解题教学的关键：识别模式，体悟思路

王弟成

摘要：在一次高二期末调研数学测试中，一道解析几何综合题学生的解答情况很不理想。分析学生该题的解答情况反映出的一般的学习问题，提出相应的教学对策：培养学生良好的审题习惯;强化学生解题的目标意识;引导学生在解题的探究过程中体悟模式识别下思路引领的作用;培养学生巧算的意识和能力。

关键词：解析几何;解题教学;审题习惯;目标意识;模式识别

最近一次全市高二期末调研数学测试中，最后一题是一道解析几何综合题：

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为63。点P是椭圆上的一个动点，且在第一象限。记△PF1F2的面积为S，当PF2⊥F1F2时，S=263。

（1）求椭圆E的标准方程;

（2）PF1、PF2的延长线分别交椭圆于点M、N，记△MF1F2和△NF1F2的面积分别为S1和S2。（i）求证：存在常数λ，使得1S1+1S2=λS成立;（ii）求S2-S1的最大值。

对于这道题，考试时，学生的解答情况很不理想，平均得分很低。而且，在未讲评的情况下，过了一段时间，笔者又给学生半个小时，让他们重新解答一次，解答情况依然没有多少改观，只是第二问第一小问多了几个学生解答出来。

考试的根本目的不是考查学生会不会解决具体的某道（些）题，而是通过具体的某道（些）题考查学生有没有形成一般的解决问题的能力——所以考无定型，需要求变。相应地，（解题）教学的根本目的是通过解决样例问题帮助学生提升解决更多问题的能力，即通常所说的“解一题、会一类”的迁移能力——所以教务根本，需要追求不变。因此，本文首先分析学生该题的解答情况反映出的一般的学习问题，进而提出相应的教學对策。

一、学生解答情况分析

该题第一问求椭圆的标准方程，比较简单：只要利用离心率公式，以及PF2⊥F1F2时△PF1F2的面积可以焦距为底边长、以焦参数为高来求出，列出方程，即可解得长半轴长、短半轴长（同时得到半焦距），从而得到椭圆的标准方程为x26+y22=1。但是，不少学生竟然将条件“PF2⊥F1F2”看成“PF2⊥PF1”，利用焦半径公式求得椭圆的标准方程为x226+y2263=1。

这说明不少学生审题不仔细、凭感觉：平时解题多次遇到“PF2⊥PF1”的情况，就想当然地把该题的条件也当成“PF2⊥PF1”。

对于第二问第一小问，学生知道，△MF1F2的面积S1和△NF1F2的面积S2分别是随着点M和点N的变化而变化的，而点M和点N分别是随着直线PF1和直线PF2的变化而变化的。

但是，部分学生一看到直线PF1过点F1（-2，0），就设其方程为y=k（x+2），将其与椭圆方程联立，消去y得到（1+3k2）x2+12k2x+12k2-6=0，这时注意到点P不确定，再设其坐标为（x0，y0），从而由韦达定理得x0+xM=-12k21+3k2，即xM=-12k21+3k2-x0，进而由直线方程得yM=k（xM+2）=-12k31+3k2-kx0+2k（类似地，可求出yN的表达式），然后就由于式子结构复杂，算不下去了（部分学生想用k表示x0、y0，但由于式子结构复杂，也放弃了）。

同时，少数学生先注意到直线PF1和直线PF2都是随着点P的变化而变化的，就先设点P（x0，y0），得到直线PF1的方程y=y0x0+2（x+2），将其与椭圆方程联立，消去y得到1+3y0x0+22x2+12y0x0+22x+12y0x0+22-6=0，然后结合x206+y202=1得到（10+4x0）x2+12y20x+12y20-6（x0+2）2=0，再由韦达定理得x0+xM=-12-2x205+2x0，即xM=-12-2x205+2x0-x0=-12+5x05+2x0，又由直线方程得yM=y0x0+2（xM+2）=-y05+2x0，类似地，求得yN=-y05-2x0，最后代入由目标等式变形、化简得到的λ=-（yM+yN）y0yMyN计算，求得λ为常数10（多数学生于中途出现计算错误，只有一位学生最终算出正确结果）。

有些学生则通过消去x得到关于y的方程，运用韦达定理的两根积的结论，相对方便快捷地得到了正确结果。

这说明很多学生解题没有目标意识。为什么这么说？因为题目要求证明存在常数λ，使得1S1+1S2=λS成立，因此，需要选择合适的量表示三个三角形的面积。而显然，三个三角形有一条长度已知的公共边F1F2，且此边上的高分别等于P、M、N三点纵坐标的绝对值，因此，只需要表示出三点的纵坐标。可见，消去y得到关于x的方程，从而表示出点M、N的横坐标，再表示出点M、N的纵坐标，是在绕远路，不如直接消去x得到关于y的方程，从而表示出点M、N的纵坐标。

对于第二问第二小问，求得S2-S1=2[（-yN）-（-yM）]=8x0y025-4x20的学生，绝大部分在解决“已知x206+y202=1，求8x0y025-4x20的最大值”这一问题时束手无策;少数想到消去y0的，想不到整体代换简化分母的思路;少数消去y0后基于反函数思想（用因变量表示自变量，得到关于因变量的不等式，解出因变量的范围，从而求出因变量的最值）想到判别式法的，也因为运算太繁无功而返。

这说明学生的头脑中缺少一般化的问题模型以及相应的解题思想，不能基于已知和所求识别问题的模式、形成解题的思路，也不能有效调动已有知识、技巧、经验转化解决问题，也就是自主探究能力薄弱。

此外，第二问两个小问的解答情况还反映出，很多学生优化运算过程的意识不强，不能抓住式子的结构特征选择简捷的计算方法。

二、基于学习问题的教学对策

（一）培养学生良好的审题习惯

审题的重要性不用赘述，但现实是很多学生拿到题目后，不认真审题，基于经验惯性和思维定式，想当然地判定题目的条件或目标。如此审题，既与平时的训练量大、学习负担较重有关（导致学生只想快速完成学习任务），也与学生的性格、习惯有关。因此，教师一方面，要适当降低学生的训练量，减轻学生的学习负担，保证学生有足够的时间审好、解好每道题;另一方面，要通过示范和要求，帮助学生养成仔细审题，看清题目条件与目标的习惯。

具体而言，可以示范和要求：把题目的条件抓在一起，串联起来，不要读了A条件，漏了B条件;调动已有知识和经验理解题意，对条件和目标反映的关系有一个基本轮廓，抓住关键信息（具体解答时，再做进一步分析、选择、确定）。例如，对于该题，读到“PF2⊥F1F2”，反映出PF2=b2a，△PF1F2的面积等于12× 2c·PF2等基本关系;读到“△MF1F2和△NF1F2的面积”，自动想到如何表示面积，选择哪个量表示面积。

（二）强化学生解题的目标意识

解题通常是有着明确目标的活动。相对而言，要求的目标往往比已知的条件更重要：从目标出发，合理使用条件，不断转化以消除目标与条件的差异，是更高效的解题策略王秀彩.目标导向，差异分析——数学解题的有效策略[J].教育研究与评论（中学教育教学），2017（12）：4850。;从条件出发，没有目标定向的话，解题容易误入歧途。因此，教师要强化学生解题的目标意识，引导学生基于目标合理选择解题路径。

对于该题第二问第一小问，基于由主动点P的坐标表示出从动点M的纵坐标的目标，选择消去x得到关于y的方程的路径，可使解题更简捷。具体地，可设点P（x0，y0），则直线PF1的方程为x=x0+2y0y-2，与椭圆方程联立，消去x得3+x0+2y02y2-4x0+2y0y-2=0，再由x206+y202=1得（10+4x0）y2+2（x0+2）2y-2y20=0，由韦达定理得y0yM=-2y2010+4x0，即yM=-y05+2x0。这里，也可进一步设x0+2y0=m，得直线PF1的方程为x=my-2，从而进一步减少书写量：与椭圆方程联立，消去x得（3+m2）y2-4my-2=0，所以y0yM=-23+m2，再由m=x0+2y0和x206+y202=1得yM=-y05+2x0。

（三）引导学生在解题的探究过程中体悟模式识别下思路引领的作用

以知识（技能）教学为基础的解题教学，要让学生形成“解一题、会一类”的迁移能力，在选择典型题目的基础上，不能讲得太多、太细，首先要让学生自主探究各种可能的解法，获得切身体悟;其次则要适时引导学生分析问题的本质特征，识别问题的模式，把握解题的一般观念，形成解题的思路，并以之引领具体解题过程的展开，包括有关知识、技巧、经验的调用。这样，学生才不只是记住怎么解，也不只是理解為什么这么解，而是学会怎么想到这么解。

该题第二问第二小问其实有多种解决方法，教学中可以引导学生自然地“想到”。首先，要引导学生识别这是一个已知二元关系的二元函数最值问题，得到解题的基本思路是消元后利用一元函数的性质（主要是但不限于单调性，可利用导数处理），或不消元利用基本不等式。

先来看利用一元函数性质的思路。可引导学生发现要求的二元函数8x0y025-4x20中有一次形式，已知的二元关系x206+y202=1是平方关系，直接代入消元，会出现根式，不利于后续计算，所以考虑将二元函数平方（显然该二元函数的值为正数），再利用二元关系代入平方表示来消元，即8x0y025-4x202=64x20y20（25-4x20）2=64x202-13x20（25-4x20）2。这时，可引导学生发现这是一个关于x20的分子和分母都是二次式的分式函数（显然该式中的x0都以x20的形式存在，因此可将x20看成一个整体），帮助学生想到（或了解）处理这样的函数的基本方法：将分母看作整体，在分子中构造分母以分离常数，然后转化为一次式除以二次式的形式（降次）;或基于反函数思想变形为关于自变量的二次方程，然后利用判别式法。由此，学生便不难分别尝试具体的解法：（1）设25-4x20=t，则4x20=25-t，64x202-13x20（25-4x20）2=4×4x208-43x20（25-4x20）2=4（25-t）8-13（25-t）t2=-43（t-25）[24-（25-t）]t2

=-43（t2-26t+25）t2=-43251t2-261t+1，故当1t=2650=1325，即t=2513（因为0

此外，还可引导学生发现已知的二元关系x206+y202=1是椭圆方程，两元之间相互表示不简洁，不利于后续求解，而通过三角换元引入角参数，则可实现消元：设x0=6cos θ，y0=2sin θ，则8x0y025-4x20=86cos θ×2sin θ25-24cos2θ= 83sin 2θ13-12cos 2θ。这时，可引导学生发现这是一个分子、分母分别是关于sin 2θ、cos 2θ的一次式的分式函数，帮助学生想到（或了解）处理这样的函数的基本方法：由几何意义构造圆上动点与某一定点连线的斜率，然后利用直线与圆位置关系;或基于反函数思想变形为关于自变量的三角方程，然后利用辅助角公式。由此，学生可分别尝试具体的解法：（1）83sin 2θ13-12cos 2θ=-233·sin 2θ-0cos 2θ-1312，后面一个因式表示点（cos 2θ，sin 2θ）与点1312，0连线的斜率，点（cos 2θ，sin 2θ）在以原点为圆心、1为半径的x轴上方的半圆上运动，作图可知当连线与半圆相切时连线的斜率最小，解直角三角形可知此时连线的斜率为-1132122-1=-125，所以原式的最大值为-233×-125=835;（2）令83sin 2θ13-12cos 2θ=t，得83sin 2θ+12tcos 2θ=13t，由辅助角公式得sin（2θ+φ）=13t（83）2+（12t）2tan φ=12t83，故13t（83）2+（12t）2≤1，即（13t）2-（12t）2≤（83）2，所以t≤835。

再来看利用基本不等式的思路。首先，要让学生认识到基本不等式的作用是在“和”“积”“平方和”的结构（形式）之间进行放缩，放缩之后如果得到定值，之前的式子就可能有最值。其次，可引导学生发现要求的二元函数8x0y025-4x20分子是二元的“积”，分母只有一元的“平方”，但结合已知的二元关系x206+y202=1，可变成二元的“平方和”，即8x0y025-4x20=8x0y025x206+y202-4x20=8x0y016x20+252y20。因此，可以把分子的“积”放缩成“平方和”，然后与分母的“平方和”约分得到定值;也可以把分母的“平方和”放缩成“积”，然后与分子的“积”约分得到定值。由此，学生便不难分别尝试具体的解法（当然，采用前一思路时，会遇到给二元加上适当的系数，以使放缩后分子、分母中二元的系数对应成比例，从而可以约分的问题，教师可引导学生用待定系数法来配凑）：（1）8x0y016x20+252y20=8λx0·1λy016x20+252y20 ≤4λ2x20+41λ2y2016x20+252y20，令λ21λ2=16252，得λ2=153，代入得4λ2x20+41λ2y2016x20+252y20=453x20+203y2016x20+252y20=835;（2）8x0y016x20+252y20≤8x0y0216x20·252y20=835。

最后值得一提的是，要培养学生巧算（非按部就班地死算）的意识和能力，尤其是遇到容易出现繁难计算的解析几何问题时。为此，一方面，要引导学生充分衡量运算量的大小，尽量选取运算量小的解题思路。如，解决该题第二问第一小问时，选择消去x得到关于y的方程的路径。另一方面，还要引导学生分析算式的结构特征，思考是否可以转换表征、是否可以整体处理、是否可以先行约分或消去等，从而不断优化运算过程。如，解决该题第二问第二小问，选择分离常数以“降次”的方法时，对分母进行整体换元;选择判别式法时，先“约分”;选择三角换元方法时，转换为几何表征。