温故知新,提升复习课的效率
2022-05-30范雷冯姣
范雷 冯姣
[摘 要] 数学复习课既要激发学生的学习兴趣,巩固已学知识,又要注意前后联系,温故知新,构建知识体系. 在数学复习课中,教师要发挥创意,用新颖的题型引导学生进行探究,不断提升学生的思维水平.
[关键词] 数学复习;三角函数;温故知新
数学复习课既要做到回头望,对已经学习的知识进行巩固复习,又要在复习过程中产生新的认识,构建新的知识体系,产生新的理解. 在数学复习课中,要防止学生对学过的知识感到厌倦,在课堂上没有积极性,因此教师要进行精巧的设计,用新颖的题型和情境吸引学生的注意力. 在复习过程中还要注意通过归纳和总结,帮助学生构建知识体系,理解解题的思路和方法,提升解题能力. 下面笔者以复习锐角三角函数为例,谈一谈复习课的教学策略,如何提高复习效率.
有效提问,有效指导
复习课教学都是知识再现,因此教师设问显得尤为重要,“好的问题”能激发学生的学习兴趣,能带给学生深刻的感悟,能促使学生不断成长. 故教师设问不能随意,必须有的放矢,有重点、有目标,能最大限度地激发学生的好奇心和求知欲,使课堂教学的开展更加流畅自然.
案例1 如图1所示,在Rt△ABC中,∠ACB是直角,AB⊥CD,已知BD=2,CD=2,求AC的长度.
师:要解决这个问题,可以通过解哪些直角三角形完成?
生1:在Rt△BCD中,因為CD⊥BD,BD=2,CD=2,故tanB===,所以∠B的度数为60°,所以∠A的度数为30°;在Rt△ACD中,AC==4.
师:这是由特殊的三角函数得到的.
生2:在Rt△BCD中,根据勾股定理可得BC=4. 在Rt△ABC中,AC=BC·tan60°=4.
师:很好,这是由勾股定理得到的.
生3:在Rt△ABC中,∠ACB为直角,CD垂直于AB,所以∠ADC和∠CDB相等,∠ACD和∠B相等,所以△ADC和△CDB相似,所以=,所以AC=4.
师:很好,生3是通过相似三角形的性质得到的.
生4:老师,我也是通过勾股定理得到的,但是具体步骤与生2不同. 在Rt△BCD中,根据勾股定理可得BC=4. 设AC=x,则AD=,由面积法可得(+2)×2=x×4,解得AC=x=4.
师:非常精彩. 由同学们给出的几种方法,我们可以看到三角函数多个角度的运用.
在进行定义和概念的复习时,教师应该尽量避免问题的碎片化和零散化,如复习三角函数时直接提问:“说出锐角三角函数的定义;特殊角的三角函数的定义.”这样的问题缺少思考性,难以调动学生的兴趣,也不利于营造良好的课堂氛围. 本例中,通过将三角函数知识蕴含于题目中,使学生从多个角度观察问题,培养了思维的灵活性,真正理解三角函数的定义,在轻松的氛围中提升了学习效果.
有效阅读,透析本质
复习课教学中需要从学生已有的知识和生活经验出发创设情境,让学生在体验情境的过程中理解数量关系和变化的规律,使学生能在体验情境的过程中建立数学模型,将知识运用到实际问题的解决中去,加强方程、不等式以及三角函数等知识之间的联系.
案例2 如图2所示,在广场上空有一个气球A,地面上三点B,C,D在同一条直线上,BC长20 m,在点B,C处分别测得气球A的仰角∠ABD为45°,∠ACD为56°,求气球A距离地面的高度AD(精确到0.1 m,tan56°≈1.483).
师:怎样用好三角函数知识解决这个问题呢?同学们思考一下:气球A距离地面的高度AD可以利用哪个直角三角形求解?
生5:可以利用Rt△ABD或Rt△ACD求解.
师:图中的这两个直角三角形除了已知∠ABD=45°,∠ACD=56°外,缺少什么条件?它们之间有什么内在的联系?
生6:这两个直角三角形都缺少已知边的条件,但是它们有一条公共的直角边AD,我们可以设CD为x m,用x的代数式表示BD,再通过公共边AD得到变量之间的相等关系. 即(20+x)tan45°=xtan56°,所以AD=tan56°≈61.4(m).
师:根据生6的思路,我们需要找到固定不变的量,也就是气球的高度,再通过三角函数求高.
生7:可以设AD为x m,在Rt△ACD中,CD=;在Rt△ABD中,BD=. 所以-=20,解得AD≈61.4(m).
师:这两种方法分别从直接和间接两个角度求解,我们的生活中也有这样的问题吗?接下来让我们看看下面两道题,能否进行类比和转化呢?
题1:如图3所示,一条小河的旁边有一座山,从山顶的A点俯瞰小河的C点和D点,分别得到夹角的度数为30°和45°,这条小河的宽度CD为50米. 若现在从山顶的A点拉一条笔直的缆绳AC到小河对岸的C点,你能求出缆绳AC的长吗?
生8:作CD的垂线AB,且AB与CD的延长线相交于点B. 根据俯角的定义,可知AE与CD平行,得到∠C和∠ADB的度数分别为30°和45°,从而得到类似于案例2的问题.
题2:某矿物探测队探测到一幢废墟建筑的下方点C处有矿物质,观察图4可知,在地面上探测队挖掘了两个探测点A和B,它们之间的距离为3米,A点处的探测线与地面形成的夹角为30°,B点处的探测线与地面形成的夹角为60°,试确定点C的深度.(参考数据:≈1.41,≈1.73)
生9:如图4所示,本题同样通过作辅助线进行解决,即过点C作CD垂直于AB,与AB的延长线相交于点D,然后通过所学的相关定理转化为上一类问题.
在掌握所学知识的基础上,再次寻找新的问题,经过反思和总结可以巩固已学知识,并促进知识深化以及思维进一步发展. 经过习题的拓展和延伸,引导学生透过现象抓住问题的本质,发现知识之间的内在联系,在解题和反思中巩固知识,深化理解,学会解直角三角形的方法,提升学生的适应能力,掌握解题技巧.
有效探究,深入反思
复习课教学中,教师应基于学生的认知规律进行教学设计,有效激发学生学习的主动性,给学生充分的参与数学活动的机会,引导学生积极主动地探索和交流,掌握数学的基本技能,体会数学思想,学会数学方法,积累数学活动经验.
案例3 根据市里对建筑的要求,建筑楼房需要保证采光时间,因此楼房之间的距离不能太小,至少要保证中午12时是有阳光照射的.
如图5所示,现在需要在一幢旧楼的正南方建一幢新楼,两楼的距离为40 m,旧楼的一楼窗台高1 m,根据统计该地冬天中午12时太阳从正南方照射的光线与水平线的最小夹角为30°,为了提高收益,需要计算新楼最高可建多少米.
生10:在符合规定的情况下,我们可以利用三角函数求解,图5中新楼与旧楼之间可以建构直角三角形,保证阳光照射到一楼窗台.
解法1 如图6所示,過点F作辅助线EF垂直于AB,与AB相交于点E,在Rt△AEF中,AE=EF·tan30°=40×=(m),则AB=EB+AE=1+≈1+23=24(m).
解法2 如图7所示,AF的延长线与BC的延长线相交于点G,在Rt△ABG中,BG=,则CG=BG-BC=-40. 由于AB与CF平行,故△FCG和△ABG相似,因此=,即=,可以解得AB=≈24(m).
教学要挖掘知识的本质和内涵,案例3在传授知识的同时,通过试题训练,并且采用一题多解的方法,锻炼学生思维的灵活性,让其掌握多种解题方法,深入体会数学思想和本质.
变式练习,弥补缺陷
锐角三角函数的知识需要在直角三角形的基础上应用,但是在解决问题的过程中,经常发现很多问题的难点就在于没有现成的直角三角形可以利用,必须进行构造. 因此在锐角三角函数的教学中,构造直角三角形与锐角三角函数进行联系是一个重要的教学内容,需要通过变式练习加强引导和思考,提升学生的思维深度.
案例4 如图8所示,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则sinA的值是多少?
师:同样需要用到三角函数,我们怎样才能找到这个“三角函数”,如何使用它?想要解决这个问题,先要将∠A放到直角三角形中,但观察图形△ABC并不是直角三角形,因此必须通过添加辅助线来构造直角三角形,那么如何构造这个直角三角形呢?
生11:观察图9,线段AB在网格的对角线上,而C是格点,过点C作AB的垂线CD,垂足为O,△ABC的AB边上的高线就是线段CO,则S=×2×3=×3CO,解得CO=,AC=,所以sinA===.
变式1:六个小正方形组成一个网格(如图10所示),小正方形的边长相同,小正方形有顶点A,B,C,D,AB和CD相交于点P,则tan∠APD的值是多少?
生12:如图11所示,通过对顶角相等、正方形的对角线性质可得∠APD=∠BPF,△PBF为直角三角形. 在Rt△PBF中,可得tan∠BPF==2.
生13:我还有其他方法,如图12所示,首先连接AE和BE,可得Rt△AEB;由平行线的性质、正方形的对角线性质和同位角定理可得:在Rt△AEB中,tan∠APD=tan∠ABE==2.
通过变式训练,应用一题多变、一题多解等多种习题讲评的有效方式,使得学生可以从多个角度调动知识,实现知识的系统化、网格化,有利于建构知识体系,提高学习效率,实现学生主动学习.
综上所述,数学学习是一个思维不断完善的过程,本课通过勾股定理、特殊角的三角函数和相似三角形等知识解决问题,引导学生认识到生活中三角函数应用的广泛性. 在例题设计的过程中,通过有效的提问,抓住数学的本质和变式训练等对学生所学知识加以巩固,全方位地调动学生学习的积极性,提高学生思维的能动性,让学生在轻松愉快的氛围中提升学习效率.