凸显关联减法的除法竖式教学

苏爱萍 方如琼

除法源于减法。除法竖式源于减法竖式，根植于除法意义，它的演变是数学知识简洁美和程序化的智慧体现。除法竖式结构复杂，学生初学习，由于缺少对除法竖式结构原理的理解，会出现难以接受除法竖式写法的学习困难。基于此，笔者通过整体构建，把除法竖式与减法关联起来教学，帮助学生理解除法竖式的结构原理，体会除法竖式的价值。

一、从“分”开始，强化减法思路

除法和减法都有“分”的意思。简单地讲，减法是把一个数分成几和几;除法的本质是平均分，即把一个数分成同样多的几部分，也可以用减法来表达。因此，除法可以被看作连续减去相同数的减法。

教学时，笔者从有余数的除法切入，出示题目：13根小棒，每4根分一组，结果怎样？笔者先引导学生理解“每4根分一组”就是要平均分，再让学生在小棒图上圈一圈，并写出除法算式。接着，笔者指着除法算式中的余数提问：剩余的1根可以怎样算出来？根据圈的过程，有的学生从13里依次减去4，即用“13-4-4-4”得出1根;有的学生先算分掉的总数12根，再从13根里减去12根，得到1根。这一环节，让学生初步形成了“从总数里减去分掉的等于余下的”的思维过程。

然后，笔者利用课件动态演示分小棒的过程，引导学生把操作过程与计算步骤有机联系起来，让学生直观认识除法与减法之间的联系。

二、巧借连减竖式，理解结构原理

本环节通过三个活动让学生体验除法竖式的生成过程，感悟除法竖式结构的合理性和简洁性。

活动一：在尝试中创造多样的除法竖式

该活动旨在借助“你能用除法竖式记录刚才分小棒的过程吗”这个问题，了解学生的认知状态，为构建除法竖式积累素材。

二年级学生的认知水平和知识经验有限，他们很难自主创造出除法竖式，他们会迁移加法、减法竖式的表象，写出自己心目中的除法竖式。大多数学生心目中的除法竖式往往与标准的除法竖式差距很大，也有少数学生通过课前自学已经能够列出标准的除法竖式。

在学生尝试用除法竖式记录分小棒的过程后，笔者有选择、有顺序地呈现了学生书写的4种竖式（如下图）。

这4种竖式体现了学生不同的思维水平，为构建标准的除法竖式提供了原始素材。

活动二：在对比中选择合适的竖式形式

活动中，笔者让学生对上面4个竖式进行比较，思考哪个竖式完整、清楚地记录了刚才分小棒的过程和结果。这样做能将学生的观察视角聚焦到完整、清楚地记录分的过程上，即聚焦到除法竖式内在的结构原理上。

学生进行了充分讨论，形成了诸多发现。竖式①能表示出从13根小棒中连续减掉3个4根，最后剩下1根，每一次分小棒后剩下的部分也可以表示出来，且竖式中减去了几个4就表示分了几组。这种“连减竖式”是建立在学生已有认知基础上的，是除法竖式的原始形态。竖式②能表示出从13根小棒中把分掉的12根一同减去，还剩1根，但并不能表示出是如何分掉12根的。竖式③迁移了加法、减法竖式的写法，以及除法横式的结果表示形式，记录下了被除数、除数、商和余数，但并不能表示出余数是如何计算出来的。竖式④是学生模仿书上的标准格式书写的，表示出了要分的小棒数量、每份的数量、分的份数、一共分掉的部分和剩下的部分。

教师提出明确、细致的观察目标，组织学生细细品味自己的作品，让学生在比较中发现：竖式④的每一步不僅能与分的操作过程一一对应，而且简洁明了。这个活动促使学生从基于自身经验的思考走向了理性的数学思考。

活动三：在关联中理解除法竖式结构

“连减竖式”作为除法竖式相对自然、原始的形态，是学生学习除法竖式的生长点。教师有效利用这一素材，可以帮助学生理解除法竖式的结构原理。

课堂上，笔者借助课件动态演示了如下演变过程。

这个演示，从连续减去3个4到直接减去3个4的和，再到记录下每组4根、分了3组，最后用“”把4和3与13隔开，呈现了除法竖式的形成、演变过程，引出了除法竖式的标准格式，也体现出数学思维的进阶。

由于要在竖式中完整、清楚地表示出分的方法、过程和结果，所以除法竖式的结构形式如此特别。“连减竖式”的有效介入，促进了学生对除法竖式结构的理解，让学生感受到除法竖式的简洁美。

三、多方关联，展现程序性魅力

竖式本质上是记录运算过程的一种工具。为了帮助学生更好地理解除法竖式的意义，接纳除法竖式独特的结构，掌握除法竖式的书写顺序，笔者将除法竖式与分的操作过程及除法横式相关联，引导学生从操作程序、横式书写程序中体会除法竖式的程序性。

笔者先引导学生回忆分小棒的操作过程，帮助学生规范除法竖式的写法，将除法竖式的每一步与平均分的过程一一对应起来，深化学生对标准除法竖式结构原理的理解。然后，笔者引导学生说一说竖式中每个数所表示的意思，并在小棒图和横式中找到相应的内容。在关联中，学生发现：横式中没有12，竖式与横式相比，能更清楚地表示出平均分的过程;因为要记录“从总数里减去分掉的等于余下的”这一思维过程，所以除法竖式中包含了乘法和减法计算，即先用除法试求可以分几组，再用乘法算分掉了多少，最后用减法算剩下多少。通过关联和比较，学生感受到除法竖式的程序性和简洁性。

四、方法迁移，建构完整的除法竖式

如果学生对有余数的除法竖式有比较深刻的理解，没有余数的除法竖式的学习就会水到渠成。

笔者出示题目“有16根小棒，每4根分一组，结果怎样？”以此引导学生自主列竖式，并思考以下问题：竖式中的两个16表示的意思是否相同？各表示什么？这道题和刚才的题目有什么相同点和不同点？分完没有剩余的时候，应该怎样表示？0是怎么得出来的？通过练习和交流，学生很好地掌握了有余数和没有余数这两种情况下的除法竖式。随后，笔者让学生概括书写除法竖式的注意事项，总结计算方法，以此培养学生的归纳概括能力。这样教学，除法竖式是学生在理解其意义的基础上自主建构的，其结构是学生共同探究的结果，所以能被学生悦纳。在这一过程中，学生的主观能动性得到了充分发挥。

值得注意的是，仅仅通过这一节课的学习来沟通减法竖式和除法竖式的联系是不够的，教师应该在学生认识除法之初就加强除法意义与减法意义的关联、除法表达与减法表达的关联，从而更好地实现除法竖式的自主建构与深度理解。

（作者单位：咸宁市实验小学）