试论数学史融入数学教学的准则与方法

芳慧 毕力格图

[摘 要]随着课程改革的不断深入，数学史融入小学数学课堂已然成为一种趋势。依据数学史融入数学教学的准则，通过PEM（数学教育心理学）层面的分析，结合数学学习的特点提出三种数学史融入小学数学教学的方法：融合型方法—生活化、应用型方法—故事化、综合型方法—图式化，并给出具体的教学措施，以期通过探讨数学史融入小学数学教学的方法和策略，使数学史合理有效地融进小学数学教学，最大限度地发挥数学史的教育价值。

[关键词]数学史;小学数学;准则;方法

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2022）17-0027-03

一、问题的提出

研究数学史融入数学教学的文献有很多，仁者见仁，智者见智。从思维主体的认知形成过程与特点来看，科学合理地把数学发展史融入数学教学过程之中，不仅能提高学生数学知识的理解能力，还能提高学生的数学核心素养和文化修养。但是，要想全面提高数学教学效果和持续发展数学技能，就要深入挖掘数学史的教育价值、文化价值与科学价值，切忌简单机械、生搬硬套、单一叙述。

二、数学史融入的准则

1. 历史发生原理

数学史的融入需要遵循历史发生的规律。英国的学者布兰富德在其《数学教育研究》一书中提出：“我的目的是展示人类几何知识演进的实际方式与学生最乐意和最有效吸收该经验的方式之间的相似性……几何学最有效的讲授方式乃是遵循科学历史演进的顺序。”事实上，学生的思维从具体到抽象、从感性到理性的过程正是科学再现人类祖先发现数学的过程。例如，学生在认识数时，需要先从培养数感开始。

2. 创生原理

创生原理具有两个方面的含义：第一，数学学习要在一定层面上重复数学发展的历史;第二，数学学习的过程不是将知识强加给学生的过程，而是学生主动“创造”的过程。只有这样，数学才能够成为学生素质的一部分。虽然数学史的融入需要重建知识产生的过程，但并不是简单的历史重现过程。教师需要合理运用，让学生通过有限的历史重现，去理解知识的来龙去脉，从而让知识仿佛在学生的脑海中重新创造一样。

三、数学史的融入——从PEM层面分析

按现代认知结构的学习理论，数学学习活动的过程就是新的数学内容与原有的数学认知结构中的有关内容相互作用，从而形成新的认知结构或扩大原有的认知结构的过程。同时，数学学习还受情感、意志、动机、兴趣、个性品质等的影响，这些因素虽不直接参与数学学习的认知活动，但都对数学学习起着推进、增强、维持、调节把控等作用。认知因素和非认知因素都是促进学习活动的重要因素。

一方面，数学史可以帮助学生加深对数学概念、方法和思想的理解。从教育心理学的角度来看，理解是知识迁移的重要条件，所以说数学史影响学习活动过程。另一方面，对数学学习活动来说，认知因素和非认知因素是知识产生同化、顺应的主要因素。因此，数学史的融入更应侧重对认知结构的构建，也就是说，要考虑认知因素和非认知因素的加强应用。

认知因素是直接参与学习活动的，并且认知因素是随着年龄与思维的增长而变化的。从皮亚杰对认知发展阶段的划分来看，小学生正处于具体运算阶段。该阶段学生的认知结构已经重组和改善，思维具有一定的弹性，不过还是需要具体实物的支持，不能彻底抽象。而从知识的理解和存储来看，由于不同学生的认知结构不同，在知识迁移的过程中容易产生不一样的图式和脚本。图式是一种将关于世界的一般性知识与关于特殊事件的信息结合于一身，对过去反应或过去经验的主动组织。脚本是图式的一种，它们被用来指明各种信息的关系和描述事件，能够引导我们做一系列的推断，但往往记忆集中与脚本有关的信息会侵入我们的记忆中，造成记忆的错乱。因此，对学生认知因素的了解显得尤为重要。数学史的融入既要考虑每个学生的认知要素，也要完成抽象化知识的具体化。

非认知因素是不能直接参与学习活动过程的一种情感、态度、动机和意志的结合体，是對认知结构产生积极影响的一种心理因素。而数学史的融入可以在很大程度上活跃课堂氛围，引起学生的兴趣，促使非认知因素对学习过程产生积极的影响。另外，帮助学生了解数学科学和文化价值，培养良好的数学品质，对数学学习的过程有着良好的推进作用。

从认知心理学的角度来看，数学史的融入需要全面地参与数学学习活动，包括通过影响认知因素来参与数学学习活动，通过影响非认知因素来推动数学学习活动，从而直接影响数学学习活动中的记忆和数学学习的深度。

四、数学史融入小学数学教学的方法与实施

1. 融合型方法：生活化

数学学习的过程中，困扰学生的主要是数学抽象思维的转变。这也是阻碍学生认知水平提高的主要原因，因而将抽象思维转化成形象思维是解决这种困难的有效路径。虽然数学史融入数学教学可以促进认知水平的提高，但作为研究数学发生发展及其规律的科学，其内容有很强的抽象性，要融入小学数学教学更是存在一定的困难。因此，需要运用生活化的方法，让数学发展过程中的优秀方法、思想重新呈现，让学生在自己熟悉的认知环境中理解其中的奥妙。

如在教学“分数的加法”时，教师可以充分应用《九章算术》里的“约分法”。分数的学习本身是数系概念的又一次抽象，学生理解起来有一定的困难。教师可以通过具体情境，让分数概念和生活实际产生联系，在认知发展水平和思维特点的基础上给学生提供自主思考的机会，从而让学生掌握其中的思想和方法。

分数的加减运算实际上要解决两个问题：一是统一分数单位，二是分子之间的运算。首先，教师可以给出生活情境，提出问题：为迎接新学期的到来，学校要在图书馆门前的一块正方形的空地上摆放牡丹花和海棠花的盆栽，其中牡丹花占地面积为[14]，海棠花占地面积为[12]，那么哪种花的占地面积大？这两种花的总占地面积为多少？

通过实际的例子来引发学生的思考：分数单位不同的分数能不能直接相加？ （不能）为什么？采用什么方法才能将它们相加？而后教师可以通过直观的图形来解释这些问题：把表示[12]和[14]的两个图形重叠在一起（如图1），看看所得的结果。

学生对比图片，经过讨论得出：只有分数单位相同的分数才能进行加法运算。随后，教师启发学生思考：如何计算1/2+1/3？

通过展示学生对圆形纸片的不同分法（如图2），引导学生分别按分母是6或12通分，再比较，使学生认识到用分母的最小公倍数作分母比较简便。顺势而下，引导学生提炼异分母分数相加的算法： 先通分，再相加。通分的时候一般用分母的最小公倍数作分母。

经典问题“鸡兔同笼”的情境是典型的古代生活中的情境，和现代学生的认知环境有着一定的差距。教学时，教师可以将其转换成学生熟悉的环境。如教师重新创设一个生活情境，把场景换成超市里，工作人员把小鸡玩偶和小兔玩偶放在一起搞促销活动。这种情境可以避免学生对“鸡兔同笼”情境不熟悉而带来的尴尬，让学生在熟悉的环境中体会“鸡兔同笼”问题的解法，也可以更好地与学生以往的认知水平关联起来，使其更快地接受新知识。

生活化的方法主要是将数学发展史中的经典内容通过生活实例重新反馈给学生。这种方法将注意点更多地转向方法、思想的传授，并不单单注重史料本身的呈现，是一种综合有效的融合型方法。

2. 应用型方法：故事化

对小学生来说，数学史的呈现更多是作为知识的背景内容，思想和方法上的内容涉及较少。针对这种情况，运用故事化的方法融入数学史是一种切实可行的方式。数学教材中的数学知识往往“标本化”，故事化融入方法可以提高知识的弹性和趣味性，极大地活跃学生的非认知因素，推动学习过程。不过，在运用这种方法时，要避免故事和課程内容的割裂，不能只将所应用的故事当成活跃气氛的工具。

如在教学“认识1～5以内的自然数”的时候，教师可以选用古希腊名著《荷马史诗》里独眼巨人波吕斐摩斯放羊的故事。他所使用的方法是把羊和石子相对应，借助一一对应的方法来比对数量的多与少。通过该故事的讲述，让学生感悟数字演变的经历，发现其本质，为更直观地学习自然数做铺垫。

相信大家在学前班或幼儿园里都学过数数了，那么同学们知道古人是怎么数数的吗？在很久很久以前，那时候还没有数字，人们只能根据自己的感觉来确认事物的数量。不过，在古希腊，聪明的波吕斐摩斯怕自己的羊被人偷走或者被其他动物吃掉，就想出了一个数羊的办法：早晨从山洞里每出来一只羊，他就捡起一颗石子，晚上每返回一只羊，他就扔掉一颗石子，以此来记录自己的羊的数量。当早晨捡起的石子都扔光时，他就能确认所有的羊都返回了山洞。这种方法很快受到其他人的推崇。不过，随着所记录的事物不断增加，石头记数法渐渐演变成了结绳和画线的记录方式。

同学们可以用上述三种方法来记录自己的东西数量吗？接下来我们来学习1～5以内的自然数。（教学时，建议教师出示情境图或视频）

又如，在教学“小数的初步认识”的时候，教师可以介绍小数产生的背景故事，探讨整数与小数的区别，为接下来的学习做铺垫。

今天我们来学习小数。同学们知道小数是怎么产生的吗？早在一个世纪以前，我国魏晋时期的数学家刘徽在注解《九章算术》时为了表示写的数量与实际量之间的差异，发明了一种方法：在整数后面加上非整数。这就是今天我们所学习的小数，那时候称为“微数”。后来，其他国家也根据自己的实际应用需求分别以不同的方法表示整数和非整数。直到1585年，荷兰的数学家西蒙·斯蒂文在自己的著作《论十进》中把整数后面的非整数用十进制来表示，发明了十进制系统，也就是我们今天所认识的十进制小数。

故事化融入方法是一种普遍的融入形式，但要合理高效运用故事化方法，才能将数学发展史中的教育价值、科学价值和文化价值最大化。另外，故事化融入方法是丰富教学内容、深化知识认知、实现知识迁移、调动知识情感的最直接的手段。

3. 综合型方法：图示化

从认知心理学的角度来看，图式是知识产生内化的第一步，也是进行记忆的首要步骤。新图式受与该记忆有关的旧图式的影响，会产生新的认知结构。但有时候新图式会被错误或残缺的旧图式影响，从而产生认知上的误区。数学史的融入应当立足于正确且完整的图式上，为知识的迁移打下基础。对此，可以运用综合型的图示化方法，将数学史作为一种信息单元传授给学生。这种信息单元可以是任何一种形式的信息，只要能对学习过程的图式产生积极作用，都可作为信息单元。教师可以充分利用现代化手段，结合图影和音频，让知识充分“动”起来，形成利于推进学习活动的图示形式，加深理解和便于记忆，这对以后认知结构的扩大和完善有着积极作用。

如在教学“十进制自然数”的时候，教师先让学生思考：为何人类会选择十进制系统作为数字系统？然后在下节课上课时，直接通过讲解记数系统的视频，或者卡通漫画的形式为学生解答，由此极大地提高了知识的弹性，促进了学生的理解和记忆，同时也对数学知识进行了普及。

这种方法对硬件条件和素材的要求很高，并不是所有学校都能实现。不过，随着信息技术的快速发展，这种方式无论是对学生认知结构的完善，还是对学生数学素养的培养、数学文化的普及，都有着积极作用。

五、结语

学习过程是一个复杂的过程，将数学史融入课堂教学，会对学生的认知产生积极影响。相信在改革不断深入的背景下，教师一定能够充分利用数学史的相关知识，通过数学史知识的讲解充分挖掘数学学科的育人理念，促进学生的全面发展，并推动学生数学能力的不断提高。

（责编 吴美玲）