古人如何用算筹记数

徐品方

据史书中的记载和考古中发现的材料可知，古代的算筹实际上是一根根长短和粗细差不多的小棍子.这些小棍子一般长为13-14cm、径粗为0.2-0.3cm，大多是用竹子制成的，也有用木头、兽骨、象牙、金属等材料制成的.一组算筹由大约270根小棍子组成，古人通常将其放在一个布袋里，系在腰间随身携带，在需要记数和计算的时候，就把它们取出来，放在桌上、炕上或地上摆弄，如图1.

算筹最早出现的时间已无法查考，春秋战国的《老子》中就有“善数者不用筹策”，所以大约在春秋战国时期（公元前770年一公元前221年），我们的祖先就已经开始用算筹做计算工具（图2）.

1954年6月，湖南长沙左家公山战国楚墓首次出土了40根竹制算筹.算筹长12厘米，约制作于公元前2世纪.1955年夏天，河北石家庄东郊北宋村东汉墓又出土了17根骨制算筹，每根长12.5厘米，截面既有方形的，又有圆形的.1971年至1975年，陕西千阳县、湖南长沙和湖北江陵凤凰山等地区的西汉墓又陆续出土了骨制、象牙制和竹制的近百根算筹，这说明当时人们已经普遍在使用算筹了，且其已成为离不开的计算工具了.

在算筹计数法中，以纵横两种排列方式来表示不同的数，其中1-5均分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，6-9则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示，如图3所示，

约公元3-4世纪成书的《孙子算经》（孙子是东汉即公元1世纪前的著名数学家）中记载：“凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千、十相望，万、百相当.”意思是说：用算筹记数或计算，首先要识别筹的位置，用算筹记数有纵横两种方式，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，万位用纵式，通过纵横相间的方式来表示数，这说明算筹记数法采用的是10进位值制，它是世界上最早发明的10进位值制记数体系.例如，“36”记为“三1_”，“6827”记为“上Ⅲ一Ⅵ”.

那么遇到零怎么办呢？古人的办法是，遇到零不摆弄算筹，让该处空着.到了13世纪，南宋数学家秦九韶（1208年-1268年）在数学著作《数书九章》中，首次用圆圈“O”表示空位，即零的意思，如图4.

我们的祖先在开始的时候只会用算筹表示正整数，后来才用算筹表示负整数，公元3世纪魏晋时期数学家刘徽（约225年一约295年）在注释《九章算术》时，創用两种方法表示正负数：“正算赤，负算黑.否则以正邪为异.”这就是说用两种方法表示正负数，方法一是把算筹染成红黑两色，红筹表示正数，黑筹表示负数.方法二是斜放算筹表示负数，正放算筹表示正数.后来，古人又创用第三种方法：用截面为三角形的算筹表示正数，截面为矩形（长方形）的算筹表示负数.于是，不管是多大的整数或零，都能用算筹表示出来，

那么如何用算筹来进行计算呢？古人有一套十分健全、完整的方法.加、减、乘、除、开平方、开立方以及解方程组，都可以用算筹来进行计算，并且它的运算法则仍遵循十进位值制运算法则.

用算筹进行乘法计算，要先把乘数摆在上面，再把被乘数摆在下面，并使上面一个数的首位与下面一个数的末位对齐，按照从左到右的顺序用上面一个数的首位乘以下面一个数的各位上的数码，把乘得的积摆在上下两个数的中间，然后将上面一个数的首位去掉、下面一个数向右移动一位，再以上面一个数的第二位乘下面一个数的各位上的数码，加入中间的乘积，并去掉上面一个数的第二位.直到上面一个数的各位数码都用完，中间的数便是所求的结果.下面以183x26为例说明一下：

1.把乘数26摆在上面，被乘数183摆在下面，并将被乘数的个位与乘数的十位对齐，中间留下的空位摆乘得的积（如图5）;

2.从高位乘起，用乘数十位上的2乘被乘数183，得3660，将其摆在中间，使积的数位与被乘数对齐（如图6，积的个位0用空位表示）;

3.去掉已乘过的乘数十位上的数字2，把乘数个位6移至与被乘数的个位对齐的位置（如图7）;

4.用乘数的个位6乘以被乘数183，将所得的积与3660相加，最后得积4758（如图8）.

算筹在我国是一项了不起的发明，它具有使用方便、运算迅速的特点.算筹在中国使用了近2000年，我国古代数学中的几项领先世界的成就都是用算筹来取得的，直到15世纪中叶算筹被更方便的计算工具“算盘”所代替，才逐渐退出历史的舞台.后来，算筹的表示方式也在不断演变，如数学家秦九韶在《数书九章》中，创造了一套专用的记数符号，后人称为南宋数码，如图9.

与古代符号相比较，秦九韶的记数符号至少有四处不同：一是用圆圈表示零;二是增加符号“×”，用来表示4;三是用符号“00 ”表示5;四是用符号“ ”表示9.

13世纪，我国数学家开始用笔在纸上演算，这时又出现了一套如下包括零在内的商用数字符号：

这套数码实际上是在南宋数码中的 、 （9）的基础上加以改变的结果.尽管这套算筹、数字符号使用起来方便，笔画简明、运算迅速，但是它有一个致命的缺点，就是易被窜改，发生弊误，

——摘自《数学符号史》