立足情境 重视过程 深化变式

华利新

［摘  要］ 文章以“锐角三角函数（第1课时）”为例，提出概念教学的有效方法与路径，以使学生体验概念形成的过程，深化对概念的理解.

［关键词］ 锐角三角函数；情境；初中数学

在数学教学中，概念教学是重要的一环，如何有效地进行概念教学呢？以下，笔者将结合“锐角三角函数（第1课时）”，谈一谈对概念教学的一些思考.

教学设计与意图分析

1. 创设情境，导入新课

问题1：请同学们阅读有关比萨斜塔的材料，如果把塔身中心线与铅垂线的夹角作为比萨斜塔的倾斜程度，如何根据材料中的数据求出这个角度呢？

问题2：梳理上述问题，你可以抽象出什么几何图形？上述现实问题可以转化成什么数学问题？

问题3：对于直角三角形，我们已经研究了三边关系即勾股定理，研究了两锐角互余以及斜边中线的性质，研究了含30°角的直角三角形的性质，我们还可以研究直角三角形的什么性质呢？

设计意图 通过阅读材料，引导学生了解本章学习的主体知识，唤起学生学习的兴趣，为培养学生应用数学知识解决实际问题做好铺垫.

2. 设置探究情境，引入概念

（1）结合情境，首次感知.

问题情境：如图1所示，在山坡上植树，已知山坡的倾斜角α是30°，小明种植的两棵树之间的坡面距离AB是6米，要求相邻两棵树之间的铅垂距离BC在2.7～3.2米范围内，问小明种植的这两棵树是否符合这个要求？

问题4：试着用数学语言表达这个现实问题，如何解答这个现实问题呢？如果相邻两棵树之间的坡面距离是7米，那么小明种植的这两棵树是否符合要求？

设计意图 在真实的生活情境中，让学生体会数学知识源于生活，引导学生经历现实问题转化为数学问题的过程.

（2）去除现实意义，提炼概念.

问题5：如果一个直角三角形有一个锐角是30°，那么30°锐角所对的直角边与这个直角三角形的斜边有何数量关系？试用一个算式予以表达.

设计意图 对于数学化后的问题，去掉了具体情境，让学生形成共识：任何一个直角三角形，只要其有一个角是30°，那么这个角所对的直角边就是斜边的一半.

（3）同类比较，明晰概念.

问题6：任意画一个等腰直角三角形ABC，如果∠C为直角，那么∠A，∠B都是45°，试计算∠A所对的直角边与斜边的比值；任意画一个直角三角形ABC，∠C为直角，∠A=60°，试计算∠A所對的直角边与斜边的比值.

师：由上述两个问题的讨论我们可以看出，在直角三角形ABC中，当锐角A为30°时，它所对的直角边与斜边的比值为；当锐角A为45°时，它所对的直角边与斜边的比值为；当锐角A为60°时，它所对的直角边与斜边的比值为.由此你发现了什么结论？

设计意图 先探究直角三角形ABC的特殊角，学生可以从中发现当锐角A是某一特殊角时，它的对边与斜边的比值是一个特殊的固定不变的值；同时，初步感受锐角三角函数就是研究直角三角形中的两边与角度之间的对应关系.

（4）推理论证，得到概念.

问题7：如图2所示，两个大小不等但形状相同的直角三角形ABC和A′B′C′，且∠C，∠C′都是直角，∠A=∠A′，请探究与有什么关系，你能解释一下吗？

生：因为∠C=∠C′，∠A=∠A′，所以△ABC∽△A′B′C′；根据相似三角形的对应边成比例，得=.

师：从这里可以看出，当直角三角形中的一个锐角固定时，那么它的对边与斜边的比值也就固定了. 在直角三角形ABC中，∠C为直角，我们把锐角A的对边与斜边的比值叫做∠A的正弦，记作sinA；也就是说，sinA=. 在正弦概念中最重要的四个要素是什么？

剖析正弦概念：①概念的名称是正弦；②概念的定义：在直角三角形ABC中，∠C为直角，我们把锐角A的对边与斜边的比值叫做∠A的正弦，记作sinA， sinA=；③本质属性：正弦是∠A的度数与∠A的对边、斜边之间的一种对应关系，在直角三角形ABC中，直角边小于斜边，因此sinA的取值范围是0

设计意图 从四个方面剖析正弦概念，让学生准确掌握正弦.

3. 辨析概念，深化理解

例1 如图3所示，求图中各直角三角形锐角的正弦值.

分析 如图3①所示，因为AC=1，BC=3，由勾股定理得AB==. 在直角三角形ABC中，根据正弦概念可得sinA===，sinB===. 如图3②所示，因为DF=4，EF=3，由勾股定理得DE=. 在直角三角形DEF中，由正弦概念得sinF==，sinD==.

设计意图 通过例题训练，学生可以看到，求一个锐角的正弦值需要确定的要素，进而把正弦概念具体化，深化学生对正弦概念的理解.

例2 判断下列说法是否正确：①在直角三角形DEF中，把直角三角形DEF的各边都扩大10倍后，锐角E的正弦值也扩大了10倍. ②如图4所示，△ABC为格点三角形，那么sinB=.

分析 ①此说法错误，因为当直角三角形DEF的各边都扩大10倍后，扩大前后的两个直角三角形相似，对应边成比例，所以锐角E的正弦值没有变化；②此说法错误，因为求一个锐角的正弦值必须放在直角三角形中，而不是任意的三角形中，所以sinB正确的结果为.

设计意图 通过第一个反例，旨在说明一个锐角的正弦值不是边长，而是边长与边长的比值；通过第二个反例，旨在说明求一个锐角的正弦值必须放在直角三角形中.

4. 变式训练，加强应用

例3 在直角三角形ABC中，∠C为直角，a，b，c分别是各角的对边，当c=12，sinA=时，求a，b的长.

分析 在直角三角形ABC中，sinA==，设a=x，则c=3x；因为c=12，所以3x=12，解得x=4，所以a=4. 由勾股定理得b==8.

设计意图 让学生利用正弦概念得到边与边的比值，通过方程求得直角边a的长，然后利用勾股定理求得直角边b的长. 这种变式训练，实现了从知识到能力的转化，为解直角三角形积累了经验.

5. 自我反思，总结评价

问题8：（1）什么叫做锐角的正弦？（2）我们是如何构建研究正弦函数的思路的？

设计意图 梳理本课知识，进一步归纳探究数学活动的思路.

教学设计的反思

1. 重视概念的基础性作用

数学概念是组成数学大厦的基石，是进行严谨推理与逻辑论证的基础. 因此，教师应重视概念教学的基础性作用. 在本节课教学中，教师首先通过四个环节让学生掌握概念，即感受—提炼—类比—证明，这也是探究概念的一般规律，凸显了本节课的重点；然后通过概念解读、正反例辨析、变式训练等活动，进一步深化学生对概念的理解.

2. 体验概念形成的过程

数学概念是对生活的抽象化与符号化，方便了人们研究客观世界的共性. 从发展的角度来看，概念教学不仅要关注其结果，更要关注其形成过程. 在本节课教学中，教师设计了三个步骤促进学生形成概念：一是从小明植树的具体情境中提出概念；二是从30°，45°，60°中识别共性；三是去掉具体情境，提炼正弦符号sinA.使学生在数学活动中体验到数学概念形成的过程.

3. 认识概念的内涵与外延

如何准确把握正弦概念是本节课的关键，也是学生能否正确使用正弦的前提. 在本节课教学中，教师从四个方面引导学生去把握正弦概念：一是正弦的名称；二是正弦的定义；三是正弦的属性；四是针对正弦举例. 对于符号sinA，学生比较陌生，为了防止学生在理解与使用上出现偏差，教师通过求一个直角三角形中两个锐角的正弦值，深化了学生对正弦的理解；又通过两个反例，強调了正弦中的两个关键点，进而使学生全面准确地认识了锐角的正弦概念.

4. 提炼概念的表现形式

学习是为了进一步应用，特别是锐角三角函数，一定要转化为对应的算式. 在变式训练中，已知直角三角形的斜边与一锐角的正弦，如何求其他两条直角边呢？必须把锐角的正弦转化为直角边与斜边的比值，由此先求出一条直角边，再用勾股定理求出另一条直角边. 需要注意的是，已知一锐角的正弦，要转化为直角三角形中直角边与斜边的比值才能应用.