指向数学思维发展的高中数学“问题串”设计

莫弘

[摘  要] 高中数学课堂教学中，教师精心设计“问题串”，引领学生以问题为探究主线，使学生在探究和解决问题的过程中进行连续、系统的思维活动，促使学生深度学习，从而习得知识、获得能力、发展思维，真正领悟数学思想方法，促进他们数学核心素养的提升. 文章在分析高中数学课堂教学中“问题串”设计的内涵意蕴的基础上，以高中数学课堂教学中“问题串”的设置引导学生探究为例进行阐述.

[关键词] 高中数学;问题串;思维;设计策略

作为教学内容的生长点，数学教学中的各个问题并不是独立存在的，而应具有递进性与联系性，利于引导学生进行层次化、递进化和高效化的数学学习，引发深度数学思考，更深刻、透彻和准确地把握新知. 而纵观当前高中数学课堂问题设计，要么是问题设置过于随意，难以激发学生学习的欲望;要么是问题设置不合理，难以引发学生深度思考. 显然，这些现象的存在无疑影响了课堂教学效果. 而以问题叠加和递进为原则所设计的“问题串”，将其作为整个教学活动的起点和主旨，将问题的解决与学生的学习相融[1]，在问题解决中引发学生主动探索的欲望和积极性，使学生在共同探究和解决问题的过程中进行连续、系统的思维活动，从而习得知识、获得能力、发展思维，促进他们数学核心素养的提升. 因此，以“问题串”为导向，探究高中數学课堂教学设计策略具有重要的意义.

[?]高中数学实施“问题串”教学的必要性

传统的高中数学课堂教学中，教师往往直接呈现问题的答案，致使许多学生对于相关知识的理解仅停留在表面，一旦出现综合类题目或相关题目的变式题型时，学生就不知所措. 同时，这种现象的出现也会严重打击学生学习的兴趣，甚至还会对数学这门学科产生消极心理. 而教师根据学生具体实际的情况与学习任务所设计的一连串由浅入深、循序渐进、有关联性的数学问题，不仅能拉近学生与教师之间的距离，促使学生主动参与课堂教学，自主建构知识网络，而且能让学生明确课程教学的重难点内容，使得学生对知识点之间的逻辑性更加清晰.

同时，高中生已经初步具备了自主学习意识，但对于该阶段的学生而言，高中数学知识非常枯燥乏味，常常处于被动学习的状态. 而教师根据学生具体实际的情况与学习任务所设计的一连串由浅入深、循序渐进、有关联性的数学问题，不仅能够引起学生思考和深度参与数学探究，而且能促进学生发散思维，使得学生在解决实际问题时提出一些创新思维和具体做法.

此外，高中数学知识本身的逻辑思维严谨，传统的“套路式”数学教学模式已经不能满足高中数学教学的需要. 而教师根据学生具体实际的情况与学习任务所设计的一连串由浅入深、循序渐进、有关联性的数学问题能够提升学生对主要知识点的熟悉程度，能够在已有学习经验和未知问题探究之间架起桥梁，帮助学生分析问题，有效培养学生的数学思维，发展数学推理能力[2].

[?]高中数学课堂教学中“问题串”的设计策略

基于以上“问题串”设计的内涵意蕴的分析，实施“问题串”教学可以满足不同水平层次的学生对相关知识的需求，能够有效促进学生深度学习，而理论与实践是相结合的，因此，下面结合高中数学教学案例深入探讨高中数学课堂教学中“问题串”的具体设计策略.

1. 依据教学目标，精心设计“问题串”

教学目标既是教学的起点，也是教学目标的终点，教师应在深入分析所授内容教学目标的基础上，根据教学所要达到的效果有针对性地精心设计“问题串”.

案例1 圆的标准方程.

教学目标：

（1）分析圆的基本要素，应用平面直角坐标系理解圆的标准方程. （培养学生主动探究以及运用坐标法研究问题的能力）

（2）从圆的标准方程中找出圆心与半径. （培养学生数形结合思想方法）

（3）通过不同条件的练习，增加对圆的标准方程的求解方法. （提高学生应用数学的学习意识）

为了实现教学目标（1）和教学目标（2），教师可以设计以下“问题串”：

问题1：什么是圆？

问题2：如何在直角坐标系中应用方程表示圆？

问题3：当圆心分别在x轴、y轴或坐标原点时，圆的标准方程之间有什么区别和联系？

其中，问题1的设置是为了让学生复习圆的定义与基本要素，并为问题2——学习圆的标准方程做准备;问题2设置的目的是在推导圆的标准方程的过程中，培养学生的逻辑性与严谨性;设置问题3的主要目的是让学生通过动手实践，进一步加深学生对所学知识的理解.

同时，为了实现教学目标（3），教师还可以设计以下“问题串”：

问题4：参照教材（人教A版选择性必修第一册）第83页例1的相关内容，根据圆的定义写出相关方程.

问题5：根据所学知识，以点P（x，y）和圆（x-a）2+（y-b）2=r2为例，分析两者之间可能存在的位置关系.

问题6：根据所学知识，独立完成教材（人教A版选择性必修第一册）第83页例2、第84页例3的相关内容，并对照教材中的解法，分析自己学习中存在的问题和不足.

2. 依据教学原则，科学设计“问题串”

（1）目的性原则：教学的本质就是解决“为什么”的问题，因此教师应紧紧围绕所学知识能够解决哪些实际问题，能够给学生带来哪些知识和技能科学设计问题，进而促进新知的同化[3].

案例2 函数的单调性.

问题1：请用图像的方式试着说出“波澜起伏”“蒸蒸日上”在你们脑海中的第一反应. （引导学生建立有关模型，精准把握函数的特征）

问题2：结合日常生活实际，请试着画出一个函数的图像并写出其解析式. （锻炼学生应用数学观点解释日常生活的能力）

问题3：根据以上的函数图像，试着描述图像的变化趋势. （培养学生抽象问题、数学语言转化的能力）

（2）逻辑顺序性原则：高中数学知识是存在逻辑顺序的，为了凸显相关知识的逻辑性，教师在设计“问题串”时要符合学生的认知水平，要根据学生的逻辑思维科学设计“问题串”，进而引发数学思考和深入讨论.

案例3 函数的零点.

问题1：试着分析二次函数图像与相应的一元二次方程的根之间的关系.

比如：①一元二次方程x2-2x-3=0與二次函数y=x2-2x-3的图像（如图1所示）;②一元二次方程x2-2x+1=0与二次函数y=x2-2x+1的图像（如图2所示）;③一元二次方程x2-2x+3=0与二次函数y=x2-2x+3的图像（如图3所示）.

问题2：f（x）=x3+x2+1在区间（-2，1）上是否有零点？

问题3：如果函数f（x）满足f（a）f（b）<0，那么函数f（x）是否有零点？若没有，请说明理由;若有，请写出零点的个数.

（3）层层深入性原则：由于学生在知识基础和学习能力等方面存在差异，对于相关知识不可能全面理解，因此教师设计“问题串”时应根据学生的实际情况，按照小梯度、分层次、循序渐进的方式进行设计，引领学生在一次次梯度问题的探究和解决中，形成数学思考和深入讨论，提升学生数学探究学习兴趣，强化思维深度和广度.

案例4 二面角定义.

问题1：如何度量异面直线所成角？（转换为平面角）

问题2：如何度量线面所成角？（同样要转换为平面角）

问题3：类比上述做法，如何度量二面角？（转换为平面角）

问题4：反思上述做法，如何描述二面角两条射线、角的顶点位置？如何设置两条射线，才能刻画出二面角？

（4）启发性原则：为了培养学生发现多个问题之间的联系作用，教师设计“问题串”时还应注重所设计问题之间的连续性，注重前一个问题对后一个问题的启发作用.

案例5 已知函数f（x）=e，f（x）=e，x∈R，1≤a≤6.

（1）若a=2，当f（x）=f（x）时，试求x的值;

（2）若x∈R，

f（x）

-f（x）=f（x）-f（x）恒成立，试求a的取值范围;

（3）若x∈[1，6]，试求函数g（x）=-的最小值.

显然，对于大多数学生而言，第（1）题比较简单，仅需在等式中代入a的值即可求得x的值;而第（2）题、第（3）题中，由于

f（x）

-f（x）=f（x）-f（x）以及g（x）=-是复杂的函数式，使学生觉得解答该题非常困难. 究其原因，一是学生缺乏解题自信，二是难以发现问题之间的连续性和启发性. 实质上不难发现，第（1）题和第（2）题其实就是一个问题，第（2）题只不过是对参数有所突破.

3. 依据教学内容，巧妙设计“问题串”

（1）改编教学情境：教学情境的创设不仅能够吸引学生的注意力，而且能使课堂教学变得生动有趣. 因此，设计“问题串”时，教师应及时改变教学情境，不断融入与教学内容有关的历史故事、数学游戏等，有效满足学生心理发展需求，促使学生在身临其境中连串思考.

案例6 “等比数列及其前n项和”新授课导入.

教师可以在课题引入环节，通过微视频的形式呈现印度国王西拉谟与国际象棋发明者的故事，然后要求学生思考如下问题：

问题1：发明者的要求简单吗？如果你是国王，你会答应他的要求吗？

问题2：你觉得发明者能够获得多少麦粒？

问题3：通过该故事，你能得到哪些启示？

（2）改编习题：习题练习能够有效深化学生对所学知识的认识，帮助教师了解学生对相关知识的掌握情况. 因此，设计“问题串”时，教师可以就习题中所考查的内容进行扩展延伸，不断改变问题条件，有效培养学生的发散思维，从而帮助学生解决综合类等复杂问题.

案例7 如图4所示，在正方体ABCD-ABCD中，

①哪些棱所在的直线与直线BA成异面直线？

②试求直线BA与CC的夹角;

③哪些棱所在的直线与直线AA垂直？

为突出教学重点，教师可以就此题中所考察的异面直线的定义、异面直线的夹角等内容进行延伸，设计以下“问题串”：

问题1：请问空间中两条直线的位置关系有哪些？用相应的图示表示出来.

问题2：如何理解异面直线？

问题3：图中有没有异面直线？如果有，是哪些？

问题4：以棱AB所在直线为例，试着列举出与它成异面直线的直线.

问题5：教材中是如何定义异面直线的？你是如何理解异面直线的？能否用相关图示进行解释？

问题6：直线BB与CC所成的角是多少？

问题7：哪些棱所在直线与直线AA垂直？

（3）改编教材教学顺序：为了帮助学生理清各知识点之间的逻辑关系，有效培养学生分析、理解数学问题的能力，设计“问题串”时，教师可以将本章所有知识点融入“问题串”中，使得由于课时限制而分裂的知识点能够前后相连、一气呵成.

案例8 “空间几何体”的知识小结.

知识小结是课堂学习中不可缺少的环节，教师应按照所学知识的连续性、系统性设计以下“问题串”，有效帮助学生将空间几何体章节所有的知识点融入知识结构.

问题1：相信大家学完本章节的知识后都对空间几何的一些内容有了一定的了解，那么，请问空间几何体有哪几种类型？

问题2：对于空间几何体的类型，其相应的几何体都有哪些？

问题3：如何求本章节所学的几何体的表面积与体积？（考查学生对相应公式的理解与掌握能力）

问题4：除此之外，本章节还学了哪些投影呢？

问题5：所学投影的特点有哪些？

问题6：平行投影在数学上有哪些应用？

问题7：三视图与直观图中应注意的内容有哪些？

总之，在高中数学教学中实施“问题串”教学就是将“问题”作为教学活动的起点和主旨，依据教学目标、教育原则以及教学内容，按照由浅入深、循序渐进、相互联系的原则设计合理、科学的“问题串”，并将问题解决与学生的学习相互融合[4]. 只有这样，才能为学生营造出个性化的生态课堂，激发数学思维，引领学生在深度学习中理解数学概念的本质，有效培养和提高学生自主学习和自主探究的能力，全面发展数学能力.

参考文献：

[1]  鲍健生，周超. 数学学习的心理基础与过程[M]. 上海：上海教育出版社，2009.

[2]  唐晓芳. 例谈用"问题串"教学策略来建构高效数学课堂[J]. 数学教学通讯，2020（12）：19-20.

[3]  施炜. 高中数学“问题链”的设计策略[J]. 中学数学，2019（07）：90-91.

[4]  巫斌. 高中数学“问题链”设计的“四性”[J]. 数学教学通讯，2019（36）：74-76.