顺势而为,让质疑探究扎根高中数学课堂

李静

[摘  要] 怎样进行数学课堂教学才能教会学生数学思考，让学生理解数学本质？质疑，是引发思维的“触发器”. 教师在课堂上充分调动学生的积极性，引发学生的质疑意识. 学生自主探究后提出解决问题的方法或者发现错误的根源，教师顺势而为，构建一节高效课堂.

[关键词] 隔板法;质疑探究;数学本质

陶行知先生曾提出“教是为了不教”，“授之以鱼”不如“授之以渔”. 现阶段“填鸭式”“满堂灌”已被自主、合作、探究等取代. 笔者认为，课堂上教给学生学习方法要比教给学生知识点更重要. 质疑是发现问题的特征，教师要科学地锻炼学生的质疑能力，如果学生在学习过程中产生了疑惑，那么教师应及时引导学生打破固定思维，自主探究，寻找解决问题的办法，这样不仅能增加学生学习的乐趣，还有助于学生进入深度学习. 深度学习注重知识间的整合、运用、迁移，是一种基于理解的学习，着重学习过程的反思，重视学习的迁移运用和问题解决[1]. 例如，隔板法是将“实际分配问题”或“球盒问题”转化为“球板模型”的一种重要方法，通过隔板不同的插入方式得到不同的分配结果. 如图1所示，将n个相同的球分成m组，这样n个球中有（n-1）个空，在其中选取（m-1）个空插入隔板，共有C种不同的放法. 从这个角度来说，隔板法主要用来解决相同元素的分组问题.

[?]在探究质疑中理解数学

课堂上，笔者先给了一个“将球分组”的问题，然后提出隔板法的概念，让学生从活动经验中总结隔板法的特点及使用条件. 由于学生的抽象、概括和反思水平不同，他们所获得的基本活动经验也会有所不同.

问题1 现有7个完全相同的小球，将它们全部放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子至少放一个球，问有多少种不同的放法？

生1：将7个球分成四组，共有1+1+1+4，1+1+2+3，1+2+2+2三种情况，再对每种情况进行分配分别有C，A和C种不同的放法，C+A+C=20，故将7个小球放入不同的四个盒子中共有20种不同的放法.

笔者拿出准备好的7个小球和3个隔板，和学生一起现场试验：如果我在这7个小球之间随机放入3个隔板，就可以完成分组再放入相应的盒子. 7个小球之间共有6个空，从中任选3个空共有C（C=20）种不同的放法，我们将这种方法叫做隔板法. 即将n个相同的小球分成m组，n个球之间有（n-1）个空，在其中选取（m-1）个空插入隔板，共有C种不同的放法.

问题2 方程x+x+x+x=7的正整数解有多少组？

生2：这道题可以看成问题1的情境，即将“四个正整数的和为7”看成“将7个相同的小球放入四个不同的盒子，每个盒子至少一个球”，所以答案是C.

师：请同学们讨论隔板法可以解决怎样的问题.

生：（分组讨论）隔板法是将相同的元素进行分组，需要满足元素无差异，用隔板法来解决多元一次方程的解的问题非常方便.

问题3 不等式x+x+x+x≤7的正整数解有多少组？

生3：先分类讨论，再用隔板法求解. 当x+x+x+x=7时有C组;当x+x+x+x=6时有C组;当x+x+x+x=5时有C组;当x+x+x+x=4时有C组. 所以不等式x+x+x+x≤7的正整数解共有C+C+C+C=35（组）.

教后反思：学生能赋予数学问题相应的情境，主动从不同的角度思考问题，不仅灵活掌握了隔板法的本质，还能灵活应用隔板法，将其作为通性通法. 从分类讨论的角度解决问题，正整数解可看成相同元素的分配问题，对复杂问题简单化并对其进行抽象，归纳总结，提高了学生逻辑推理和直观想象的数学素养.

[?]在深度思考中挖掘本质

在学生了解了隔板法的基础上对原题进行变式，让学生尝试探究. 部分学生会因看不到隔板法的本质而产生方法上的差异，这时就是对隔板法深度探究的最好时机，引导学生思考问题的本质.

问题4 方程x+x+x+x=7的非负整数解有多少组？

师：从题意上理解，方程的解可以有零，并且零的个数不确定，故分类讨论会比较麻烦. 我们刚学会的隔板法能发挥作用吗？

生4：用隔板法的时候会出现隔板重合的情况，分类如下：①三个隔板互不相邻：有C种方法;②有两个隔板相邻：有A种方法;③三个隔板都相邻：有C种方法. 故共有C+A+C=56种方法.

生5：这种方法是错误的. 因为方程的解可以為零，所以用隔板法的时候可以把隔板放到球的两端，应该是C+A+C=120组解.

（很多学生在生5的提醒下恍然大悟）

生6：该问题等价于（x+1）+（x+1）+（x+1）+（x+1）=11，令x+1=t（i=1，2，3，4），即t+t+t+t=11的正整数解有多少组. 用隔板法可得其正整数解有C=120（组）.

（学生听到生6的方法后很兴奋，纷纷表示这种转化巧妙地利用了正整数解的隔板法而且避免了对零的讨论）

师：这位同学将“非负整数解”的问题转变成了“正整数解”的问题，巧妙地避开了讨论，合理地利用了隔板法，将问题化繁为简.

教后反思：从“正整数解”变到“非负整数解”，即允许有“空盒”，解决这个问题需要对隔板法的基本原理有深刻的理解，故有些学生不能及时作出回应才有了对问题进行分类讨论的解法. 运用隔板法的基本原理将原问题转化到学生熟悉的问题背景中来，对问题进行迁移后发现其规律让学生耳目一新，跃跃欲试.

[?]在变化拓展中发展延伸

原本的课堂内容均在笔者的课堂设计中，学生都有了很大的收获;但因为课堂是以学生为主体的，学生全都积极地参与其中，有的学生再次对题目进行了改编，符合新高考的备考方向和要求，让笔者和学生都受益匪浅，将整个课堂推向了高潮，也最大化地体现了深度学习.

生7：老师，受刚才同学的启发，我想将这道题再改变一下：方程x+x+x+x=100的所有奇数解有多少组？

（听到这里，笔者暗自窃喜，这位学生真正理解了题目转化的意义，并且在不断地深入挖掘隔板法的应用. 这道题是求所有的奇数解，对安插隔板是有要求的）

生8：如果直接用隔板法，对放隔板是有要求的. 相当于球的个数是奇数个，而隔板不能随便放. 我将问题中的奇数解进行了转化，令x=2n-1（n∈N*），则题目就变成了（2n-1）+（2n-1）+（2n-1）+（2n-1）=100，即n+n+n+n=52有四个正整数解，故有C组解.

（生7对此方法表示赞同，因为这种方法正是他的本意）

生9：我也将问题进行了转化，为什么答案跟这个不一样呢？

师：那不妨说说你的想法，我们一起来探讨.

生9：我将奇数乘2变成偶数，即2x+2x+2x+2x=200，令t=2x，即t+t+t+t=200有多少组偶数解. 相当于将两个球捆绑起来作为一个整体，共有100组球，选用隔板法可得C组解，而这显然与刚才的结果C不同.

师：大家一起谈论这位同学的做法是否合适，为什么答案会不同呢？

（学生分小组进行讨论，最后生9找到了错误）

生9：我这种方法的错误是，把奇数乘2变成偶数，但并不是所有的偶数除以2都是奇数，所以对偶数应该是有要求的，所以我的这种方法是错误的.

（全班都为生9鼓掌，因为他能积极反思找出错误，这是很值得表扬的，而且要鼓励学生有这种创新的思想，于是笔者顺势将问题又开放了一次：你还能怎样对原题进行变形，如何用隔板法解决？）

生10：受到前面题目的启发，我想对几个未知量进行范围的限制，比如，若x≥5，x≥10，x≥4，x≥6，求（x-5）+（x-10）+（x-4）+（x-6）=75的自然数解或者求（x-4）+（x-9）+（x-3）+（x-5）=79的正整数解.

教后反思：这部分内容并不在笔者的课堂计划中，学生在课堂上发挥着主体作用，超越了笔者的想象. 这个环节笔者认为是最精彩的，学生不仅对自己的解题方法有了总结性的思考，而且还能创造性地对问题进行改编;不仅能够解决“空盒”的“放盒”问题，还能解决“受限制”的“放盒”问题;最难得的是学生在解答过程中能及时反思自己犯的错误，本节课的价值得以完全体现. 抓住学生课堂上的任何一个生成，完全放手让学生去完成，一定会有惊喜. 善学善思，反思能让学生的能力不断提高. 学生经过深入思考，及时找到错误和解决问题的办法，提高了发现问题和解决问题的能力.

[?]几点思考

1. 借助问题驱动引导学生理性思考

数学思维要以数学问题为载体，本节课围绕“将球分组”、多元一次方程的“正整数解”“非负整数解”和“有限制条件的整数解”设计“问题链”，揭示隔板法的数学本质. 引导学生自主探究、深度思考，将不会的问题转化为已会的问题，将复杂的问题简单化，这种研究问题的方法是锻炼学生思维的精髓，能教会学生主动思考.

2. 关注学生的错误，别让精彩擦肩而过

每一节课都是教师精心设计的，学生会在教师的设计中掌握每一节课的主要内容和思想方法. 但由于在教学过程中认知上的差异，学生免不了会出现一些错误，这些错误往往是教师无法提前预知的. 但为了赶进度，部分教师往往会直接指出学生的错误，这样恰恰忽略了学生的思维，有些学生知道这个想法是错误的但不知道原因是什么，从而失去了一次很好的反思的机会. 本节课笔者让学生自己找出错的原因，引导学生深刻反思，相信这种理性思维的精神能够使學生终生难忘.

3. 在探究质疑中突出数学本质

数学本质是指数学内容本身固有的根本属性，是数学内容区别于其他学科内容的基本特质，从价值功能的角度来看，数学内容的数学本质决定着该内容在解决相应的数学问题时的运用方法、规律及作用[2]. 本节课通过“将球分组”的问题让学生感受到隔板法主要适用于相同元素的分组问题，因此学生很容易将该方法应用到多元一次方程的整数解的问题中去，在活动经验中进一步感受隔板法的本质. 高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质[3].

参考文献：

[1]  李宽珍. 微专题教学中实现深度学习的思考[J]. 中学数学，2016（11）：52-55.

[2]  石志群. 数学教学如何突出数学本质[J]. 数学通报，2019，58（06）：23-26.

[3]  中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.