巧设问题探究 提升建模能力

吴莺

[摘  要] 数学建模是数学六大核心素养之一，也是高中数学教学的一项重要内容，其在具体教学中应该如何落实呢？文章以“任意角三角函数”教学为例，通过建立圆周运动模型带领学生体验三角函数定义的提炼过程，感受数学模型的价值，从而培养他们的数学模型意识，提高他们的数学核心素养.

[关键词] 数学建模;核心素养;问题探究

在素质教育的影响下，教学中教师更加关注学生应用数学的能力，数学建模能力自然成了高中数学教学的一个热点话题. 在传统的数学教学中，数学建模对学生的专业知识的要求比较高，由于高中生不仅数学专业知识有限，而且高考压力大，没有过多的时间和精力迎接数学建模的培养，故高中阶段未形成良好的建模意识. 要知道，数学学习的最终目的是培养学生运用数学的能力，而不是为了应对高考，因此教学中教师应多鼓励学生“动手做”，进而锻炼学生运用数学的能力，提升数学核心素养. 笔者教学“任意角三角函数”时，以学生的认知为出发点，通过师生自主探究、合作交流，带领学生体验数学模型的价值，以此培养学生的数学综合应用能力，现分享出来，如有不足请多指正.

[?]如何落实数学建模

三角函数是描述周期性现象的重要数学模型，它不仅将几何与代数紧密地联系在一起，而且在物理学、天文学等方面也有着重要的应用价值，是解决实际问题的重要工具. 因此，教学中有必要深入探究三角函数，发挥其数学学科价值. 学习任意角三角函数时，大多数教师认为以锐角三角函数为切入点，通过沟通两者的区别与联系完成任意角三角函数的建构似乎顺理成章;但在教学实际中发现，学生容易受到已有认知的干扰，无法更好地理解三角函数中“周而复始”的现象，难以将任意角三角函数纳入函数体系中，进而影响到了数学模型的建构. 基于此，笔者运用“匀速圆周运动的数学模型”共同体验三角函数的周期变化，通过提炼和抽象得到三角函数的定义.

1. 借助情境，呈现模型

数学建模前不仅要清晰地了解问题的实際背景，还要掌握与之有关联的知识和信息，进而对知识体系有一个更为清晰和完整的认识，使建模过程更具整体性和针对性. 其实数学建模就是对现实问题的一个抽象过程，从数学的角度去思考、探究、抽象，从而得到问题的本质属性，获得数学研究对象.

教学片段1：联系旧知.

问题1：函数是高中数学教学的一个重点内容，那么函数概念你还记得吗？

问题2：函数是刻画事物运动变化规律的重要模型，现在我们都学过哪些函数？又是如何刻画的呢？

设计意图：问题1引导学生复习函数概念，便于学生在新知建构过程中发现其关联性，进而为新知纳入函数体系做好铺垫;在问题2的引导下，学生容易联想到一次函数中的匀速直线运动、二次函数的抛物线运动，进而为接下来探究匀速圆周运动奠定基础. 这样，通过开放性问题的创设，不仅发散了学生的数学思维，而且通过沟通旧知扫清了思维障碍，树立了学习信心.

教学片段2：引入情境.

师：生活中有很多现象是周期变化的，你们能简单地列举几个吗？

生1：时钟、四季更替.

生2：日出日落.

……

师：很好，其实生活中这种周而复始、循环往复的现象有很多. 物理上你又学过哪些类似的现象呢？

设计意图：联系生活实际，体验事物“周而复始”的变化规律，同时又联系到其他学科内容，逐渐引导学生抽象出匀速圆周运动模型.

在新知引入阶段，从学生熟悉的内容出发，更易于引发学生情感的共鸣，进而激发学生的探究欲望. 在教师精心的引导下，匀速圆周模型基本形成.

2. 通过探究，构建模型

学生的直观模型已经建立，然若从数学的角度去建构还需要经历一些探究过程，教师可以借助具体的数学模型引导学生经历观察、分析、对比、归纳等思维活动，从而得到事物的本质属性，最终构建概念模型.

教学片段3：构建模型.

问题3：想一想，如何用数学知识构建匀速圆周模型呢？

设计意图：引导学生建立如图1所示的平面直角坐标系，将几何问题代数化，用坐标刻画单位圆，从实际模型中提炼出数学属性，凸显问题本质.

探究1：如图1所示，请大家探究一下角α、射线OP、点P之间的关系.

设计意图：引导学生经历模型构造和探究过程，在过程中引导学生得到对应关系“角α→射线OP→点P”，根据变化规律可知，若角α为固定实数，则有唯一对应的实数x和实数y，若设点P（x，y），则根据函数定义可以推导出如下函数关系式：①x=f（α）;②y=g（α）.

3. 优化模型，构建体系

数学建模的目的就是解决实际问题，因此在模型建立后，要与实际情况和已有知识进行比较，以此来检验数学模型的科学性和合理性，若所建模型与实际情况吻合度较高，则根据探究结果做出合理的解释，并将其纳入知识体系中;若两者吻合度不高，则需要对模型进行修改，以确保模型合适、合理.

教学片段4：优化模型.

问题4：x=f（α）与y=g（α）两函数都是刻画点P的变化规律，若点P在第一象限，请联系初中所学的锐角三角函数相关内容，你感觉以上两个重要函数应该叫什么，又该如何标记呢？

设计意图：与旧知建立联系，进而引导学生向三角函数的思路转化. 过点P作PM垂直x轴（如图2所示），则有sinα==y，cosα==x.

这样通过与已有认知的关联，给出了正弦、余弦函数的定义和符号：y=sinα，x=cosα. 这样与旧知建立了联系，优化了函数模型，便于学生将新知纳入三角函数的知识体系中，进而逐渐完善认识.

问题5：如图2所示，在Rt△OPM中，tanα=，如果将角α推广至任意角，是否还是函数模型.

设计意图：联系初中所学的内容再探究，得到“实数α→唯一比值是函数关系”，由此构建新的知识体系，得到三角函数y=sinα，x=cosα，tanα=.

4. 应用模型，解锁性质

在数学教学中，若要提升学生数学建模意识就应引导学生去应用模型，通过解决实际问题来激发学生数学建模热情，并在应用中提升学生的数学分析和数学实践能力.

探究2：借助匀速圆周运动我们得到了任意角的三个三角函数（正弦、余弦、正切），那么根据模型能够得到三角函数哪些性质呢？

设计意图：应用模型，学生容易得到三个三角函数的定义域、值域，同时通过对比值和坐标的理解，学生容易发现三角函数在不同象限的正负性，另外应用模型有利于学生理解并掌握诱导公式一，如sin（α+2kπ）=sinα（k∈Z）.

[?]对数学建模的反思

1. 概念教学——数学建模的落脚点

数学概念是对客观世界数量关系中本质属性的抽象和概括，是数学知识的基础，是数学教学的核心. 概念的形成一般从具体例证出发，经过大量的实验和探究，抽象出事物的共性特征，这更能彰显问题的本质. 其实，在概念形成过程中的探究就是一种数学建模的过程，例如“任意角三角函数”的概念教学，先借助情境初识模型，通过对模型的探究抽象出概念，在完善和优化模型时进一步深入地理解了概念，最后通过应用模型，理解并掌握了三角函数的性质：这样一步步探究、一层层推进，顺应学生的发展，让数学建模找到了合适的落脚点，学生在概念形成过程中不仅学会了数学建模，而且通过数学建模帮助自己强化了对概念的理解.

2. 生成过程——数学建模的关键点

数学建模主要体现在数学探究过程中，而探究需要时间和空间，因此教师在教学过程中要为学生提供一个适宜探究的生成环境，让学生亲身经历、亲身实践，在探究中体验数学建模过程，从而培养学生数学建模意识，提升其数学能力. 例如探究角α、射线OP、点P之间的关系时，大多数学生最初认为是“点P→射线OP→角α”，然探讨“唯一性”时可以发现，点P不能唯一确定角α，因此得出了“角α→射线OP→点P”，从而得出了函数关系式. 在学习过程中，只有让学生经历“过程教育”才能真实揭示事物的本质，进而培养数学思维的严谨性.

3. 学科关联——数学建模的聚焦点

在数学建模教学中，教师不仅要引导学生关注现实生活，还要多关注与其他学科的关联性，要充分发挥数学作为基础学科的价值. 如通过源于生活的周期现象提炼圆周运动模型，又如从生物学中的遗传学问题提炼概率模型，等等.

总之，数学教学中要为学生创设一个自由探究的平台，让学生在探究中学会主动观察、发现、联想、抽象，从而通过合作交流和动手實践让学生学会数学建模.