谈谈运用反证法解题的步骤

周文帝

假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出相矛盾的结论，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.反证法是一种间接证明方法.当遇到一些不容易或者不能从正面进行证明的题目时，可以尝试運用反证法，从问题的反面人手来进行证明.反证法弥补了直接证明方法的不足，在解题中应用广泛，有着不可替代的重要作用.

运用反证法解题的步骤如下：

第三步，得出结论.断定产生矛盾的原因在于开始所作的假设不成立，于是结论q成立，从而间接地证明了命题p?q为真命题.

反证法常适用于证明否定性命题、存在性命题以及含有“至多“至少“唯一”等字眼的命题.

下面举例说明.

例1.已知点A、B、C三点在同一条直线上，求证：过A、B、C三点不能画圆.

证明：假设经过A、B、C三点可以画圆，如图1所示，

设此圆的圆心为O，那么A、B、C三点中的任意两点的连线就是圆O的弦，

根据垂径定理可知，。不仅在AB的中垂线OM上，还在BC的中垂线ON上，

那么过点O有两条直线OM与ON均与AC垂直，显然，这与垂直定理不相符，所以这个假设不成立，则过A、B、C三点不能画圆.

直接证明本题较为困难，不妨从其反面入手，采用反证法进行求证.首先假设过A、B、C三点能画圆，将其作为已知条件，根据垂径定理和三点共线的公理进行推导，得出相矛盾的结论，即可证明结论.

可得a²=2b²，所以a²为偶数，

因此a也一定是偶数，

设存在自然数c，使得a=2c，

则a²=4c²，则2c²=b²，

由于b²是偶数，所以b也是偶数，

可得a，b均为偶数，这与a，b互质相矛盾，

而证明原命题成立.

例3.如图2，设S4、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面的圆心，C是SB上一点求证：AC与平面SOB不垂直

证明：假设AC⊥平面SOB，

∵直线SO在平面SOB内，

∴AC⊥SO，

∵SO⊥底面圆O，∴SO⊥AB，

∴SO⊥平面SAB，

∴平面SAB∥底面圆O，

这与图2不相符，所以假设不成立.

即AC与平面SOB不垂直.

我们很难直接证明AC与平面SOB不垂直，而本题为否定性命题，于是采用反证法，假设证明AC与平面SOB垂直，根据线面垂直的判定定理、两平面平行的性质定理证明平面SAB∥底面圆O，得出相矛盾的结论，即可证明原结论成立.

所以假设的命题不成立，

“三个式子中至少有一个不小于2”共有7种情况，证明起来困难又繁杂，而它的反面是“三个式子全都小于2”，只有一种情况，于是利用反证法，从反面进行证明.当遇到题目中含有“最多”“不少于”“至少”“至多”“唯一”等字眼的命题时，采用反证法求证往往比较凑效.常见的结论词和假设词有：

例5.已知x+y+z>0，xy+yz+zx>0，xyz>0.求证：

x，y，z都是正数.

证明：假设x<0，

因为xyz>0，所以yz<0，

因为x+y+z>0，

所以y+z=-x>0，

所以xy+yz+zx=x（y+z）+yz<0，

这与xy+yz+zx>0相矛盾.

假设x=0，则xyz=0，

这与xyz>0矛盾，

因此，x必为正数.

同理可以证明：y，z也为正数.

“x，y，z都是正数”的反面情况是：x，y，z都不小于0.采用反证法证明本题，需先假设x，y，z中的一个小于或等于0，然后根据已知条件，利用不等式的性质进行运算、推理，得出与已知条件相矛盾的结论，即可解题.

可见，从正面证明困难或情况较多时，用反证法会收到更好的效果.运用反证法解题，关键是提出正确的假设，这是正确运用反证法的前提.要想提出正确的假设，必须注意以下几点：

（1）分清命题的条件与结论，原结论与假设的结论之间的逻辑关系.

（2）结论的反面常常不止一种情形，在提出“假设”后，要回过头来看看“假设的结论”的对立面是否恰是命题的结论.