促进数学思想感悟的课堂分层作业设计

摘要 小学数学教学中引导学生感悟数学思想，有助于学生思维的发展、学科核心素养的培育。课堂作业因反馈与评价的实时性，对促进学生感悟数学思想起着关键性作用。设计帮助学生突破数学思想本原问题的基础性课堂作业、体验数学思想多样方法的开放性课堂作业、评价数学思想感悟水平的创造性课堂作业、促进数学思想深度感悟的反思性课堂作业，能引导学生经历数学思想的潜意识、明朗化、深刻化、内生化阶段，逐步深化对数学思想的感悟。

关  键  词 数学思想  课堂分层作业  基础性作业  开放性作业  创造性作业  反思性作业

引用格式 赵斌.促进数学思想感悟的课堂分层作业设计[J].教学与管理，2022（23）：62-65.

数学逻辑结构的一个特殊的、重要的要素就是数学思想。整个数学科学就是建立在数学思想的基础上，并按照这些思想发展起来的[1]。小学数学教学中引导学生感悟数学思想，有助于学生以更高的视角理解知识、掌握技能，提升学生在解决问题过程中运用知识和技能的自觉性、合理性、灵活性和创造性，促进学生思维发展，培育学科核心素养。

课堂作业是教师在课堂教学中布置给学生完成的作业。由于这类作业可以穿插在新知识学习的过程中，其反馈的实时性可让教师在第一时间诊断学情、评价引导、调整教学，有助于教师基于学生当下体验，促进学生思维的进阶、经验的累积与提炼，引导学生经历数学思想的潜意识、明朗化、深刻化、内生化阶段，形成对数学思想感悟的螺旋上升。因此，课堂作业设计与实施的科学性、实效性和层次性不仅直接影响着学生理解基础知识、掌握基本技能、积累基本活动经验的效率，更在感悟数学基本思想这一目标的达成中发挥着关键性作用。

本文以苏教版《数学》五年级下册“解决问题的策略”第一课时中的转化思想为例，通过课堂作业的设计与实施，帮助学生逐步掌握转化技能、提炼转化策略、感悟转化思想，为教师提供促进学生感悟数学思想的课堂作业设计策略。

课始首先呈现教材例题，组织学生基于已有经验独立比较两个不规则图形的面积，再分层展示思维可视的学生作业（如图1），组织开展交流、对比、评价等活动，引导学生理解图形在分割、平移、旋转过程中面积不变，并达成“两个不规则图形的面积相等”的共识。在此基础上提炼出思考过程中所蕴涵的转化策略，初步感受转化的价值。接着设计了四种不同层次的课堂作业，逐步深化对转化思想的感悟。

图1 学生作业

一、基础性作业：突破数学思想的本原问题

对数学思想本原性问题的突破与理解，应是促进学生数学思想感悟的前提与保障。基础性课堂作业的设计，要聚焦于本原性问题，引导学生思维快速收敛，表征出真实的思维路径，凸显甚至放大学生真实学习中可能存在的问题，引发认知冲突，通过社会化共享、评价、交流等活动，让学生在自省中突破、理解本原性问题。

转化思想所蕴涵的教学本原性问题是不变量及相应的等量代换[2]。也就是说转化不仅要寻求显性的“变”，更要保持隐性的“不变”。转化思想下具体方法的选择必须保持所求量不变，这是对转化思想的感悟在潜意识阶段进阶为明朗化阶段首先应建立的理解。上一阶段例题学习中，学生已经初步感受了转化策略的价值，积累了等积转化的经验，但对转化中各种方法运用的背景、保持所求量不变的前提的理解并不深刻，甚至存在误区。例题教学后，教师设计了聚焦转化思想本原性问题的基础性课堂作业（如图2），组织学生独立完成。

图2 基础性课堂作业

学生完成作业后，展示两种典型作品：一是将图形②右下角的小长方形分割后平移至左上角，转化成边长为4的正方形，得出“图形①周长大一些”的结论;二是将图形②的部分边进行平移，转化成长6、宽4的长方形，得出“两个图形周长相等”的结论。两位学生介绍时均打算运用转化策略，将不规则图形②转化成规则图形，便于周长比较，这体现出学生转化意识的形成以及对转化价值的感悟，但也体现出对转化思想本原性问题认识的差异。之后组织学生对两种作品开展自主辨析、评价活动。活动中，学生逐步达成“通过边的平移使转化前后图形周长不变，才能比较原来两个图形的周长”的共识。最后，引导学生比较例题与基础性课堂作业这两类问题在思考过程中有什么相同、不同的地方，组织开展对比、反思、交流、概括等活动，学生逐步感悟到：运用转化策略可将不规则的、复杂的图形变成规则的、简单的图形，便于问题解决;在运用转化策略时，所求量在转化前后要保持不变。

图2中的不规则图形②既可等积转化，也可等长转化，这一设计既可以激活学生的转化意识，凸显出转化的价值，同时又直指转化思想的本原性问题，引发学生在转化方法运用方面的差异化表征，并在展示、评价、交流等活动中实现了对转化思想本原性问题的理解。

二、开放性作业：体验数学思想的多样方法

数学思想是对数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括。数学思想常常通过数学方法去体现，数学方法又常常反映了某种数学思想[3]。开放性课堂作业的设计主要体现解决问题方法的不唯一，教师要引导学生基于自身经验选用不同方法，表征多样路径，再通过社会化共享、交流、反思等活动，实现对多样方法的再抽象，由數学方法的变化性上升到数学思想的稳定性，从而感悟数学思想的一般性。

转化思想在图形问题的解决中的运用是多方面的，不仅包括前一环节中所用的平移、旋转，还包括翻折等方法，有时也可以将“形”转化为“数”来解决。缺乏对多样方法的抽象，对转化思想的感悟只能是空中楼阁;而要让这种感悟更接地气，更多的需要学生完成作业过程中的自主生成。接着上阶段作业，教师设计了蕴涵多种转化思想方法的开放性课堂作业（如图3），组织学生独立完成。

图3 开放性课堂作业

学生完成作业后组织集体交流。三种花圃形状都是不规则图形，学生已经可以自觉运用转化策略进行面积比较，先将三幅图中的阴影部分分别运用平移、旋转、翻折转化成正方形、三角形和长方形，但仍不能直接比较出阴影部分面积的大小。这时一部分学生再将图形②的三角形分割、旋转，将图形③的长方形分割、平移，分别转化成与图形①平移后得到的正方形相同的图形，最后得出三种设计方案面积相等;还有一部分学生认为转化后的正方形、三角形、长方形虽然形状不同，但都是占整个长方形的，长方形面积相等，三种设计方案的面积也都相等。之后再次组织学生对两种思路进行剖析、对比、交流，发现两种方法都运用了两次转化：第一部分学生两次都是“形—形”的转化，第二部分同学先是“形—形”转化，然后是“形—数”转化，最终都得出花圃面积相等的结论。

图3中的三幅图中包含了平移、旋转、翻折三种常见的图形转化方法，能引发学生的多次转化，同时还内隐了“形—形”“形—数”两种不同维度的转化。这一设计既激发了学生灵活运用策略解决问题的意识，又引导学生自主生成多样的可视化材料。利用这些材料开展对比反思、抽象概括等再学习活动，可以实现从方法到思想的迁跃，帮助学生体验转化思想之下数学方法的多样性、灵活性，感悟数学方法之上转化思想的稳定性、一般性，对数学思想的感悟上升至明朗化阶段。

三、创造性作业：评价数学思想的感悟水平

高阶思维包括分析能力、创造能力和系统思维能力[4]。数学思想指导下的创造性活动，是数学思想感悟水平达到高阶的表现。创造性课堂作业的设计，主要体现在创造结果符合要求且结论不唯一。通过作业引发学生的创造性活动，既能以此评价学生个体的数学思想感悟水平，又能以此为材料开展社会化共享、交流等活动，促进学生群体对数学思想的深度感悟，培养学生的创造性思维。

转化思想不仅能运用在比较、计算等问题的解决中，若能有意识地以此为工具进行创造性活动，不仅能展现学生对转化思想的感悟水平，更能体现转化思想内在逻辑的力量与价值。前一作业中，学生了解到转化方法可以是多样的、多次的，有时还可将形转化成数来解决问题，紧接着上一作业中积累的经验，教师设计了评价学生转化思想感悟水平的创造性课堂作业（如图4），组织学生独立开展创造性活动。

作品展示中，少部分学生设计了路宽2米的无需转化的“L”形道路，更多学生设计了路宽2米的需一次转化的“T”形，需多次转化的“+”形道路，还有路宽1米的需多次转化的“#”形道路，体现出多层次的创造性。之后教师请学生介绍自己作品，要求用尽量简洁的方式，让大家清楚看出草坪面积是15×10。学生有的介绍，有的边介绍边画图，自觉运用转化策略说明自己作品中草坪的面积都可以转化成长15米、宽10米的长方形。最后，引导学生对比反思：这些同学创造的作品中运用了什么策略。学生认识到多样作品中转化策略的运用，感受到转化思想在创造中的价值。

图4 创造性课堂作业

如图4这样的创造性作业以图形表征算式，且答案不唯一。这一设计再一次打通数、形之间的壁垒，培育学生数、形转化的自觉性，同时给予学生开放的空间，引发学生不同水平层次的图形表征活动，以此评价学生对数学思想的感悟水平。而介绍作品时提出的跟进要求，对展示学生而言是运用转化思想进行思维表征，对其他同学而言则是对转化思想的更广泛、更深入的认识。这一作业让学生个体在创造和表达中提升转化技能，深化对转化思想的感悟，通过社会化共享、交流，促进学生群体转化思想感悟水平的升阶，将学生对数学思想的感悟从明朗化推向深刻化阶段。

四、反思性作业：促进数学思想的内在自生

如果说数学知识的初步学习是一个认知结构的组织过程的话，那么更为重要的是认知结构的再组织[5]，而反思是实现认知结构再组织必不可少的环节。设计反思性课堂作业，引导学生对一定阶段的学习过程进行回顾与反思，将其中的知识、方法建立起系统关联，能让学生对显性知识或方法的理解更深、更广、更全，并对其中隐性数学思想的感悟更清、更深、更实。

转化思想的价值不仅体现在具体问题的解决中，在整个数学知识结构的扩展中也发挥着重要作用。很多新知识是在已有旧知识上生长出来的，而转化在新、旧知识中起着关键的桥接作用。在一系列具体问题解决后，适时抽身，引导学生以转化思想的视角回看知识发展过程，体验转化思想在知识结构扩展过程中的生长力，在完善认知结构的同时，促成对转化思想的感悟螺旋上升至内生化阶段。课堂的最后环节，教师设计了转化思想视角下的反思性课堂作业（如图5），组织学生小组回顾、交流、梳理。

图5 反思性课堂作业

小组合作完成作业后组织集体交流。有的发现在近期学习的异分母分数加、减法计算时将其转化成同分母分数加、减法，圆面积计算公式推导时将其转化成长方形面积计算等;有的发现在以前学习平行四边形面积计算公式推导时将其转化为长方形面积计算，小数乘法计算时将其转化为整数乘法等。这些小组通常采用文字表征的方式，回顾某几个知识点中转化思想的运用。还有的学生发现，在图形问题中平行四边形、三角形、梯形、圆的面积计算公式推导过程均体现了转化思想，并用文字、图形加符号的结构图表征出图形面积之间的转化关系。在学生充分交流的基础上，教师将其进一步结构化，梳理出图形与数计算中的转化，在课件中以知识树的方式动态呈现（如图6），并引导学生再次反思：通过回顾，你对转化策略又有怎样的认识？有学生回答，“我认为转化策略在数学学习中很重要，它让我们不断学到新的知识”，有学生回答，“今后我们遇到新的问题、难的问题时，可以先把它转化成已学过的问题再解决”……这时教师可以将话题进一步延伸：“除此之外，数和形有时也可以相互转化，让问题变得便于解决，下节课我们将继续研究。”进一步拓展转化的对象与方法，为下节课的学习作好铺垫。

图6 转化思想树状图

反思性课堂作业引导学生以转化思想的视角，“俯视”以往的学习历程。学生在回顾中或是发现点状转化思想的特殊运用，或是梳理出网状转化思想的普遍运用，走出本课内容发现转化方法的多样性、转化思想的普遍性。在此基础上梳理出的树状图，带领学生穿行于知识结构之中，深入体验转化思想的价值。这一作业涵盖了以往数与形的内容，通过小组合作、集体交流、教师助推等方式，帮助学生实现认知结构再组织的同时，直观地、全面地感受轉化思想运用的一般性和内在的生长力，使学生对数学思想的感悟进一步深刻化、整体化。学生对转化策略再认识的回答更是体现出转化思想在学生心中的理性内生。

数学思想的感悟是一个长期渗透、反复感悟、螺旋上升的过程，不是通过一节课的教学、几项作业的完成就可以实现的，尤其是课堂作业的完成时间、交流时间有限，学生难以在课堂上进行长时间思考，实践性上也有所局限，悟的深度和广度势必会受到一定影响，这些问题需要课后作业予以补足。但精心设计课堂作业，精致组织以学为中心的、以课堂作业为载体的教学活动，无疑是引导学生减负增效，感悟数学思想的必要方式。

参考文献

[1] 弗利德曼.中小学数学教学心理学原理[M].陈心五，译.北京：北京师范大学出版社，1987：21.

[2] 徐文彬.数学“解决问题的策略”的理解、设计与教学[J].课程·教材·教法，2009，29（01）：52-55.

[3] 顾沛.数学基础教育中的“双基”如何发展为“四基”[J].数学教育学报，2012，21（01）：14-16.

[4] 钟志贤.教学设计的宗旨：促进学习者高阶能力发展[J].电化教育研究，2004（11）：13-19.

[5] 侯正海.促进理解：数学教学的追求[J].小学数学教育，2016（Z2）：126-129.

[责任编辑：陈国庆]