变化？如果改为正五边形、正六边形……正n边形呢？

思路评析 原题及变式1、变式2都通过等边三角形ABD和等边三角形ACE，得到结论DC和BE相等，通过三角形全等和等边三角形的内角为60°，利用等量转换，得到CD与BE的夹角为60°. 变式3则是训练学生类比方法的运用，在变式1、变式2的基础上，利用等边三角形的内角度数，类比思考其他正五边形、正六边形等.

教学反思

变式训练是教学中有效提升解题技巧，锻炼学生思维的一种方式，巧用变式训练，可以跳脱出题目的束缚，从更高的角度进行知识的提炼和概括，为了提升变式训练的效果，笔者认为可以从以下几个方面进行思考：

1. 变式题型的选择要有目标性

变式训练是通过情境的变化，问题条件、结论的变化等，对学生學习情况进行的进一步的训练和检测，培养学生能够识别不同的问题情境，透析数学问题的本质，学会使用恰当的解题方法，从而实现高效的训练. 因此在选择变式习题时，为了提高效率，习题的选择需要有针对性，变式需要有典型性和目标性，避免大量的无效训练，不要让变式训练变成另一种形式的“题海战术”.

2. 选择典型的变式题型

变式训练是有针对性的训练学生的思维灵活性和发散性，因此选择的变式题型需要有典型性，能做到“抓住一例，涉及一片”. 教师在设计时要做好规划，根据学生的实际情况选择具有典型性的题型，使学生能够学会解题方法，体会数学思想，高效地学习数学.

3. 注意有层次的进行变式题型的训练

鼓励学生积极参与学习活动是学生真正获得学习体验的方法，而激发学生积极学习的方法是在学习过程中使学生能够体会到学习的成功. 因此在设计变式训练时，要从学生的“最近发展区”出发，安排难度适宜的试题，既有一定的难度，又能使学生通过努力可以达到目标. 在一个班级当中，学生的学习能力有所差别，因此在进行题目设计时，需要进行有梯度的题型设计，由易到难，由简单到复杂，随着学生学习能力的提高，不断提高题目的难度. 学生经过自己的努力，可以克服困难，收获成就感，激发学习的内驱力[2].

4. 注重教学方式的多样化

变式练习主要训练学生能够多角度地观察、分析和解决问题，因此解题思路多样，解答方式多样. 几何证明题的知识点较多，需要学生能够综合运用知识解决问题，能够在知识之间建构联系，因此很容易让学生感觉到疲倦. 教师在教学中可以通过多样的教学方式营造学习的氛围，搭建学生参与的平台，鼓励学生自己实践和表达，激发学习的热情，减少学习的疲倦感，有效提升教学效果.

总之，变式训练的目的是在探究问题的过程中渗透数学方法、传达数学思想.教的目的在于不教，授之以鱼不如授之以渔. 真正的教学不在全盘的灌输知识，而在于引导学生参与学习，体验活动，使学生在一次次的体验中，锻炼思维，增长智慧，拓宽视野，解题能力不断提高，使数学思想得到升华.

参考文献：

[1] 孙学东. 数学需要教“解题模型”吗？[J]. 中学数学教学参考，2018（29）：6-9.

[2] 巩子坤. 数学知识的特征与学习方式的有效选择[J]. 中国教育学刊，2005（11）：55-58.