抽象函数背景下设置的问题例析

2022-05-30童其林

广东教育·高中 2022年9期

童其林

2022年全国高考数学题我们都看到了，做过了，能感受到它的难度和情境的新颖，比如有一类抽象函数问题，全国新高考Ⅰ卷、Ⅱ卷、全国高考乙卷都出现了. 这类问题对数学抽象、直观想象、逻辑推理等核心素养都有较高的要求.下面让我们先欣赏这些问题，并对这些问题做一个简单的整理归纳，期望对你的复习备考有帮助.

例1.（2022年全国新高考Ⅰ卷，12题）已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R，记g（x）=f′（x）. 若f（-2x），g（2+x）均为偶函数，则（）

A. f（0）=0 B. g（-）=0 C. f（-1）=f（4） D. g（-1）=g（2）

解析1：因为u（x）=f（-2x）是偶函数，所以u（x）=u（-x），即f（-2x）=f（+2x），所以f（x）关于直线x=对称，同理可得g（x）关于直线x=2对称.

结合g（x）=f′（x），再根据g（x）关于直线x=2对称，可知f（x）关于（2，t）（t为任意实数常数）对称，

根据f（x）关于直线x=对称，可知g（x）关于点（，0）对称.

因此，函数f（x）和g（x）均是周期为2的周期函数，所以f（0）=f（2）=t（t为任意实数），当t≠0，A不正确.

又f（-1）=f（-1+2）=f（1），f（4）=f（2+2）=f（2）， f（x）关于直线x=对称，所以f（1）=f（2），因此f（-1）=f（4），所以C正确.

g（-）=g（-+2）=g（）=0，所以B正确.

因为g（x）关于点（，0）对称，所以g（1）+g（2）=0，又g（-1）=g（-1+2）=g（1），所以g（-1）=-g（2），所以D不正确.

故选BC.

点评：本题在抽象函数的背景下，要比较深刻地理解函数的奇偶性、对称性、周期性、导数等概念以及它们之间的联系，才能完成解答. g（x）关于直线x=2对称，可知f（x）关于（2，t）（t为任意实数常数）对称，若在此条件下得出f（x）关于（2，0）对称就不准确了，比如g（x）=（x-2）2关于直线x=2对称，得f（x）=（x-2）3+t，它是关于（2，t）（t为任意实数常数）对称的. 对f（x）关于直线x=对称，可知g（x）关于点（，0）对称的理解，我们举个例子：f（x）=（x-）4+t，关于直线x=对称，而g（x）=f′（x）=4（x-）3，关于点（，0）对称，并不是关于点（，t）对称. 本题中，函数f（x）与函数f（x）的导函数g（x）性质的准确转换是解题的关键，而以往对此类问题的性质研究较少，应该重视起来——而且要有前瞻性，因为每一年的高考题都有新题出现，要么知识新，要么方法新，要么情境新.

特别提醒，解答本题及类似问题时，下面的定理及其推论一定要理解、记忆并会运用：

定理1. 函数 y=f（x）的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是f（x）+f（2a-x）=2b.

证明：（必要性）设点P（x ，y）是y=f（x）图像上任一点，∵点P（x，y）关于点A（a，b）的对称点P ′（2a-x，2b-y）也在y=f（x）图像上，∴ 2b-y=f（2a-x），即y+f（2a-x）=2b，故f（x）+f（2a-x）=2b，必要性得证.

（充分性）设点P（x0，y0）是y=f（x）图像上任一点，则y0=f（x0）.

∵ f（x）+f（2a-x）=2b，

∴ f（x0）+f（2a-x0）=2b，即2b-y0=f（2a-x0） .

故点P′（2a-x0，2b-y0）也在y=f（x）图像上，而点P与点P′关于点A（a，b）對称，充分性得征.

推论1：函数 y=f（x）的图像关于原点O对称的充要条件是f（x）+f（-x）=0.

推论2：函数 y=f（x）的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是f（a+x）+f（a-x）=2b.

定理2. 函数 y=f（x）的图像关于直线x=a对称的充要条件是f（a+x）=f（a-x），即f（x）=f（2a-x）（证明留给读者）.

推论：函数y=f（x）的图像关于y轴对称的充要条件是f（x）=f（-x）.

定理3. ①若函数y=f（x）图像同时关于点A（a，c）和点B（b，c）成中心对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且2a-b是其一个周期.

②若函数y=f（x）图像同时关于直线x=a 和直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且2a-b是其一个周期.

③若函数y=f（x）图像既关于点A（a，c）成中心对称又关于直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且4a-b是其一个周期.

①②的证明留给读者，以下给出③的证明：

∵函数y=f（x）图像关于点A（a，c）成中心对称，

∴ f（x）+f（2a-x）=2c，用2b-x代x得：

f（2b-x）+ f [2a-（2b-x）] =2c………………（*）

又∵函数y=f（x）图像直线x=b成轴对称，

∴ f（2b-x）=f（x）代入（*）得：

f（x）=2c-f [2（a-b）+x]…………（**），用2（a-b）+x代x得

f [2（a-b）+x]=2c-f [4（a-b）+x]，再把此式代入（**）得：

f（x）=f [4（a-b）+x]，故y=f（x）是周期函数，且4a-b是其一个周期. 得证.

解析2：前面用一般化的方法解决了问题，我们也可以具体化解决这个问题.

设f（x）=sin？仔x+c（c为任意实数常数），则g（x）=f′（x）=？仔cos？仔x，

f（-2x）=sin（-2x）？仔+c=-cos2？仔x+c，为偶函数，

g（2+x）=？仔cos？仔（2+x）=？仔cos？仔x，为偶函数，均满足题设.

而f（0）=sin0+c=c，当c≠0，f（0）≠0，所以A错误，

g（-）=？仔cos（-？仔）=0，B正确，

f（-1）=sin（-？仔）+c=c，f（4）=sin4？仔+c=c，所以f（-1）=f（4），C正确，

g（-1）=？仔cos（-？仔）=-？仔，g（2）=？仔cos2？仔=？仔，g（-1）≠g（2），D不正确.

故选BC.

点评：用此方法容易把A选成正确的，原因是直接假设f（x）=sin？仔x，所以更一般的假设，即假设f（x）=sin？仔x+c（c为任意实数常数）有利于避免错误.

例2.（2022年全国新高考Ⅱ卷，8题）若函数f（x）的定义域为R，且f（x+y）+f（x-y）=f（x）f（y），f（1）=1，则f（k）=（）

A. -3 B. -2 C. 0 D. 1

解析：令y=1，得f（x+1）+f（x-1）=f（x）f（1）=f（x），所以f（x+1）=f（x）-f（x-1）.

由此得，f（x+3）=f（x+2）-f（x+1）=f（x+1）-f（x）-f（x+1）=-f（x），

所以f（x+6）=f [（x+3）+3]=-f（x+3）=f（x），即f（x）的周期为6.

令x=1，y=0，得f（1）+f（1）=f（1）f（0），所以f（0）=2，又f（1）=1.

所以f（2）=f（1）-f（0）=1-2=-1，f（3）=f（2）-f（1）=-1-1=-2，

f（4）=f（3）-f（2）=-2-（-1）=-1，f（5）=f（4）-f（3）=-1-（-2）=1，

f（6）=f（5）-f（4）=1-（-1）=2，

可得在一个周期内，f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=0.

因为22=6×3+4，

所以f（k）=f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=1+（-1）+（-2）+（-1）=-3，选A.

点评：通过赋值法求出一个周期内的函数值，再利用周期即可求出f（k）的值. 实际上，所求的函数值那么多，一个一个计算不太可能，找出规律，即找出函数周期是明智的选择.

例3.（2022年全国高考乙卷，12题）已知函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）+g（2-x）=5，g（x）-f（x-4）=7. 若y=g（x）的图像关于直线x=2对称，g（2）=4，则f（k）=（）

A. -21 B. -22 C. -23 D. -24

解析：由y=g（x）的图像关于直线x=2对称，得g（2-x）=g（2+x），因为f（x）+g（2-x）=5，所以f（-x）+g（2+x）=5，所以f（-x）=f（x），f（x）为偶函数.

由g（2）=4，f（0）+g（2）=5，得f（0）=1.

由g（x）-f（x-4）=7，得g（2-x）=f（-2-x）+7，代入f（x）+g（2-x）=5，得f（x）+f（-x-2）=-2，f（x）关于点（-1，-1）中心对称，所以f（1）=f（-1）=-1.

由f（x）+f（-x-2）=-2，f（-x）=f（x），得f（x）+f（x+2）=-2，所以f（x+2）+f（x+4）=-2，所以f（x+4）=f（x），f（x）的周期为4.

在f（x）+f（x+2）=-2中，令x=0，得f（0）+f（2）=-2，所以f（2）=-3，

在f（x）+f（x+2）=-2中，令x=1，得f（1）+f（3）=-2，所以f（3）=-1，

又f（4）=f（0）=1，所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=-1+（-3）+（-1）+1=-4.

因为22=4×5+2，故f（k）=5×（-4）+f（1）+f（2）=-20-1-3=-24，选D.

点评：发现并利用函数的奇偶性、对称性、周期性是顺利解题的途径.

我们知道，新课程设置的课程内容有三条主线，一是函数，二是代数与几何，三是统计与概率，还有一条暗线是数学文化与数学建模. 从新课程卷Ⅰ、卷Ⅱ的试题来看，正是这些主线和暗线在主导着试题的命制，其中的抽象函数是新课程主线中函数部分的重要内容之一，是对主干知识、基本概念以及分类讨论与整合思想的深入考查. 因此，很有必要对抽象函数的有关题型做一个较为全面的探讨. 在下面的有关选择题的例题和习题中，如无特殊说明，均指单选题.

一、抽象函数与函数的函数值、定义域、值域、解析式以及复合函数

例4. 已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（0）=2，f（1）=3. 写出f（x）的一个解析式为________.

解析：二次函数f（x）=ax2+b（a≠0），显然满足f（-x）=f（x），所以该函数是偶函数，

由f（0）=2？圯b=2，

由f（1）=3？圯a+2=3？圯a=1，所以f（x）=x2+2. 答案为f（x）=x2+2（答案不唯一）.

点评：二次函数f（x）=ax2+b（a≠0）是常见的偶函數，列方程求出a，b即得所求的解析式.

例5. 已知f（x），g（x）分别为定义在R上的奇函数和偶函数，则下列为奇函数的是（）

A. f（g（x）） B. g（f（x）） C. f（f（x）） D. g（g（x））

解析：由题知f（x），g（x）分别为定义在R上的奇函数和偶函数，

故满足 f（x）=-f（-x），g（x）=g（-x），

对于A，f（g（-x））=f（g（x）），则f（g（x））为偶函数;

对于B，g（f（-x））=g（-f（x））=g（f（x）），则g（f（x））为偶函数;

对于C，f（f（-x））=f（-f（x））=-f（f（x）），则f（f（x））为奇函数;

对于D，g（g（-x））=g（g（x）），则g（g（x））为偶函数.

故选C.

点评：概念、定义是解题的一个起点，也是一种方法，本题利用奇函数和偶函数的定义验证即可.

二、抽象函数与函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值

例6.（多选题）设函数f（x）在R上为增函数，则下列结论不一定正确的是（）

A. y=在R上为减函数

B. y=f（x）在R上为增函数

C. y=-在R上为增函数

D. y=-f（x）在R上为减函数

解析：若f（x）=x，则y==，在R上不是减函数（在x=0处无意义），A错误;

若f（x）=x，则y=f（x）=x，在R上不是增函数，B错误;

若f（x）=x，则y=-=-，在R上不是增函数（在x=0处无意义），C错误;

函数f（x）在R上为增函数，则对于任意的x1，x2∈R，设x1

对于y=-f（x），则有y1-y2=（-f（x1））-（-f（x2））=f（x2）-f（x1）>0，

则y=-f（x）在R上为减函数，D正确. 故选ABC.

点评：若命题正确，则需要证明;若命题错误，只需举一个反例说明.

例7.（多选题）已知定义在R上的函数y=f（x）满足条件f（x+2）=-f（x），且函数y=f（x-1）为奇函数，则（）

A. 函数y=f（x）是周期函数

B. 函数y=f（x）的图像关于点（-1，0）对称

C. 函数y=f（x）为R上的偶函数

D. 函数y=f（x）为R上的单调函数

解析：因为f（x-2）=-f（x），所以f（x+4）=-f（x+2）=f（x），即T=4，故A正确;

因为函数y=f（x-1）为奇函数，所以函数y=f（x-1）图像关于原点成中心对称，而函数f（x）的图像是由函数f（x-1）的图像向左平移1个单位得到，所以B正确;

又函数y=f（x-1）为奇函数，所以f（-x-1）=-f（x-1），根据f（x+2）=-f（x），用x-1代x有f（x+1）=-f（x-1），所以f（x+1）=-f（-x-1），用x-1代x有f（-x）=f（x），即函数f（x）为R上的偶函数，C正确;

因为函数y=f（x-1）为奇函数，所以f（-1）=0，又函数f（x）为R上的偶函数，f（1）=0，所以函数不单调，D不正确. 故选ABC.

点评：解题时，画出函数草图进行研究有利于解决问题.

例8.（多选题）函数f（x）的定义域为R，且f（x+1）与f（x+2）都为奇函数，则（）

A. f（x）为奇函数 B. f（x）为周期函数

C. f（x+3）为奇函数 D. f（x+4）为偶函数

解析：因为g（x）=f（x+1）是奇函数，所以g（-x）+g（x）=0，即f（-x+1）+f（x+1）=0，所以f（x）关于（1，0）对称，同理f（-x+2）+f（x+2）=0，f（x）关于点（2，0）对称.

因此，f（2-x）+f（x）=0，f（4-x）+f（x）=0，所以f（2-x）=f（4-x），所以f（x）=f（2+x），所以f（x）是以2为周期的函数. 所以f（x），f（x+3）=f（x+1），f（x+4）=f（x+2），均为奇函数. ABC正确，所以选ABC.

点评：有时具体化能帮助我们理解：f（x+1）=x3是奇函数，关于原点对称，所以f（x）=（x-1）3关于（1，0）对称.

三、抽象函数与导数、不等式

例9. 已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，则满足f（2x-1）>f（）的实数x的取值范围是（）

A.（，） B.[，） C.（，） D.[，）

解析：因为偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，且满足f（2x-1）>f（），

所以不等式等价为f（2x-1）>f（），即有2x-1<，

所以-<2x-1<，解得

点评：根据偶函数定义，得f（2x-1）=f（2x-1），所以f（2x-1）>f（）等价于f（2x-1）>f（），转化到y轴的非负半轴上的图像进行研究，避免了分类讨论，简化了运算.

例10. 设f（x）是连续函数，F′（x）=f（x），则下列结论正确的是（）

A. 当f（x）是奇函数时，F（x）必是偶函数

B. 当f（x）是偶函数时，F（x）必是奇函数

C. 当f（x）是單调增函数时，F（x）必是单调增函数

D. 当f（x）是周期函数时，F（x）必是周期函数

解析：对B，设f（x）=cosx，知F（x）=sinx+c（c为任意常数），所以f（x）偶函数时，F（x）不是奇函数（除了c=0外），所以B错.

对C，设f（x）=x，F（x）=x2+c（C为任意常数），则f（x）在R上增函数，F（x）在（-∞，0）上单调递减，在[0，+∞）上单调递增，即F（x）不是R上的增函数，所以C错.

对D，设f（x）=cosx+1，F（x）=sinx+x+c（C为任意常数），则f（x）是周期函数，F（x）不是周期函数，所以D错.

故A是正确的.

点评：对于一些常见的奇偶函数、周期函数、单调函数例子，要熟悉. 在举反例的时候，就能做到顺手拈来. 本题因为是单选题，排除了三个错误支，剩下一个必是正确支. 为什么A是正确的，要用到高等数学中的导函数与原函数的知识（介绍一下，无需掌握），不妨证明一下：

由题意，F（x）是f（x）的原函数，所以设F（x）= f（t）dt+c（C为任意常数），令u=-t，则F（-x）= f（t）dt+c=- f（-u）du+c，所以如果f（x）是奇函数，则有f（-u）=-f（u），所以F（-x）= f（u）du+c=F（x），所以A正确.

例11. 已知函数f（x）的定义域为R，且f（-1）=2. 若对任意x∈R，f′（x）>2+4，则f（x）>2x+4的解集为________.

解析：设g（x）=f（x）-2x-4，则g′（x）=f′（x）-2，

因为对任意x∈R，f′（x）>2，所以g′（x）>0，

所以对任意x∈R，g（x）是单调递增函数，

因为f（-1）=2，所以g（-1）=f（-1）+2-4=4-4=0，

由g（x）>g（-1）=0，可得x>-1，

则f（x）>2x+4的解集为（-1，+∞）. 答案：（-1，+∞）.

点评：构造函数，利用函数的单调性是解决类似问题的一般方法.由于本题是填空题，答案唯一，所以也可以采用特殊化方法，即假设f（x）=3x+5，或f（x）=4x+6，满足题设所有条件，再解不等式f（x）>2x+4，即可求得正确答案.

四、抽象函数与图像、零点

例12. 已知函数f（x）与g（x）的部分图像如图1，则图2可能是下列哪个函数的部分图像（）

A. y=f（g（x）） B. y=f（x）g（x） C. y=g（f（x）） D. y=

解析：由图1可知：函数f（x）关于y轴对称，因此该函数是偶函数，即f（-x）=f（x）.

函数g（x）的图像关于y原点对称，因此该函数是奇函数，即g（-x）=-g（x）.

由图2可知：该函数关于原点对称，因此该函数是奇函数.

A：设F（x）=f（g（x）），因为F（-x）=f（g（-x））=f（-g（x））=f（g（x））=F（x），

所以F（x）=f（g（x））是偶函数，不符合题意;

B：设M（x）=f（x）g（x），因为M（-x）=f（-x）g（-x）=-f（x）g（x）=-M（x），

所以M（x）=f（x）g（x）是奇函数，符合题意;

C：设N（x）=g（f（x）），因为N（-x）=g（f（-x））=g（f（x））=N（x），

所以N（x）=g（f（x））是偶函数，不符合题意;

D：由图1可知：g（0）=0，因为函数y=在x=0时没有意义，故不符合题意，

故选B.

点评：观察图像，发现f（x）与g（x）的特点，再对给出的函数进行验证.

例13.（多选题）已知定义在R上的奇函数f（x）的部分图像如图3所示，f ′（x）是f（x）的导函数，则下列结论中正确的是（）

A. f（2）=-1

B. f（1）·f（2）>4

C. f′（1） · f′（2）<0

D. 方程f′（x）=0无解

解析：根据题意，依次分析选项：

f（x）为奇函数，且f（-2）>2，则f（2）=-f（-2）<-2，A错误;

f（x）为奇函数，且f（-1）=2，则f（1）=-2，则有f（1）f（2）>4，B正确;

由所给的函数f（x）的图像，可得f′（-1）<0，f′（-2）>0，

则f′（1） · f′（2）=f′（-1）· f′（-2）<0，C正確;

由C的结论f′（-1）· f′（-2）<0，根据是零点存在定理，必定存在x0∈（-2，1），使得f′（x0）=0，即f′（x）=0一定有解，D错误.

故选BC.

点评：函数的导函数在函数递增区间的函数值为正，函数的导函数在函数递减区间的函数值为负.

五、抽象函数与函数的性质的综合考查

例14.（多选题）在平面直角坐标系xOy中，如图4放置的边长为2的正方形ABCD沿x轴滚动（无滑动滚动），点D恰好经过坐标原点，设顶点B（x，y）的轨迹方程是y=f（x），则对函数y=f（x）的判断正确的是（）

A. 函数y=f（x）是奇函数

B. 对任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x-4）

C. 函数y=f（x）的值域为[0，2]

D. 函数y=f（x）在区间[6，8]上单调递增

解析：由题意，当-4≤x<-2时，顶点B（x，y）的轨迹是以点A（-2，0）为圆心，以2为半径的圆;当-2≤x<2时，顶点B（x，y）的轨迹是以点D（0，0）为圆心，以2为半径的圆;当2≤x<4时，顶点B（x，y）的轨迹是以点C（2，0）为圆心，以2为半径的圆;当4≤x<6，顶点B（x，y）的轨迹是以点A（4，0）为圆心，以2为半径的圆，与-4≤x<-2的形状相同，因此函数y=f（x）在[-4，4]恰好为一个周期的图像. 所以函数y=f（x）的周期是8，其图像如图5所示.

由图像及题意可得，该函数为偶函数，故A错误;因为函数的周期为8，所以f（x+8）=f（x），因此f（x+4）=f（x-4），故B正确;由图像可得，该函数的值域为[0，2]，故C正确;因为该函数是以8为周期的函数，因此函数y=f（x）在区间[6，8]的图像与在区间[-2，0]图像形状相同，因此，单调递增，故D正确，故选BCD.

例15. 已知函数f（x）对于一切实数x、y满足f（0）≠0，f（x+y）=f（x）f（y），且当x<0时，f（x）>1.（1）当x>0时，求f（x）的取值范围;（2）判断f（x）在R上的单调性.

解析：（1）对于一切x、y∈R，f（x+y）=f（x）f（y）且f（0）≠0

令x=y=0，则f（0）=1，现设x>0，则-x<0，∴ f（-x）>1，

又f（0）=f（x-x）=f（x）f（-x）=1 ，∴ f（-x）=>1，∴ 0

（2）设x11，

且===f（x1-x2）>1，又对任意x∈R，f（x）>0，∴ f（x1）> f（x2），∴ f（x）在R上为单调减函数.

点评：由：f（x+y）=f（x）f（y），想：ax+y=ax·ay，原型：y=ax（a>0，a≠1），a0=1≠0. 当a>1时为单调增函数，且x>0时，y>1，x<0时，01，x>0时，00时，0

例16. 已知函数f（x）满足f（x）=f（398-x）=f（2158-x）=f（3214-x），则f（0），f（1），f（2），…，f（999）中最多有（）个不同的值.

A. 165 B. 177 C. 183 D. 199

解析：由已知f（x）=f（398-x）=f（2158-x）=f（3214-x）=f（x+1056）=f（x+1760）=f（x+704）=f（x+352）.

又有f（x）=f（398-x）=f（2158-x）=f（3214-x）=f（x+1056）=f [2158-（1056+x）]=f（1102-x）=f（1102-x-1056）=f（46-x），

于是f（x）有周期352，于是{ f（0），f（1），…，f（999）}能在{ f（0），f（1），…，f（351）}中找到.