数学教育及教育数学的几点散思

摘要：广大中小学数学教育工作者，特别是一线教师，可以由《张景中教育数学文选》一书获得很多方面的重要启示，包括：数学教育的主要价值是提供智力上的满足（好玩、有趣）以及思维的训练;小学数学教学应当渗透函数、数形结合、寓理于算等数学思想;落实数学教学工作的创造性应该整体研究学科分支，建构“平易直观的概念，简单明快的逻辑结构，通用有力的解题方法”。

关键词：张景中;数学教育价值;数学思想;教育数学;数学再创造

华东师范大学出版社于2021年出版的《张景中教育数学文选》，是《当代中国数学教育名家文选》丛书中的一部。尽管其主要内容超出了小学数学的范围，甚至部分内容超出了中学数学的范围，广大中小学数学教育工作者，特别是一线教师，仍可由这一著作获得很多方面的重要启示。以下从三个方面谈谈笔者阅读这一著作的感受和体会。

一、 数学教育的主要价值

无论中小学学生，还是中小学数学教师，都应当认真思考一个问题：我们为什么应当学（教）数学？也即：我们应当如何认识数学学习（教育）的价值？因为，明确了数学的重要性，我们才能在学（教）数学时表现出更大的自觉性。应当指明的是，笔者在此有意识地没有使用“数学究竟有什么用”这样一个表达方式。因为，在当前的语境下，这往往会导致一个后果：将人们的思考引向乃至完全局限于数学在日常生活与工作中的应用。

再者，作为数学教师，如果我们所想的仅仅是如何让自己的学生在各类考试，特别是升学考试中取得较好的成绩，那么，相应的做法即使不应被简单地斥责为“误人子弟”，至少也应被看成具有很大的局限性。因为，我们显然不能将应试看成教育工作的主要目标。对此，相信读者可在以下两位教师的阐述中获得更深的感悟与认识。

一是陈立军老师的经历与感悟：刚毕业那会儿，哪里懂教育，只知道“考考考，老师的法宝;分分分，学生的命根”，并将此视为教育教学的准则和方向，起早贪黑地陪读，口若悬河地灌输，苦口婆心地劝诫，整天把学生逼进题海，只为学生考个好分数……可当领导、同事的鲜花掌声涌来，却没有几个学生感恩我的付出。学生的“冷血”让我深刻反省：我就为了赢得这一“佳绩”吗？如果给学生的只是分数，那叫教育吗？

因此，在教育的“速成”与“养成”之间我选择“养成”，与其大量“刷题”，不如陪学生读一本书;在教学的“外铄”与“内化”之间我追求“内化”，少强迫，多引导，让学生在自我教育中成长;在教育的“有用”与“无用”之间我更钟情于“无用”，班级的审美教育、底线教育、阳光教育等活动开展贯穿每学期。我知道，教孩子三年，就要考虑孩子30年的成长与发展。陈立军.陪学生遇见美好的自己[J].人民教育，2020（5）：7879。二是陈大伟老师的思考与认识：“你为什么要当教师？”才当教师的时候，我可能只是想以此谋生。随着时间的推移，现在的我愿意这样回答：“我当教师，是想让一些人有所改变。”

“你准备当什么样的教师？”这是为自己的教育人生确立方向和目标。我的回答是：准备成为当下学生不那么讨厌、若干年后学生还乐于谈论的教师……我能想到“最浪漫的事”，就是在教师生活中有一些超越和创造，一路上收藏点点滴滴的创造，退休以后坐在摇椅上跟自己的子孙们慢慢聊。千万不要在别人问起自己的教师生活时，什么也说不出来。陈大伟.当教师，需要想好几个问题[J].教育研究与评论，2021（5）：125。那么，究竟什么是数学教育的主要价值呢？对此，应当说已经有了很多的论述。比如，1959年，华罗庚先生在《人民日报》发表的《大哉数学之为用》就是讨论这个问题的十分著名的一篇文章;后来，还有由王梓坤先生执笔、以“中国科学院数学物理学部”为名发表的文章《今日数学及其应用》。与此相比较，美国著名数学史家M.克莱因的以下论述则可说涉及了更多的方面，更可说从一个不同的角度极大地开阔了人们的视野：“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，詩歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科技可以改善物质生活，但数学能提供以上一切。”

这里，特别需要提及一个广受数学家和数学爱好者认可的观点：数学主要地应被看成一种心智活动，它带给人们的也就主要是智力上的满足。比如，数学家洛克哈特说道：“我们谈的是一个完全天真及愉悦的人类心智活动——与自己心智的对话。数学不需要乏味的勤奋或技术上的借口，它超越所有的世俗考量。数学的价值在于它好玩、有趣，并带给我们很大的欢乐。”② 保罗·洛克哈特.一个数学家的叹息——如何让孩子好奇、想学习、走进美丽的数学世界[M].高翠霜，译.上海：上海社会科学院出版社，2019：132，35。“这就是数学的外貌和感觉。数学家的艺术就像这样：对于我们想象的创造物提出简单而直接的问题，然后制作出令人满意又美丽的解释。没有其他事物能达到如此纯粹的概念世界;如此令人着迷、充满趣味……”②

当然，如果我们只会引用别人的论述，而没有任何真切的感受，那么，不仅自己会感到缺乏底气，也一定会让人感到空洞乏味。正因为此，作为数学教师，我们就应认真地尝试一下：看看自己对此能否作出解读，或者举出哪怕是最简单的一个实例。

以下是《张景中教育数学文选》中的一些相关论述：

首先是张景中先生对“您能谈谈数学好玩在什么地方吗？”这一问题的回答：“我觉得数学好玩是因为数学非常理性，首先在学习和研究的过程中，数学能够让人感觉到解放……数学能够让很多原来不行的东西都变得行了。刚开始学数学时，有一些清规戒律，随着我们不断地往下学，这种清规戒律就不断地被打破，使人一次又一次地感觉到解放。比如，原来负数是不能开方的，后来经过一定的发展，负数就能够开方了。再如，原来只是有穷个数相加，后来无穷个数也可以相加。在这个逐渐学习的过程中，你就会感觉数学的清规戒律越来越少……由此你可以看到，数学里面无禁区。你只要想做的都可以做到，原来没有规定的你也可以规定，原来他是这样定义的你可以那样定义，这让我感觉到了解放。”④⑤ 张景中.张景中教育数学文选[M].上海：华东师范大学出版社，2021：590，590591，591。

其次是张景中先生对“您觉得哪些是大多数中小学生能够感受、体验到数学好玩的地方？”这一问题的回答：“我想应该是力量感。数学是很有力量的。因为有时候，你只需要学一个小时，解决问题的力量跟以前就大不相同了。比如，在小学里，那种很难的应用题……学生拿回去，自己不会，家长也不会，解起来很困难。到后来，学了代数，列个方程就可以解出来了。你越不断学习，就越会觉得数学给人带来的力量简直是不可想象的……很多问题的解决方法都是世界上许许多多爱动脑筋的人想了很久，终于想出来的。这种方法是前人经过几百年才探索出来的，如果你学会了，那么你就在一节课里前进了几百年……这种原创性的问题，我们在数学学习中、在数学教学时几乎每个星期都会遇到，而且自己在解题时，也会创造出新的东西来。所以，如果老师在教学时也能带给学生一种力量感，经常让学生体会到昨天还不会的问题今天就会了，那么，学生对数学的看法就会不同了。”④

最后是张景中先生对“除了感觉到解放和力量，您觉得数学还能让我们感觉到什么呢？”这一问题的回答：“数学还能让人感觉到震撼……这说明了数学给人带来的好处，表面上看不出什么的事情，它的背后却隐藏着一定的规律。再如，假定全班有50个学生，如果你问有没有两个人的生日是同一天的，回答几乎都是有的。我们可以用概率进行推断，这种情况发生的可能性在97%以上，而且可以马上算出来……”⑤

显然，以上论述也为我们更好地理解“数学好玩”（或“数学带给人们的主要是智力上的满足”）等在现实中经常可以听（看）到的观点提供了直接的启示：“数学的趣味性不在外部，而在它的内部。要让学生能够钻研到里面，体会到数学的趣味性。要做到这些，需要提高老师的水平、教材的水平以及整个社会考试的引导。我们现在的考试，要求学生在一两个小时内完成一二十道题目，实际是让学生在有限的时间内解更多的题，而不要做过多的思考。我想这是很不好的。”张景中.张景中教育数学文选[M].上海：华东师范大学出版社，2021：593594。

当然，教师除了自己对此有清楚的认识，特别是真切的感受，还应善于将此传递给学生，从而激发他们更好地学习数学。以下就是语文教育方面的一个实例（希望在数学教育领域也能看到更多这样的范例）：语文自身的魅力，是学生对语文产生浓厚兴趣的最重要因素……我努力让第一节课展现语文的独特魅力。

……

“语文里藏着什么呢？”我轻点鼠标，屏幕上出现了“语文里有美妙的音乐”几个大字。学生一脸疑惑，而我则开始背诵《声律启蒙》的选段：“云对雨，雪对风，晚照对晴空……”

诵完，我问学生是否好听，他们都说;“好听，好听。”我问他们是否愿意自己读读，他们连呼“愿意”。屏幕上的文字一出现，他们就迫不及待地读了起来，越读越感受到文字的悦耳。尽管学生还不太清楚其中的意思，但丝毫不影响他们的诵读热情。

……

“语文里除了动听悦耳的音乐，还有什么呢？”随着我的发问，“语文里有深深的智慧”出现在屏幕上。“我要开始讲故事了。”一听有故事，学生兴奋得不得了，几乎要欢呼雀跃。

“有一次，美国代表来我们国家访问，代表团里有位官员当着周总理的面说：‘中国人很喜欢低着头走路，而我们美国人却总是抬着头走路。此语一出，震惊四座。因为谁都听得出来，这位官员在嘲笑、讽刺中国人。周总理却不慌不忙，面带微笑地说：‘这并不奇怪。因为我们中国人喜欢走上坡路，而你们美国人喜欢走下坡路。话音刚落，那位官员立即低下了头，不敢出声了。”

学生听后哈哈大笑，我朗声说：“周总理的话就是智慧！学好语文，你也会拥有智慧！”……

“语文里还有浓浓的情感。我将要为大家朗读一篇文章，题目叫《娘，我的疯子娘》，里面就蕴含着浓浓的情意，不信你听！”……

我读了起来……读着，读着，教室里越来越安静，到后来几乎能听到彼此的呼吸声……

我的声音有些哽咽！读完整篇文章，大家都沉默了。有些学生眼中闪动着晶莹的泪花。我说：“树儿的娘对他的爱让人十分感动！我们每个人的妈妈都非常伟大。她们的爱让我们感到温暖、快乐，谁愿意说说你的妈妈对你的关爱？只要说一件事，并讲讲母爱让你感觉像什么。”

……

快要下课了，我总结道：“语文里有音乐，有智慧，有情感，想必这节课我们已经有所体会了，但是语文里其实还有很多有意思、有意味的宝藏，这就有待你们以后自己去尋找、挖掘了。”彭峰.我的第一节语文课[J].教育研究与评论，2022（1）：125127。最后，作为对数学教育主要价值的具体解答，笔者想特别引用《单墫数学与教育文选》一书（也属于《当代中国数学教育名家文选》丛书）中的一个观点：“数学对思维的训练还是有用的，这才是数学的最广泛的‘实用性，这才是我们要学数学的主要原因。”单墫.单墫数学与教育文选[M].上海：华东师范大学出版社，2021：616。因为，与前面提出的“作为一种心智活动，数学具有‘无用之用、无为之为”这样的观点相比较，这显然是更加合适的一个提法。

二、 数学思想与小学数学教学

在此，笔者想特别推荐《张景中教育数学文选》中的两篇文章：《感受小学数学思想的力量——写给小学数学教师们》与《小学数学教学研究前瞻》。因为，这不仅对我们改进教学有直接的指导意义，也可帮助我们更好地理解什么是真正的“居高临下”，从而不至于被某些看上去十分高深、实质上却空洞无物，甚至还有一定误导作用的“宏大言论”（如“分数的本质在于无量纲性”等）所迷惑。

下面，联系数学教育改革进行分析说明。显然，数学教育改革涉及很多的方面。例如，我国新一轮的数学课程改革有一个十分明显的特点，即对教学方法改革的突出强调。与此相对照，如果我们所关注的不只是课堂的教学，那么也就应当十分关注教学内容的选择。再者，如果说关于教学内容的选择仍可被归属于教学中的“显性方面”，那么，关于基本教育目标的分析显然就上升到了一个更高的层次，尽管它从形式上看似乎与日常教学活动有较大的距离。另外，这恐怕也就是数学课程标准为什么要专门谈及所谓的“核心概念”（现在演变为“核心素养”，与此密切相关的还有“重要思想”这样一个概念）的主要原因：核心概念（重要思想）在一定程度上可起到桥梁的作用，尽管其准确界定并不容易。具体地说，作为核心概念，显然应当少而精。我们不仅应当通过全部学习内容的综合分析很好地提炼出相应的核心概念，从而起到“分清主次，突出重点，以主带次”的作用，而且应当由具体的“知识和技能”上升到“思维和方法”，从而从更高的层面对实际教学起到统领的作用——正因为此，笔者以为，将核心概念分别归属于所谓的“三会”就不很恰当，特别是，我们不应仅仅关注这种“向上的联系”，也应注意分析其与具体教学内容的关系，即“向下的联系”，这样，我们才能进一步谈及所谓的“大道理”，包括真正做好“高观点指导下的数学教学”。

由此，我们即可很好地理解张景中先生的以下论述：“小学生的数学很初等，很简单。尽管简单，里面却蕴含了一些深刻的数学思想。”④  张景中.张景中教育数学文选[M].上海：华东师范大学出版社，2021：558，565。“函数的思想、数形结合的思想、寓理于算的思想……这些思想是可以早期渗透的。早期渗透是引而不发，是通过具体问题来体现这些思想……学下去，过三年五年，学生就体会到，是数学思想的力量。”④

由于对（小学数学教学中）数形结合的思想已有众多的论述，尽管我们也可由张景中先生的相关论述获得关于渗透数形结合思想的重要启示，如让学生尽早使用几何语言等，以下分析还是集中于张景中先生关于渗透函数的思想和寓理于算的思想的论述。

首先是关于渗透函数的思想的论述：最重要的，首推函数的思想。

比如说加法，2和3加起来等于5，这个答案“5”是唯一确定的，写成数学式子就是2+3=5。如果把左端的3变成4，右端的5就变成6;把左端的2变成7，右端的5就变成10。右端的数被左端的数唯一确定。在数学里，数量之间的确定性关系叫作函数关系。加法实际上是一个函数，由两个数确定一个数，是一个二元函数。如果把式子里的第一个数‘2固定了，右端的和就被另一个数确定，就成了一元函数。

……

当然，不用给小学生讲函数概念，但老师有了函数思想，在教学过程中注意渗透变量和函数的思想，潜移默化，对学生数学素质的发展就有好处。

比如学乘法，九九表总是要背的。“三七二十一”的下一句是“四七二十八”，如果背了上句忘了下句，可以想想21+7=28，就想起来了。这样用理解帮助记忆，用加法帮助乘法，实质上包含了变量和函数的思想：3变成4，对应的21就变成28。这里不是把3和4看成孤立的兩个数，而是看成一个变量先后取到的两个值。想法虽然简单，小学生往往想不到，要靠老师指点。挖掘九九表里的规律，把枯燥的死记硬背变成有趣的思考，不仅是教给学生学习方法，也是在渗透变量和函数的数学思想。张景中. 张景中教育数学文选[M].上海：华东师范大学出版社，2021：558559。对此，笔者想特别提及当前国际数学教育改革的一个普遍趋势：由主要强调小学阶段应当尽早引入某些专门的代数课程转向大力提倡“早期代数”，即认为小学算术教学应当很好地渗透代数思维。

当然，这方面工作的一个必要前提是对代数思维的正确理解，特别是，我们不应仅仅将其理解成“字母符号的引入”，包括将此看成直接对象纯形式的操作，也应清楚地认识到这样一点：符号的引入为我们很好地实现“一般化”提供了重要的工具。此外，“代数思维的本质并不是对代数符号的使用，而是对代数结构与关系的理解。对这种结构与关系的培养，应该从小学一年级数与计算的教学开始”章勤琼，麦克斯·斯蒂芬斯.小学阶段“早期代数思维”的内涵及教学——墨尔本大学教授麦克斯·斯蒂芬斯访谈录[J].小学教学（数学版），2016（11）：13。。因此，就代数思维在小学数学教学中的渗透而言，我们还应十分重视由“操作性观念”向“关系（结构）性观念”的转变，即应将着眼点由如何获得相应的结果转向对数量关系，特别是等量关系的分析。

颇有趣味的是，相关人士在对这一观点进行论述时，所举出的正是加减法的例子：在小学低年级的教学中，需要特别强调对等式的理解……在小学一年级时，经常会让学生口算，比如3+4。这里值得注意的是，我们要强调3+4“等于”7，而不要说“得到”7。因为这里的等号有两个层面的意义：一是计算结果，就是我们经常说的“得到”;二是表示“相等关系”。我们在学生刚接触等号时，就要帮助他们建立起对等号的这种相等关系的理解。因此，有时候，让一年级的学生接触7=3+4这样的算式是有必要的，因为在这样的算式中，你就没法将等号说成“得到”。当然，这里也要尝试让学生理解7同样也等于4+3。3+4=4+3，第一个加数增加的时候，第二个加数减少，这两个加法算式还是保持相等的。在这之后，可以让学生尝试看两边都不止一个数的等式，如17+29=16+30……此外，还可以给学生利用相等关系判断正误的式子。比如，199+59=200+58，148+68=148+70-2，149+68=150+70-3。

……

为了帮助学生更深入地理解这种相等关系，下面的例子可能值得考虑。学校里来了10个新学生，但是我们现在不知道男生和女生各有多少人，你能说出有多少个男生、多少个女生吗？可以先让学生列出所有的可能性，如9个男生、1个女生，6个男生、4个女生……然后进一步引导学生发现，在所有这些组合中，如果男生减少1个，女生必然要增加1个，以保证总人数是10个。这其实就是保持加法中的相等关系所需要做的“补偿”，也就是中国课程里说的和不变性质。在减法中也有相等关系，不过与加法不同。比如，在让学生思考类似“今年小明8岁，哥哥比小明大9岁，15年后哥哥比小明大几岁”这样的问题时，除了要求学生理清其中的数量关系得到正确的答案，更重要的是帮助学生形成这样的意识：减法算式的结构与加法算式不同，当被减数与减数同时增加（或减少）相同的数时，差是不变的。章勤琼，麦克斯·斯蒂芬斯.小学阶段“早期代数思维”的内涵及教学——墨尔本大学教授麦克斯·斯蒂芬斯访谈录[J].小学教学（数学版），2016（11）：11。显然，张景中先生的论述与以上论述相比，可以说达到了更高的层次，即从一个更高的层面为我们做好小学算术教学指明了一个新的努力方向。

其次，关于渗透寓理于算的思想，相对于一般性理解而言，张景中先生又强调了“理”和“算”之间的联系：小学里主要学计算，不讲推理。但是，计算和推理是相通的。

……

推理是抽象的计算，计算是具体的推理……我们可以举些例子，让学生慢慢体会到所谓推理，本来是计算;到了熟能生巧的程度，计算过程可以省略了，还可以得到同样的结果，就成了推理。张景中.张景中教育数学文选[M].上海：华东师范大学出版社，2021：563。张景中先生还给出了一些实例：比如，一个三角形ABC（如下页图1），如果D是底边AB的中点的话，三角形ACD和三角形CDB的面积就相等。这可以计算出来：假设AD=DB=3，三角形的高是4，那么它们的面积都是6。最后可以得出结论：如果一个三角形的一条中线将它分成两个三角形，那么它们的面积相等。先是计算得出相等，后来不计算也知道它们相等，这就由计算转向推理了。

再比如图2，上面一个四边形ABOC，下面一个三角形BOC，设AO=2OD……也就知道了三角形AOB的面积是三角形BOD面积的2倍。当然，如果给出具体的数据，也是能够计算出来的。这样算过之后，就会进一步推出一般的规律：四边形ABOC和三角形BOC的面积比等于线段AO和OD的长度比，计算就转化成推理了。② 张景中.张景中教育数学文选[M].上海：华东师范大学出版社，2021：567568，569。

应当强调的是，从张景中先生的相关论述中，我们还可获得关于如何提升学生解决问题能力的重要启示：我们说数学是思维的体操，思维的体操应向什么方向引导？怎样教学，才能使学生将来上了大学后回想起他小学里学习的东西时，觉得对他大学的学习还有帮助？能不能引导学生逐步从常量到变量？……小学里讲了很多应用题，这些应用题有什么共同点？很多教材都没有指出。其实是有共同点的：大量的题目，都涉及一次函数关系。

举一个鸡兔同笼的例子：鸡和兔共有12个头、34只脚，有多少只鸡？学生只会想到这些字面的意思，但是数学家、老师和教材编写人员可以想到这样一个表：鸡（只）1234567891011兔（只）1110987654321总脚数4644424038363432302826这个表说明，答案和题目中的某个数，有函数关系。如果这样问小学生：“1只鸡对不对呀？”“不对。1只鸡和11只兔子共有46只脚，不是34只脚呀！”但是，数学家不这样，数学家就会考虑多少只鸡和多少条腿之间的关系，随着鸡的增加腿的数目在减少，这是函数关系。假设一个答案代进去不对，必然可以由某一个数检验出来，不对的答案和题目中某个数之间有个关系，知道了这个关系，就知道答案往上調整还是往下调整，很快就会得到正确答案。这是个笨办法，学生不理解，以为这个办法不好。但这个办法有个特点：几乎所有的应用题都能用它来求解。因为小学应用题基本上都是一次函数。这个方法从解决具体问题的角度来看是个笨办法，但从数学观点来看，是个高等观点。学生掌握了这个方法，有了这个观点，就可以解决各种各样的应用题了。即使是很简单的题目，也可以把它由静态变成动态。②在张景中先生看来，由以上实例，我们也可很好地理解“动静结合”这个重要的数学思想（解题策略）。当然，对此我们还可围绕“变与不变”“过程与结果”“特殊与一般”“整体与局部”等辩证关系作出自己的分析、理解，包括陈省身先生提出的更高层次的方法论（也是价值观）原则：“数学可以分为好的数学与不好的数学，好的数学指的是能发展、能越来越深入、能被广泛应用、互相联系的数学;不好的数学则是一些比较孤立的内容。”② 张景中.张景中教育数学文选[M].上海：华东师范大学出版社，2021：565，前言1。——有兴趣的读者还可参照《小学数学教师》2022年第2期发表的主题为“以数学活动经验发展‘数学论证”的一组文章，对我们究竟应当通过何种渠道或路径帮助学生学会论证，包括我们是否又应特别强调“活动经验”在这一方面的重要作用，作出自己的思考，从而认识到坚持独立思考的重要性，不因为盲目追随潮流而不自觉地陷入某种认识的误区。

由于函数的思想、数形结合的思想、寓理于算的思想，都属于“好的数学”，我们就应十分重视这些思想在小学数学教学中的渗透。当然，依据这样的认识，我们又应进一步思考：我们是否应该将“函数的思想”与“数感”“符号意识”一起看成数与代数教学最重要的指导思想，乃至将它列入“核心概念”？我们又是否应当将所谓的“运算能力”与“推理能力”合并为“计算与推理能力”？

三、 教育数学与数学教学的创造性

阅读《张景中教育数学文选》，显然绕不开对其中最重要的概念——“教育数学”的理解。因为，这个概念的提出，是张景中先生在数学教育方面最重要的贡献;而张景中先生围绕这个概念展开的大量的具体的研究，是本书的主要内容。

张景中先生认为：“所谓教育数学，就是为教育的数学。改造数学使之更适宜于教学和学习，是教育数学为自己提出的任务。为把数学变容易，而提出新定义新概念，建立新方法新体系，发掘新问题新技巧，寻求新思路新趣味。凡此种种，无不是为教育而做数学。”②

通过对照比较，我们可以对此有更好的理解：

其一，正如人们普遍了解的，弗赖登塔尔对数学教学的具体建议是：让学生通过“重复”历史上的发现与创造来学习数学。这也就是所谓的“再创造原则”。对此，弗赖登塔尔做过进一步的说明：“创造，照这里的理解，是学习过程的若干步骤，这些步骤的重要性在于‘再创造的‘再。”④ 弗赖登塔尔.数学教育再探——在中国的讲学[M].刘意竹，杨刚，等译.上海：上海教育出版社，1999：63，67。“孩子应该重复人类的学习过程，但并非它的实际发生过程，而是假定人们在过去就知道更多的我们现在所知道的东西，那情况会怎么发生。”④

显然，张景中先生所强调的由“数学教育”向“教育数学”的转变，事实上也是一种“再创造”，只是其主体已不是学生，而是关注教育的数学家。因为，这一工作对学生而言显然有较大的难度。这恐怕也就是弗赖登塔尔后来为什么特别强调“教师指导下的再创造”的主要原因。

其二，就应当如何认识数学教学工作的创造性而言，笔者曾经提过一个建议：通过自己的分析，使得相应的思维活动对学生而言真正成为“可以理解的、可以学到手和加以推广应用的”。郑毓信.数学方法论[M].南宁：广西教育出版社，1991：序言。也正因此，相对于一般所谓的“数学史在数学教学中的渗透”而言，我们应更加重视“数学史的方法论重建（或理性重建）”。郑毓信.文化、历史与数学教学[J].江苏教育，2021（43）：2327。

进而，如果说我们在此主要是就各个具体的教学内容进行分析的，那么，张景中先生的高明之处就在于由各个具体的数学内容扩展到了整个学科分支，如“几何新方法和新体系”“微积分推理体系的新探索”等，乃至如何将相关的数学机械化思想或理论应用于几何定理的机器证明。

当然，在此仍有一个理解的过程。下面就以平面几何领域的“面积法”（该方法还被发展为“消点法”，应用于几何定理“可读的”机器证明）为例，给出笔者的分析，希望能有助于读者更好地理解张景中先生相关工作的合理性：

如众所知，全等三角形在平面几何研究中具有特别重要的地位，其实质就在于：只需依据三个条件（至少一边），就可推出两个三角形全等，从而求得其他的边或角。尽管这一方法十分有效，但其所要求的仍是一个很强的条件，也就未必适用于所有的场合。正因为此，我们就应认真地思考一个问题：能否通过适当地减弱条件，找出更有效的方法？从三角形全等是指两个三角形同时满足“形状相似”和“面积相等”这一角度来分析，保留“形状相似”，放弃“面积相等”，可以自然引入“相似三角形”的概念;而保留“面积相等”，放弃“形状相似”，则可自然引入“等积形”的概念。

应当强调的是，尽管上述思想的产生可以说十分合理，但真正的创造性工作还应当努力实现整体性理论的建构，特别是“平易直观的概念，简单明快的逻辑结构，有力而通用的解题方法”的建构。这也就如张景中先生所指出的：“我国古代数学家曾用面积关系给出勾股定理的多种证明方法。但长期以来，它仅仅被认为是一种特殊的解题技巧。我们在1974年到1994年这20年间，逐步把面积技巧发展为一般性方法并建立了以面积关系为逻辑主线的几何新体系。”② 张景中.张景中教育数学文选[M].上海：华东师范大学出版社，2021：17，5。

张景中先生从一般的角度总结了从事相关工作的三条基本原则（他称之为“教育数学三原理”）：第一，在学生头脑里找概念;第二，从概念里产生方法;第三，方法要形成模式。张景中先生还对其作了具体的说明：学生头脑里已有很多知识印象，它们要和新来的概念起反应发生变化，使新概念格格不入甚至被歪曲。把学生头脑里的东西研究一番，利用其中已有的东西加以改造形成有用的概念，是一个重要手段。这样，学生学起来亲切容易。

光有概念不够，还必须有方法。数学的中心是解题，没有方法怎么解题？从概念里产生方法，就是说有了概念之后，概念要能迅速转化为方法。不能推来推去走过长长的逻辑道路，学生还看不见有趣的题目，摸不到犀利的方法。

方法不能过多，不能零乱，要形成统一的模式。像吃饭一样，光吃零食不利于肠胃吸收，不利于健康。形成模式，即形成较一般的方法，学生才会心里踏实、信心倍增。

总之，教育数学三原理很简单，无非是说概念要平易、直观、亲切，逻辑推理展开要迅速、简明，方法要通用有力。②由此，张景中先生基于面积概念，提出了两个基本的定理。（1） 共边比例定理：若直线AB与PQ相交于点M，则△PAB△QAB=PMQM（类似于用表示线段的符号表示线段长，这里用表示三角形的符号表示三角形的面积，后同）。（2） 共角比例定理：若△ABC与△A′B′C′中有∠A=∠A′或∠A+∠A′=180°，则△ABC△A′B′C′=AB·ACA′B′·A′C′。

对此，张景中先生明确指出：“这两个定理得来不费功夫。由于平凡，两千多年间无人重视。其实，它们用处很大。有‘鸡刀杀牛之效……教学实践表明，可节省课时，提高学生能力，有多快好省的效果。”张景中.张景中教育数学文选[M].上海：华东师范大学出版社，2021：1920。

运用这两个定理，很容易证明平面几何中的众多结论——可以免去作辅助线的困难和麻烦。下面试举两例。

一是三角形内角平分线性质的证明。三角形内角平分线的性质是指：三角形中任何一个角的平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例。关于这一性质的证明，教材中普遍采用的方法如图3所示，应当说并不困难。但是，这一证明的思路是如何得出的？我们又如何能使这一证明对学生而言是十分自然的？不可否认的是，CE这一辅助线的添加很难想到，就像G.波利亚所说的“从帽子里掏出来的兔子”一样。

与此相对照，如果使用上面的两个定理，这一性质的证明就会变得十分容易：由于DA是角平分線，依据共角比例定理，显然有△ADB△ADC=AD·ABAD·AC=ABAC;依据共边比例定理，又可得△ABD△ADC=BDDC;将两式直接联系起来，即可得到ABAC=BDDC。

二是“三角形中线的交点将中线分割成的两条线段的比为2∶1”的明证。如图4所示，设△ABC的两条中线AM、BN交于点G，依据共边比例定理，可得BGGN=△AMB△AMN;因为N是边AC的中点，显然有△AMN=△CMN=12△AMC;同理可得△AMB=△AMC;所以△AMN=12△AMB，也即△AMB=2△AMN，所以BGGN=△AMB△AMN=2。

因此，灵活运用这两个定理（寻找共边模型和共角模型）的面积法可以被看成解决一大类平面几何问题的一种模式化（通用）方法。进而，“教育数学三原理”可以被看成如何由“就题论法”上升到“就题论道”的典型实例。

由此也可看出，张景中先生的教育数学重构，主要指向的是破解数学解题的困难。究其原因，除了学生通常对所谓的“知识理解的困难”缺少直接的感受之外，在张景中先生等很多数学家看来，“问题是数学的心脏”，数学知识（广义的，包括陈述性的“知识”和程序性的“方法”）主要是解决问题的工具（否则，为什么要有或学这些知识？），因此，数学学习的困难主要表现为数学解题的困难。

在此基础上，张景中先生进一步分析了数学解题教学的“小巧”（题海战术，搜集大量问题，分成类型，传授巧法妙招，以备套用）与“大巧”（强调基本知识和技能，关注一般的解题思考原则）的不足：“小巧”一题一法，固不应提倡;“大巧”法无定法，也确实太难（即使是数学家，在自己的专长领域之外，也未必敢说掌握了“大巧”可参见《张景中教育数学文选》第23页所举的华罗庚先生一时间也解不出一个不很难却陌生的初等数学问题的例子。这个例子能给我们一个重要的启示：数学教学不应脱离对具体问题与知识的深入思考与深刻认识，而追求某些“大而无当”甚至“虚无缥缈”的核心概念，毕竟我们总不能说华罗庚先生缺少核心素养吧。当然，这既说明核心素养的培养离不开对具体内容的深刻认识，离不开对思想的领悟和对经验的积累，也说明应该把核心素养当成一种终极的永远无法达到的状态。）。从而提出“中巧”说：“所谓中巧，就是能有效解决一类问题的算法或模式……我们用面积法和消点法创造了几何解题的一类中巧。”“在学习中巧的过程中体验数学的思想方法，锻炼逻辑推理的能力，或能部分地掌握大巧。至于小巧，学一点也好，但不足为法。”“教育数学要研究有效而易学的解题方法，要提供中巧。”张景中.张景中教育数学文选[M].上海：华东师范大学出版社，2021：2324。

这些论述对我们在数学教学，尤其是解题教学中提升创造性有更加直接的启示：洞察本质，打开思路。同样地，这里的“中巧”和陈省身先生所说的“好的数学”也是相通的。而且，除了“面积法”（“消点法”），中小学数学中已有的基于十进位值制记数法进行数的运算（对此，教师可在适当的时机引入其他记数法，让学生对比感受十进位值制记数法的优越性）、利用方程解决四则运算应用题、利用导数研究函数的增减凸凹、利用数学归纳法处理与自然数有关的命题、利用解析几何方法（乃至向量方法可参见《张景中教育数学文选》中的两篇文章：《论向量法解几何问题的基本思路》与《几何代数基础新视角下的初步探讨》。）解决平面几何难题等，其实都是“中巧”，都是“好的数学”。

进一步分析，笔者体会到：无论“相似三角形”，还是“面积方法”，其应用都离不开边的比例关系，因此，我们就应将“比（例）”的概念看成中小学数学教学中最重要的概念之一——不难想到，这与张景中先生关于“算术应用题大多与一次函数密切相关”的论述也是完全一致的。再者，如果说概念分析可被看成从一个角度清楚地表明了“联系的观点”的重要性，启示我们应当通过整体分析切实做好“分清主次，突出重点，以主带次”，那么“面积法”，特别是上述“基本方法”则清楚地表明了“变化的思想”的重要性，因为，它们主要都是通过将边与边之间的关系转化为面积之间的关系来解决问题的。又由于“联系的观点”和“变化的思想”都可被看成重要的思维品质，总体而言，上述案例就不仅可被看成“在学习中巧的过程中体验数学的思想方法”的很好实例，而且清楚地表明这样一点：相对于各种具体方法的学习，我们应当更加重视学生思维品质的提升，包括将此看成数学教育的基本目标。显然，从这一角度，我们也可更好理解“居高临下”的重要性。（郑毓信，南京大学哲学系，教授，博士生导师。享受国务院特殊津贴专家，江苏省文史研究馆馆员。从事学术研究与各类教学工作50多年，包括中学、大学、研究生教育与各类教师培训工作，多次赴英、美等国以及我国港台地区做长期学术访问或合作研究，赴意大利、荷兰、德国等国多所著名大学做专题学术讲演。出版专著30余部，在国内外学术刊物上发表论文近500篇，学术成果获省部级奖7次。在数学哲学、数学教育、科学哲学与科学教育领域有较大影响。）