依托模型 类比探究 培育素养

陈学圆

[摘  要] 在新课程标准的指引下，一線教师的教学理念不断更新，依据课本进行大单元教学设计，整体化的教学设计更加有利于培育学生的核心素养. 案例中“二项式定理”的教学设计结合了教材中常用的摸球模型，引导学生进行类比探究，实行数学抽象，获得新知，提升素养.

[关键词] 课程标准;大单元教学;数学模型;核心素养

[?]教学背景

“二项式定理”是苏教版选修2-3中第一章第五节的内容. 笔者确定这个课题时，觉得内容比较简单，应该会比较好设计;但经过前期的备课后，笔者认为这节内容上承完全平方公式和排列组合，下启概率分布. 如果设计不好，就会失去一次培养学生素养的好机会.如何让学生在学习的过程中能够主动探究、深度思考，充分感受定理发现的必要性，经历定理发生、发展的全过程，感悟用数学的眼光观察问题、用数学的思维思考问题、用数学的语言表达问题，培养和提高学生的核心素养，成了本节课设计的焦点.笔者在备课前有如下几点思考：

思考一，前面一直在学习排列组合的计数原理，为什么要学习二项式定理？一方面，学生刚刚学习了计数原理，可以从计数原理的视角来理解多项式展开中的项，进而理解并证明二项式定理，体验计数原理的应用价值;另一方面，二项式定理自身有着重要的应用，可以解决整除问题、近似值问题、组合数的性质问题等，更是后续学习随机变量及其分布、二项分布的重要知识基础，也是大学学习微积分的知识基础.

思考二，如何让学生学习本节课感觉不唐突？问题情境的创设是关键.从计数原理自然地过渡到二项式定理的学习，既要体现计数原理的应用性，又要体现二项式定理学习的必要性. 笔者想创设一个较好的情境来进行过渡.

思考三，课本上对二项式定理的推导采用的是归纳推理法，在展开（a+b）2，（a+b）3，（a+b）4的基础上，让学生观察发现各项产生的规律，用计数原理理解各项产生的原因，进而推广到n次方的情形，再用说理的方式进行证明. 笔者认为，高二学生虽然有一定的抽象概括、逻辑推理的能力，特别是对（a+b）2，（a+b）3，（a+b）4的展开，学生可以直接利用完全平方公式进行，如利用2次方乘1次方得到3次方的式子，利用2次方乘2次方得到4次方的式子，但他们或许并不能从这三种式子的推导过程中体会到各项是如何产生的，很难感受到从计数原理的角度进行理解的必要性，因此教师有必要进行合理的设计引导学生理解，否则难以实行归纳！

基于这些思考，笔者创设了一个计数原理中常见的摸球模型，从形象到具体进行类比、归纳、猜想，进而再进行证明，让学生成为定理学习的主角，在整个学习的过程中不断提高自身的素养. 现将教学过程整理如下，请各位同行批评指正！

[?]教学过程

1. 创设情境，引入问题

牛顿，被誉为人类历史上最伟大的科学家之一. 他不仅是一位物理学家，还是一位数学家. 今天我们就一起来学习他的一个研究成果！

问题1：在2个同样的口袋中，分别装有大小相同、质地相同，标号为a，b的2个小球. 在每个口袋中各取1个小球，共有几种不同的结果？

生1：4种.

师：怎么得出来的？

生1：利用分步乘法计数原理：N=C×C=4.

师：哪四种？

生1：aa，ab，ba，bb.

师：同学们，看到这4种结果，你们能联想到哪个代数式子？

生2：完全平方式！

师：是吗？请写出（a+b）2的展开过程.

笔者请了一位学生到黑板上进行演算，这位学生直接根据记忆写出了（a+b）2=a2+2ab+b2，这无法让学生感受到多项式展开及合并的过程特点. 于是笔者追问道：“该展开式的项是如何产生的？”进而引导学生总结出展开式的每一项都是从每个括号中取一个字母相乘得来的，而摸球问题的每一个结果都是从每一个口袋中各取一个球得来的，它们的形成过程是一样的！不同的是，摸球结果无须继续计算，而多项式需要合并同类项化简！也就是说，我们可以把2个口袋都抽象成（a+b），刚才的摸球过程可形象地展示（a+b）2的展开过程.

问题2：如果有3个口袋，共有几种不同的结果？可展示哪个式子的展开过程？能写出它的展开式吗？

问题3：如果有7个口袋，共有几种不同的结果？可展示哪个式子的展开过程？能写出它的展开式吗？

……

师：你能提出怎样的问题？

生3：（a+b）n的展开式是什么？

师：这就是我们今天要研究的课题——二项式定理！

设计意图：从学生的最近发展区出发，学生能够熟练地运用计数原理解决摸球问题，再引导学生联想相应的多项式，直观感受它们的相似性，实现数学建模，进而让学生发现问题并提出问题，最后引出课题，为后续分析和解决问题打下了基础.

2. 类比探究，逐步深化

师：刚才我们通过问题1形象地展示了（a+b）2的展开过程. 下面请同学们自己来探究一下问题2.

几分钟后，笔者在巡视过程中看到大部分学生是通过计算得到展开式的，少部分学生通过摸球实验列出了8种结果. 笔者请了一位学生到黑板上进行展示，本以为他列出了8种结果（aaa，aab，aba，abb，baa，bab，bba，bbb），就能直接把（a+b）3的展开式写出来，但他还是通过多项式与多项式相乘的方式进行展开的！

虽然学生没有完全类比出最终的结果，但他们摸索出了初步经验，通过类比得出了项数和项的种类，项的系数规律还没有发现. 此处学生还没有感受到项的系数可以通过其他方式获得的必要性，笔者在此并没有进行追问，而是让学生继续探究问题3.

几分钟后，笔者观察发现不少学生还是想通过多项式与多项式相乘的方式得到展开式，但在展开的过程中遇到了困难……也有部分学生在苦苦寻求新的方法进行展开……这正合笔者的设计，于是笔者开始追问：

师：这个实验可以展示哪个式子的展开过程？你研究到了哪一步？

生4：可以展示（a+b）7的展开过程，但展开式没有能够写出来！展开过程太复杂了，我只能发现其中的项和项数，可是系数还没有确定……

师：说说你的成果！

生4：项应有以下规律：a7，a6b，a5b2，a4b3，a3b4，a2b5，ab6，b7，共8项……

师：那你有什么样的思考？

生4：随着n继续变大，展开过程会越来越繁，难以从多项式与多项式相乘的视角找到合并后项的系数……

师：那还有别的方法吗？

学生陷入了困境，于是笔者提醒学生，解决复杂问题不妨回到原始的简单问题去再次思考和感悟：回到最初的2个口袋去看看！如aa+ab+ba+bb=a2+2ab+b2.

师：各项系数是如何产生的呢？只能相乘展开或枚举吗？还有没有别的方法？

组织学生进行讨论交流，集思广益，几分钟后……

生5：分类. 第一类，没有b，即2个口袋中都不取b，有C种取法;第二类，1个b，即从2个口袋中的1个口袋取b，有C种取法;第三类，2个b，即2个口袋都取b，有C种取法.

师：很好！那这种想法可以推广吗？

生5：可以. 如果是3个口袋：第一类，没有b，即3个口袋都不取b，有C种取法;第二类，1个b，即从3个口袋中的1个口袋取b，有C种取法;第三类，2个b，即从3个袋中的2个口袋取b，有C种取法;第四类，2个b，即3个袋都取b，有C种取法.

师：非常棒！那么有7个口袋呢？（a+b）7=？

几分钟后，不少学生已经能够写出（a+b）7的展开式了，展示后让学生进行展开式的一般化，归纳出二项式定理并说明理由.

3. 知识建构，形成定理

写出（a+b）n的展开式：（a+b）n=Can+Can-1b+…+Can-kbk+…+Cbn（n∈N*）.

证明：an即0个b，即从n个括号中取0个b，取法数为C;

an-1b即1个b，即从n个括号中取1个b，取法数为C;

……

an-rbr即r个b，即从n个括号中取r个b，取法数为C;

……

bn即n个b，即从n个括号中取n个b，取法数为C.

综上可得，（a+b）n=Can+Can-1b+…+Can-kbk+…+Cbn（n∈N*）.

接下来带领学生回顾发现二项式定理的过程，归纳其项数、项的特征规律、系数（二项式系数）以及通项公式.

设计意图：通过层层设问，引导学生逐步地探究发现，通过多项式乘法法则得到展开式，其方法在理论上虽然是可行的，但随着次数的增加会越来越麻烦，这必须另辟蹊径. 通过复杂问题简单化的研究思路，从2次方、3次方开始换视角，即通过由摸球实验进行类比的方式试探性地理解和发现;再逐步推广到7次方，通过深度思考、感悟，逐步归纳发现展开式的项和项数的构成;最终突破项的系数等于摸球的取法数即组合数，进而归纳出二项式定理及其证明. 整个过程中，学生的思维逐步地深入，能够体验到新知识的发现、发展和完善的过程.

4. 巩固新知，提升能力

例1 写出下列二项式的展开式：

（1）（a-b）6;（2）

1+

.

例2 求（1+2x）7的展开式中第4项的二项式系数以及含x3的项的系数.

5. 回顾反思，归纳总结

用波利亚的话进行概括：数学有两个侧面，一方面是欧几里得式的严谨科学，从这个方面看数学是一门演绎科学;但另一方面，创造过程中的数学看起来却像一门试验性的归纳科学. 即数学有经验与演绎二重性.

设计意图：让学生利用所学知识进行应用求解，体会知识的应用价值.回顾整节课的学习过程，积累学习新知识的研究经验，掌握基础知识和基本技能，领悟其中的基本数学思想方法.

[?]教学反思

（1）用好《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《课标》），体会核心理念、做好教学设计.好的教学需要好的教学设计，好的教学设计需要先进的教学理念. 《课标》正是当下指导一线教师教学的最先进的教学理念. 《课标》中除了与时俱进的教学理念外，还有具体的教学指导意见，作为一线教师务必认真研读，并结合自己的教学实践做好教学反思，不断改进自己的教学设计，实行更多、更好、更贴近学生实际发展的教学设计，以进一步培养和提高学生的综合素养. 本节课在《课标》理念的指引下，将前期的摸球实验与抽象的归纳问题进行了联系，让学生在实验中思考问题，在思考问题中学会用数学的眼光观察问题、用数学的语言表达问题、用数学的思维解决问题，学生的素养在数学课堂的基本活动中得到了有效的滋润和发展.

（2）用好课本做好大单元设计.课本教学内容的设计编排是专家们精心设计的，是科学的、合理的，符合学生认知规律. 一线教师應基于教材的整体设计，理解教材的整体编排，做好大单元教学设计，切不可只见树木不见森林，从而影响学生对整体知识的理解. 笔者基于对《课标》中大单元设计的理解，认为应充分理解课本，在二项式定理的教学中不可割裂与前面知识的联系. 于是笔者以排列组合中的摸球实验为依托进行类比探究，帮助学生发现并证明了二项式定理，实现了自然过渡，培养了学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算以及数据处理等素养，取得了很好的教学效果.

（3）用好课堂做好素养培育. 学生素养的培育是目前教学的主要目标，而培育素养的主阵地就是教学课堂. 教师在精心的备课下，创设数学实验模型，设置系列问题引导学生探究，将素养培养的要求落实到具体的问题、情境和活动中去，点点滴滴地为培育学生的素养增加养分;学生在教师的引导下通过积极参与每一节课吸收着这些养分，日积月累下，素养的培养终究会水到渠成.