“思意数学”定理课教学模式构建与实践

林伟 罗朝举 陈峥嵘

[摘  要] “思意数学”以问题引路，以“思”为魂，以“意”为核，旨在“融思之规律、意之方法、思意于一体”. 通过探索数学定理课教学方式，构建“思意数学”定理课教学模式，以“平面向量基本定理”为例进行教学探索与实施，有效提高数学教学质量.

[关键词] 思意数学;定理课;教学模式;平面向量;教学实施

定理课（或公式课）旨在理解公式、定理的形成过程，揭示数学思想、思维方法和典型的数学技能技巧在其推导、论证中的应用;理解公式、定理适应的范围及成立的条件和得出的结论.

[?]“思意数学”定理课教学模式构建

定理课（或公式课）教学模式的操作程序为“问题情境，引入定理—激学导思，探究猜想—引义释疑，验证论证—点拨提高，获得定理—精讲精练，应用定理—归纳自结，升华定理”. 具体如图1所示.

[?]“思意数学”定理课教学模式实施

1. 问题情境，引入定理，开启思维

在这一环节中，教师为学生创设探索、猜想的问题情境和学习环境;学生自主尝试，不断发现问题，激发学习情感，开启思维.

2. 激学导思，探究猜想，交流思维

在这一环节中，学生根据教师创设的问题情境，主动进行个体自主探究，探求新知，大胆猜测，形成猜想. 当学生在猜想和探究中产生思维困难时，教师及时指点迷津，引导学生正确思维，让学生在探究中交流思维.

3. 引义释疑，验证论证，提升思维

在这一环节中，获得猜想结论后，教师点拨验证的方法，启发诱导学生完成“猜想”证法实施，学生自主通过实验观察，不断验证和猜想观察结果. 小组合作探究“猜想”的条件与结论，寻找“猜想”论证的策略和方法，多向交流，从而给出完整的理论证明，提升思维.

4. 点拨提高，获得定理，优化思维

在这一环节中，教师对定理、公式的内涵进一步解读，对定理、公式及其变形变式不断地推广，引导学生进一步发现与探索，让学生对定理、公式全方位全过程理解. 让学生掌握文字语言、图形语言、符号语言这三种数学语言对定理、公式及其变形变式的语言转换，加深对定理、公式更加深入、全面的理解，优化思维.

5. 精讲精练，应用定理，拓展思维

在这一环节中，教师根据学习目标和学生交流中所反馈的信息，精心选编题目，题目设计针对性要强，要侧重强化定理、公式的正用、逆用和变式应用，深化对定理、公式的理解和运用，促进认知结构的内化.

学生灵活应用定理、公式及其变形变式解决问题，注重一题多变和一题多解，在解决和处理问题的过程中，注意总结定理、公式的应用条件和方法，拓展思维.

6. 归纳自结，升华定理，形成能力

完成上述各环节后，由师生共同厘清知识的来龙去脉，对问题的论证方法进行梳理、总结与反思，让学生对定理的验证和论证过程有全面的理解，以此在认识上得到升华，掌握知识之间的相互联系，构建知识体系.

学生对所学定理、公式、方法的学习和探索，知识不断地内化再建构，形成自己的知识结构，从而全面完成教学目标，逐步形成大胆假设，演绎推理以及创新能力. 对于公式课、法则课也可以模仿该模式实施教学.

[?]“思意数学”定理课课堂教学实践

下面以“平面向量基本定理”为例进行实践与探索.

1. 内容和内容解析

向量在中学数学中有着重要的地位，具有很高的教育价值. 作为中学数学的一种重要工具，向量是沟通代数与几何的桥梁，另外，向量还是沟通代数几何与三角函数的重要纽带.向量具有数和形两种特征，是中学数学解决平面几何问题的重要工具.运用向量解决平面几何问题可以使复杂的问题简单直观化，可以使代数问题几何化、几何问题代数化，具有使问题解决过程简捷的优越性.平面向量基本定理既是把平面几何问题向量化的理论基础，又是平面向量坐标化的理论基础.

“平面向量基本定理”是普通高中教科书数学必修第二册（2019年人教A版）的第六章“平面向量及其应用”第三节的内容，本节课的主要内容是平面向量基本定理及其应用. 在前面的教学中，学生已经学习并掌握了向量的基本概念、向量的加减运算及其几何意义、向量的数乘运算及其几何意义、向量共线的充要条件、向量的数量积运算及其物理意义和几何意义，这些都是学好本节课内容的基础. 平面向量基本定理的主要内容是同一平面内任一向量都可以用一组基底表示，而且这种表示是唯一的. 它既是向量共线定理的推广，又是向量坐标表示的基础和工具. 从向量共线定理，到平面向量基本定理，是从一维空间到二维空间的推广，两个定理的思想都是将问题程序化和简单化，运用转化与化归思想将空间的任一向量用基底表示出来，而且不管是一维空间还是二维空间，这种表示都是唯一的. 平面向量基本定理与向量共线定理、空间向量基本定理三位一体，共同构成了中学数学中的唯一性表示定理的体系，它既是向量共线定理在二维平面的推广，又是学生类比学习空间向量基本定理的重要素材. 平面向量基本定理是接下来要学习的向量正交分解、坐标表示，并进一步将向量的各类运算转化为坐标运算的重要基础，因此本节课知识在本章教学和整个向量体系的教学中起着承上启下的作用.

在数学思维方面，平面向量基本定理的学习过程中蕴含着数形结合、转化与化归、归纳与推理等基本思想和从特殊到一般、从具体到抽象的基本方法. 这一定理本身蕴含着严谨、条理的数学思维方式，通过教师在教学过程中的合理引导，学生在动手操作中获得基本的活动体验，从而培养学生良好的个性心理品质和数学核心素养.

本节课的教学重点是对平面向量基本定理的理解，同时也是本节课的教学难点.

2. 目标和目标解析

由于平面向量基本定理比较抽象，不易理解，所以学生对定理的发现和形成过程不容易想到. 本节课教学遵循突出学生的主体作用和教师的引导作用，教学面对全体学生，将定理的发现和形成过程进行分解，设定一个个的小台阶，引领学生思维高度一步步到达.构建知识探究过程，从学生已有知识和认知经验出发，让学生感受到获取新知的兴趣与乐趣. 以学生的直觉为抓手，通过类比引发学生顿悟.

本节课教学目标设计如下：

（1）通过动手实践操作，将平面内的不同向量用同一基底表示，得到平面向量基本定理.

（2）理解平面向量基本定理，给定一组基底，能作出由基底表示的向量，能把任一向量表示为一组基底的线性组合.

（3）理解平面向量基底的意义与作用，学会选择恰当的基底，将简单图形中的向量用基底表示出来.

（4）在平面向量基本定理的学习过程中，体验定理的产生与形成过程，培养学生获取知识的能力，体验定理所蕴含的数学思想方法.

（5）通过平面向量基本定理，认识平面向量的“二维”性，培养“维数”的基本观念.

（6）通过学生动手、师生互动，调动学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、勇于创新的精神.

3. 教学问题诊断分析

在前面的学习中，学生已经了解了向量的基本概念和基本运算，对向量的物理背景和运算的几何意义也有了初步了解，这为学习这节课内容做了一定准备. 但学生对向量的加减、向量的数乘运算的几何意义和作用认识不够，增加了用基底表示向量的难度.

平面向量基本定理中向量a的任意性、基底的定义要求（两个不共线的向量），以及线性表示的唯一性都是学生在理解平面向量基本定理时的难点所在.

本节课教学采取逐步释放变量的方法，搭建一层层的台阶，从学生熟知的向量共线定理出发，将平面向量基本定理中的条件先行确定，然后逐一释放，使学生经历从特殊到一般的思维发展过程，使复杂问题程序化、直观化、简单化.

4. 教学支持条件分析

由于学生刚刚学习过向量共线定理，因此教学时可以由向量共线定理引入課题，将学习的起点放在学生思维的最近发展区，从而自然引入平面向量基本定理. 学生在学习过程中逐步体验类比思想方法，经历从特殊到一般的思维过程. 教学中借助几何画板软件进行作图和动画演示，学生可以从直观上感受向量的作图过程，帮助他们理解定理.

5. 教学过程设计

（1）问题情境，引入定理，开启思维.

师：前面我们学习了向量的运算，知道了位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示.类似地，平面内任一向量是否可以由同一平面内的两个不共线向量表示呢？

问题1：向量a（a≠0）与b共线的充要条件是什么？这个定理的数学本质是什么？

问题2：平面内任一向量a，能用任一非零向量b表示吗？为什么？

问题3：平面内任一向量a，能用两个平行的非零向量e，e表示吗？为什么？

设计意图：从学生学习过的向量共线定理引入课题，符合学生知识发展的规律. 数学教学要从问题的数学本质入手，以几个前后关联的问题引入新课，将学生的思维逐步引向深入，从多方面引导学生理解向量a的任意性，突破教学难点. 问题3为引入平面向量基本定理做了很好的铺垫.

师生活动：学生共同完成以上问题，教师引导学生分别用文字语言、图形语言、符号语言表达问题的结论.

（2）激学导思，探究猜想，交流思维.

师：我们知道，已知两个力，可以求出它们的合力;反过来，一个力可以分解为两个力. 如图2所示，我们可以根据解决实际问题的需要，通过作平行四边形，将力F分解为多组大小、方向不同的分力. 由力的分解得到启发，我们能否通过作平行四边形，将向量a分解为两个向量，使向量a是这两个向量的和呢？

问题4：如图3所示，已知平面内的一个向量a，能用给定的两个不共线向量e，e表示吗？

问题5：平面内任一向量a，能用给定的两个不共线向量e，e表示吗？

问题6：平面内任一向量a，能用两个不共线向量e，e表示吗？

设计意图：运用几何画板软件作为教学辅助，学生通过实际动手操作获得基本活动经验. 将平面向量基本定理中的向量a和向量e，e分别从“给定的”到“任意的”，让学生从感性上认识到定理中的向量a的任意性，以及两个向量e，e不共线的任意性和统一性，让学生在实际操作的过程中体会到从特殊到一般的数学思想.

师生活动：学生分组动手画图操作，教师巡视指导答疑，并适当用几何画板软件演示，师生共同探究完成.

预案：学生容易忽略定理的严格证明过程.

（3）引义释疑，验证论证，提升思维.

问题7：平面内任一向量a，都能用两个不共线的向量e，e表示，证明这种表示的唯一性.

设计意图：由于定理中的唯一性是比较难理解的，问题7的设计体现了数学思维的严谨性，用反证法来证明唯一性，使学生理解“正难则反”的证明思想.

师生活动：师生共同讨论，教师适当提示，主要证明过程由学生完成.

预案：从图形到推理论证的过程，学生难以联想用反证法证明.

师：从同学们前面的实践验证和理论论证，我们可以得到如下定理：

平面向量基本定理：如果e，e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ，λ，使a=λe+λe. 若e，e不共线，我们把{e，e}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底（base）.

（4）点拨提高，理解定理，优化思维.

问题8：平面向量基本定理的条件和结论分别是什么？

问题9：基底的选择要满足什么条件？

问题10：比较向量共线定理与平面向量基本定理. 两个定理之间有什么联系？

设计意图：通过对定理的辨析、点拨，提高学生对定理的认识，从细节上理解定理的前提条件和定理应用时需要注意的问题，避免学生空洞、抽象地任意选择基底. 问题9通过寻找向量共线定理与平面向量基本定理之间的联系，将类比、转化与化归数学思想渗透到课堂教学中来.

师生活动：师生共同讨论、辨析平面向量基本定理，学生在教师的引导下进一步理解定理的条件、结论，以及基底选择的原则.

预案1：理解平面向量基本定理应注意以下三点.

①只要是同一平面内的两个不共线的向量都可以作为一组基底，所以基底的选取不唯一.

②零向量与任一向量都共线，因此零向量不能作为组成基底的一个向量.

③实数λ，λ是唯一的.

预案2：不管是向量共线定理还是平面向量基本定理，学生学习到的都是将问题程序化和简单化，运用转化与化归思想将空间的任一向量用基底表示出来，而且不管是一维空间还是二维空间，这种表示都是唯一的.

（5）精讲精练，应用定理，拓展思维.

例1 已知，不共线：

①若=，用，表示;

②若=，用，表示;

③根据以上结果，你能猜测一个类似的结论吗？请证明你的猜测.

设计意图：通过本例的疏导，使学生能够初步掌握在具体的问题中选择一组基底来表示其他向量.例题设计为层层递进的三个小问题，使学生体会从特殊到一般的数学思想及归纳推理的数学方法.

师生活动：学生分组解决，教师巡视答疑指导.

例2 如图4所示，CD是△ABC的中线，CD=AB，用向量法证明△ABC是直角三角形.

设计意图：向量的数量积是否为零，是判断相應的两条线段（或直线）是否垂直的重要方法之一. 本例的设计为学生用向量这个工具来解决平面几何问题示范了一般的步骤，教学中渗透了数形结合、转化与化归数学思想.在选取基底的问题上，只要是符合基底要求的两个向量都可以作为基底，但是选择时要考虑对于问题解决的便捷性和优越性.

师生活动：师生共同分析、讨论解决问题，并归纳总结用向量解决平面几何问题的一般步骤.

预案：不同的学生可能会选择不同的基底进行证明，教师可以引导学生比较不同的基底对于问题解决的优越性.

（6）归纳自结，升华定理，形成能力.

问题11：叙述平面向量基本定理的内容，定量的条件、结论分别是什么？

问题12：定理中的“唯一”如何解释？

问题13：用向量解决平面几何问题的一般步骤是什么？

设计意图：通过学生的讨论交流，把平面向量基本定理的内容加以小结，归纳总结用向量解决平面几何问题的一般步骤，提炼归纳推理、转化与化归、数形结合等数学思想，以及从特殊到一般、从具体到抽象的数学方法. 小结留部分空白给学生思考，使学生养成自己提出问题、自己解决问题的好习惯，将思考探索知识的过程还给学生.

师生活动：师生共同总结归纳，把知识、方法、数学思想系统化，形成能力.

6. 目标检测设计

课堂检测：

（1）辨析正误.

①基底中的向量不能为零向量.

②平面内任意两个向量都可以作为基底.

③若e，e是同一平面内两个不共线的向量，则λe+λe（λ，λ为实数）可以表示平面内所有的向量.

④平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解也是唯一确定的.

（2）设e，e是平面内的一组基底，下列四组向量中，不能作为基底的是（  ）

A. e+e和e-e

B. 3e+2e和2e+3e

C. 3e+4e和e+e

D. e+e和e

（3）设O，A，B，P为平面上四个点，且=t+（1-t）（λ∈（0，1）），则（  ）

A. 点P在线段AB上

B. 点A在线段BP上

C. 点B在线段AP上

D. O，A，B，P四点在同一条直线上

设计意图：课堂目标检测紧扣平面向量基本定理和例题，主要目的是让全体学生进一步理解定理的内容和应用条件，对定理中基底的选择和表示的唯一性有更深刻的体验.

在这一环节中，教师设计的分层检测题目针对的是不同层次的学生，使每一位学生都有收获，体验学习数学的乐趣和成功的喜悦，增强学习数学的愿望与信心.

课后检测：

（1）如图5所示，在矩形ABCD中，M，N分别是边BC和CD上的点，且满足BM=BC，DN=DC，若=λ+μ（其中λ，μ∈R），求λ，μ的值.

（2）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，试用，表示向量.

设计意图：作业布置突出了本节课的重点，作业适量，但解答题目需要一定的能力，目的是让学生理解平面内任一向量都可以沿着两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，而且这种分解是唯一的.两个题目都联系到了下节课的内容，使学生自己能够自由思考，从本质上理解平面向量基本定理，为平面向量的正交分解和坐标表示打下了基础.