文科的面孔 理科的难度

谢飞燕

[摘  要] 文章对2021年新高考全国Ⅰ卷立体几何解答题进行了评析，指出其“文科的面孔，理科的难度”特点，针对考生的典型错误，提出了相关的教学启示.

[关键词] 立体几何;核心素养;教学启示

2021年新高考全国Ⅰ卷的数学卷没了文理之别，往年立体几何解答题一般以棱柱或棱锥为载体分步设问：第一步，常以平行、垂直证明为主;第二步，文科主要考查几何体的表面积和体积的计算等，理科主要考查线线角、线面角和二面角的计算.以往理科难度比文科大，那么如今新高考的立体几何解答题是“偏文”还是“偏理”呢？2021年新高考全国Ⅰ卷立体几何解答题的第二步以求几何体的体积为主，实质是求二面角，具有“文科的面孔，理科的难度”特点. 下面笔者通过深入剖析此题的典型错误并提出相关的教学启示.

原题 如图1所示，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O为BD的中点.

（1）证明：OA⊥CD;

（2）若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE=2EA，且二面角E-BC-D的大小为45°，求三棱锥A-BCD的体积.

[?]解法介绍

对于第（1）问：因为AB=AD，O为BD的中点，所以AO⊥BD. 又平面ABD∩平面BCD=BD，平面ABD⊥平面BCD，AO?平面ABD，因此AO⊥平面BCD. 又CD?平面BCD，所以AO⊥CD.

对于第（2）问：

1. 几何法

作EF⊥BD于F，则EF∥AO;作FM⊥BC于M，连接EM，如图2所示.

因为AO⊥平面BCD，所以AO⊥BD，AO⊥CD，所以EF⊥BD，EF⊥CD. 又BD∩CD=D，BD?平面BCD，CD?平面BCD，所以EF⊥平面BCD.

因为BC?平面BCD，所以EF⊥BC.又FM⊥BC，FM∩EF=F，FM?平面EFM，EF?平面EFM，所以BC⊥平面EFM. 又ME?平面EFM，所以BC⊥EM，则∠EMF为二面角E-BC-D的平面角，所以∠EMF=.

因为BO=OD，△OCD为正三角形，所以BO=OC，则∠OBC=∠OCB=30°.

因为DE=2EA，所以在Rt△FMB中，FM=BF·sin∠OBC=×

因为AO⊥平面BCD，所以三棱锥A-BCD的体积V=AO·S=×1××1×=.

2. 坐标法

取OD的中点F，因为△OCD是正三角形，所以CF⊥OD，过O作OM∥CF与BC相交于点M，则OM⊥OD，所以OM，OD，OA两两垂直.

以点O为坐标原点，分别以OM，OD，OA为x轴、y轴、z轴建立如图3所示的空间直角坐标系，则B（0，-1，0），C

[?]试题分析

1. 题目设置顺序

2021年新高考破例把立体几何解答题放在后三题中，可见其难度有所加强，令许多考生措手不及，但也是预料之中. 因为新高考取消了往年的解答選做题，所以立体几何题往后移了一个位置，位于解答题第四题，所以难度较往年有所增加，相对于往年的理科立体几何解答题的难度也是略有提升的.新高考立体几何解答题放在大题的后三道将会成为常态，说明新高考对数学六大主干知识里的立体几何的要求有所提升.

2. 题目考查内容

本题考查了面面垂直的性质定理，二面角的定义、线线垂直的证明及三棱锥体积的求解;考查了考生的逻辑推理、数学运算和直观想象等数学核心素养.

3. 典型错误

（1）空间图形的位置关系混乱，缺乏直观想象核心素养.

在第（1）问中，有不少考生凭感觉由平面ABD⊥平面BCD直接得出OA⊥平面BCD，可能是受到“平面与平面平行则其中一个平面内的任一直线都与另一个平面平行”的影响，究其原因，主要是考生对空间图形位置关系的理解混乱，缺乏直观想象能力而造成了错误. 同样，在第（2）问中，不少考生也会犯这样的错误：由平面ABD⊥平面BCD得出OC⊥平面ABD，接着错误地认为OA，OB和OC是两两垂直的直线并以它们分别为坐标轴建立错误的空间直角坐标系，当然最后就是“一错全错”.

在第（2）问中，采用传统的几何法寻求二面角的平面角时，有些考生出现了杂乱无章的由线面垂直与线线垂直得出二面角的平面角是∠EMF，过程是错误的但又能写出正确的结论，充分暴露了其对空间图形位置关系的理解不到位.

（2）解题“对而不全”，逻辑推理不够严谨.

在第（1）问中，有些考生能够根据平面与平面垂直的性质定理推导出OA⊥平面BCD，但没有能够把定理中的四个条件一一罗列出来，最典型的错误是遗漏了直线在平面内即OA?平面ABD;也有少数考生缺少了关键的条件平面ABD∩平面BCD=BD，没有说明平面与平面的相交线，可能是考生把平面与平面垂直的判定定理与性质定理混淆了，在平时的教学中教师可以要求学生对这两个定理进行对比记忆，应该不难理解.

在第（2）问中，采用传统的几何法“找角与证角”的过程中，两次用到了直线与平面垂直的判定定理，考生在平时的训练中应该会很熟悉，但不够细心，典型的错误就是把FM∩EF=F给丢掉了，从而丢分了，说明其对课本中立体几何的重要定理理解得不够透彻，未能把握其真谛，造成“对而不全”的错误.

（3）解题“懂而不会”，数学运算错漏百出.

在第（2）问中，采用几何法求解时，不少考生犯了一个典型的错误：不能由BF=1+=推导出FM=BF=而导致解题到此止步不前. 本来是一个简单的平面几何知识的应用，但考生面对相对繁杂的多个三角形或由于对多个三角形的关系不清楚，导致不能正确地求出∠FBM=30°，最终无法得出FM的值，这是典型的“懂而不会”的错误.

在第（2）问中，采用坐标法求解时，建立了空间直角坐标系后，求解点E与C的坐标，不少考生互换了两点的横纵坐标. 计算法向量时，由于多了字母t的干扰，部分考生认为复杂而“望而生畏”，停滞不前;部分考生求解法向量时取了t=1，法向量中没有了参数t，虽然最终答案是正确的，但不是正确的做法.

4. 教学启示

（1）注重坐标法的过程性教学，提升学生数学运算素养.

对于立体几何解答题，很多考生无论如何都会想尽办法去建立空间直角坐标系解题，但本题建立空间直角坐标系是有一定困难的，多数考生由于对坐标系的基本要求不太理解，最终造成了不必要的错误. 在平时的立体几何教学中，教师应该注重坐标法的过程性教学，每个步骤都不可忽略，强调确保有两两垂直的三线才能建立空间直角坐标系.

另外，坐标法中的数学运算让不少考生“懂而不会”，加强考生的数学运算能力迫在眉睫.部分考生对含有分数、根号、负号的运算特别畏惧，而且运算速度慢，要想拿高分，运算能力是一道门槛.因此在平时的教学中，教师要“舍得”花时间让学生在课堂上进行数学运算的练习，不能为了完成教学进度而匆忙.

（2）加強几何法的教学，提升学生直观想象和逻辑推理核心素养.

题目用几何法求解可能容易一些，而且是平时的教学中常用的求二面角的方法，即三垂线定理法：过二面角其中一个平面上的点A作另一个平面的垂线（垂足为B），过垂足B向二面角的棱作垂线（垂足为C），连接AC，则∠ACB为二面角的平面角. 教师应教会学生这个寻找二面角的平面角的基本方法. 但由于教材中删减了三垂线定理，所以证明二面角的平面角时要用到直线与平面垂直的判定定理，既能让学生发挥其直观想象能力，也能锻炼其逻辑推理能力.

（3）关注新课改，加强新旧教材的比较研究.

对于实行新高考使用旧教材的省份，若能够结合新课标在核心素养方面的要求[1]，在高三复习的教学中关注新教材的内容变化，可以给我们指明一定的方向. 新旧教材的重合部分是教学的重要内容也是高考的重点，新旧教材的不同部分是我们教学变革的内容也是高考中“稳中有变”的“变”的部分，立体几何模块中，新旧教材都借助了大量的生活实物图片[2]，帮助学生认识生活中简单物体的立体结构，运用这样的方式向考生呈现立体几何知识，符合学生的认知结构，直观想象始终是立体几何教学与高考中的重点考查的核心素养. 另外，对新旧教材的例习题进行比较分析后发现：新教材的题目更注重对知识的“识记”与“理解”，难度较低，同时，新教材在一定程度上提高了推理题的比例[3]，注重培养学生推理证明的能力，所以新高考更加注重考查考生的逻辑推理能力.

参考文献：

[1]  中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2]  章建跃. 核心素养统领下的立体几何教材变革[J]. 数学通报，2017（11）：1-6.

[3]  章建跃. 核心素养统领下的立体几何教材变革（续）[J]. 数学通报，2017（12）：1-3+20.