解答多元变量最值问题的三种方法

唐庆玉

多元变量最值问题是指含有两个或两个以上变量的最值问题.此类题目的命题形式多样，涉及的知识面较广，通常要求根据已知关系式求某个参数或代数式的最值.本文主要探讨一下解答多元变量最值问题的三种方法.

一、判别式法

对于含有多个变量的二次最值问题，通常可采用判别式法来求解.需根据题意选择其中的一个变量，将其设为主元，构造出关于主元的一元二次方程，根据一元二次方程有实数解时判别式大于或等于0来建立不等式，解该不等式即可求得最值.运用此种方法解题，需熟悉一元二次方程的根的分布情况.

解：由log₄（x+2y）+log₄（x-2y）=1，

令x-y=u，将其代入x²-4y²=4中可得3y²-2uy+4-u²=0，

这个关于y的二次方程显然有实根，

通过消元，将三元目标式转化为一元二次代数式，便可利用二次函数的性质求得目标式的最值.运用消元法解答多元变量问题，需明确各变量之间的数量关系，进行合理消元，以便将代数式简化.

三、基本不等式法

解：由于a，b，c均为正实数，

首先将已知关系式化简，引入参数u，便可构造出关于y的一元二次方程，根据方程有解，得出Δ≥0，即可求得目标式的最小值.运用判别式法解题的关键在于构造一元二次方程.

二、消元法

解答多元变量最值问题的常用方法是消元法，即通过等量代换，消去某些变量，以减少变量的个数，将多元变量最值问题转化为一元函数最值问题，利用简单初等函数的性质解题.

例2.已知a>0，b>0，c>0，且ab=1，a²+b²+c²=4，求ab+bc+ac的最大值.

解：由a²+b²+c²=4可得a²+b²=4-c²，

由4-c²=a²+b²≥2ab=2可得c²≤2，

由于M的表达式较为复杂，所以我们要建立各关系式之间的联系，构造出两式的和，并使其積为定值，这样便可利用基本不等式求得最值.

虽然多元变量最值问题较为复杂，但是我们只要建立已知关系式与所求目标之间的联系，进行合理消元，构造一元二次方程，配凑出两式的和或积，便可利用一元二次方程的判别式、函数的性质、基本不等式求得最值.