数学文化视域下的小学数学教学

余璟

[摘 要]考虑到学生的年龄及思维特点，苏教版教材在三年级开设的“探索规律”单元专题活动中，将不再呈现简单的规律的情境，而是偏向于呈现复杂、内隐的数学规律。这样一来，学生势必要以一定的探究方式进行过程性的探索与发现，才能感受到探究的乐趣，感悟数学思想。

[关键词]小学数学;数学文化;奇偶性

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2022）17-0040-03

数学的概念、公式、法则、定律（知识性成分）是显性的数学文化，而贯穿其间的数学思想、理性精神、数学方法（观念性成分）则是数学文化的精神实体，这种蕴藏在知识性成分背后的观念性成分（也叫隐性数学文化）则是数学文化的核心和灵魂所在。下面，笔者结合“和的奇偶性”一课，从数学文化的实践视角谈谈自己的思考。

视角一：举例

在规律探究的过程中，有教师认为应教授学生用推理的模式进行探究。而笔者却认为，推理是从现象到本质的一种追寻，而举例却是反其道而行之的、契合学生思维的一种归纳。

相比较而言，举例是验证规律的最直接的手段。就本节课“和的奇偶性”举例活动的反馈来看，学生的思维高下直接顯现：有的学生以较小的自然数逐一列举，并没有考虑不同的类型，而有的学生所举的例子体现出差异性，不但考虑到不同情况（有加数数位的不同，有加数个位数字的不同），还考虑到0这样的特殊数。通过这个活动，所有学生都能在自己原有的知识基础上获得真正的思考与探究。当然，选择举例并不是排斥使用其他方法，只不过有所侧重，因为这些例子对学生来说是最方便的，在验证时懂得用有限的例子阐述自己的猜想，说明学生的思考势必要经历一个从有限到无限的扩展过程。如果在此过程能够给予学生充分的时间引发他们反思，引导他们从反例上去琢磨，便能与用数学文化思想育人的步调保持一致，也为学生的后续习得经验提供强有力的支撑。

视角二：猜想

荷兰数学教育家弗赖登塔尔曾说，真正的数学家常常凭借数学的直觉思维做出各种猜想并加以证实。因此，猜想、验证都是重要的思想方法，也是人们在解决数学问题时采用的基本策略。

“和的奇偶性”是在学生掌握了奇偶数概念，并掌握一定的研究、猜想、验证的学习方法之后展开教学的。对于这节活动课，如果教师的教学目标仅限于让学生掌握和的奇偶性特征，那么学生只要记住结论，然后套用结论进行判断即可。很显然，这种模仿式的判断只是一种形式化的教学，很难让学生真正达到对问题本质的理解，更难培养学生数学的意识与眼光，也就无法真正让学生形成数学思维方式和数学素养。因此，当学生能够运用举例的方式发现“奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，奇数+偶数=奇数”的猜想时，笔者并没有简单地让学生进行形式化的演绎和验证，而是适时启发：“同学们能根据平时积累的经验，通过举例后提出了猜想，并在举例时能够考虑不同类型，比如加数位数不同、个位数字不同……不过，这样的例子举得完吗？万一有个例子不符合结论怎么办？该如何验证猜想的正确性？”并据此带领学生展开深度探究。借助学生的各种表达方式（用字母表示、数形结合，以及只考虑加数个位数的和的结果等），让学生真正掌握了数学规律的本质，使学生“知其然”，更“知其所以然”，感受到数学的严谨，以及懂得数学是一门讲理的学科。在教师不断追问“为什么”的过程中，学生的理解也由表及里、由浅入深，这无形之中形成的批判意识和质疑精神为学生的数学素养奠定了重要基石，同时也彰显了数学文化的育人功能。

视角三：建模

伽利略曾说：“宇宙是永远放在我们面前的一本大书，哲学就写在这本书上。但是，如果不首先掌握它的语言和符号，就不能理解它。这本书是用数学写的，它的符号是三角形、圆和其他图形，不借助于它们就一个字也看不懂，没有它们就只会在黑暗的迷宫里踯躅。”我们知道，数学模型是对数学本质最精妙的概括，是数学抽象性特征的具体体现。因此，在严格意义上来说，建模既是数学教学的手段和方法，更是一种基本的数学思想。

“和的奇偶性”一课的知识起点并不高，对学生而言貌似是“不教也会”的内容，但事实果真如此吗？实际上，学生对这些知识只是“知其然”，而“不知其所以然”，对于知识背后所蕴含的思想、方法大都是一知半解而已。教师一定要从数学文化的视角对教材作深度挖掘与思考。

【片段1】笔者引导学生判断36+28的和是奇数还是偶数，36+6+20+32的和呢？36+1+9+3+5的和呢？学生发现三个算式的结果都是偶数，而最后一个算式中，在“36”后面依次添上“+1”“+9”“+3”“+5”时，和有时是奇数，有时是偶数。由此，学生根据直觉猜测和的奇偶性与算式中奇数的个数有关。于是，笔者出示学习单（如图1）。

笔者以两个问题追问学生：（1）几个非0自然数的和是奇数还是偶数，关键看什么？（2）和的奇偶性与算式中奇数的个数有什么关系？一下子将学生对2个数的和的奇偶性的认知扩大到3个、 4个、 5个……将关注点聚焦于奇数的个数上，使学生对知识“知其然”，更“知其所以然”，这为课程的推进起到了较强的推动作用，从而为全课营造基于疑问的认知场，使得学生的答案精彩纷呈。

生1：偶数的个数不管是2个、3个、4个……它们的和的奇偶性并没有变化，也就是n个非0偶数的和仍然是偶数。

生2：随着奇数个数的增加，它们的和的奇偶性随之发生变化。当奇数的个数是1、3、5、7……时，它们的和是奇数;当奇数的个数是2、4、6、8……时，它们的和是偶数。也就是n个奇数的和有可能是奇数，也有可能是偶数。

师（追问）：这样看来，判断n个数相加的和的奇偶性，我们只要看什么就行了？起决定作用的是什么？

生（齐）：奇数的个数。

师：当奇数的个数是奇数时，和就是奇数;当奇数的个数是偶数时，和就是偶数。

生3：在既有奇数也有偶数的加法算式中，如果仅仅增加偶数的个数，和的奇偶性不改变。但是增加奇数的个数时，如果增加偶数个奇数，和的奇偶性不变;如果增加奇数个奇数，和的奇偶性改变。

严密的思维和清晰的表达是数学学科重要的学习要求。此时，这张为学生搭建认知结构平台的学习单，成为他们不断分析、思考、演绎、归纳的场所。在学生不断思考构建数学模型的过程中，学习单中的表格充当了学生不断建模的理想“模具”，于无形中帮助学生拓展了新的模型，也刚好符合数学文化的教育价值要求。

视角四：表征

真正的數学文化蕴含在数学知识的生成过程之中，它有着本身自带的文化生命。对学生来说，使他们感到困惑的内容，往往是蕴藏在知识背后的、反映数学本质的思想观念。因此，教师应将教材中没有显现出来的，或学生理解存在困惑之处进行加工再创造，使得隐藏于数学知识里的逻辑规律显现。

【片段2】奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，奇数+偶数=奇数。两个自然数相加，和的奇偶性为什么会有这样的规律呢？

师：要解决这个问题，我们先来认识一位重要的人物——华罗庚。华罗庚是我国著名的数学家，他有一句非常重要的话——数形结合百般好。这句话是什么意思呢？为什么数和形结合好处多呢？刚才我们研究这三条规律时都采用了举例的方式，其实我们在数学学习中不仅要回答老师提出的问题，更重要的是自己能提出有价值的问题。下面小组合作讨论，任选一条规律，用你喜欢的方式验证它是否适合所有的算式。

（学生反馈如图2、图3、图4）

笔者用这样一个敞开式的话题勾起了学生交流的欲望。学生有的用具体数值计算（如图2），有的采用字母表征的方式（如图3），有的考虑个位相加的情况，有的依据奇数和偶数的本质特点——能否被2整除来阐述（如图4）……这样的过程呈现的是学生原生态的思维方式。

【片段3】

如图5，当学生演绎出“2a+2b+2c+1=2（a+b+c）+1”的字母表达式时，俨然已经超出了本节课的知识目标定位，但笔者并没有阻止学生继续思考，而是给学生搭建必要的支架，让他们的思考路径、思考方法顺势而为，因为这样的探究更能激发学生学习的活力，碰撞出新火花。在这种相辅相成的互动中，演绎出字母表达式的学生自身也能够因同伴的启发而产生更深刻的思考。接着学生的思维，笔者用课件呈现学生的思路（如图6）。

课件内容的直观呈现，使学生切实体会到“数形结合百般好”的优势所在。

学习数学的兴趣和好奇心是认同数学价值的内在动力，而对数学价值认同的重要标识显然是对数学思想的体会及凝练。良好的数学素养、言必有据的治学精神都是由数学缜密的逻辑思维方式所给予的。相信这样一节充满理性探究、动态生成的课堂，势必为学生今后的学习奠定坚实的基石！

（责编 李琪琦）