聚焦数量与数量关系的抽象，培养学生数感

熊淑君

数学为人们提供了一种认识与探究现实世界的观察方式。“用数学的眼光观察现实世界”是《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出的重要核心素养目标。义务教育阶段数学眼光主要表现为：抽象能力（数感、量感、符号意识）、几何直观、空间观念与创新意识。然而，通过课堂观察我们发现，实际教学对于素养目标的达成还有很长一段路要走。

在人教版一上准备课“比多少”的教学中，学生通过情境中每只兔子搬一块砖，4只兔子与4块砖，一一对应认识同样多。随后教师问：“每只兔子吃1根萝卜，4只兔子吃4根萝卜，够吗？”某学生非常肯定地说：“不够！兔子那么大，萝卜那么小，肯定吃不饱！”

上述现象的发生归根结底是教师没有很好地引导学生经历数量与数量关系的抽象过程建构数感。数感的形成与发展需要依托具体的数学内容，立足数学本质是培养学生数感的重要基础。通过对上述教育现象的观察与分析，引发笔者对聚焦数量与数量关系的抽象，培养学生数感的几点思考。

一、于真实情境中发现数量

数感主要是指对于数与数量、数量关系及运算结果的直接感悟。数感的形成是建立在学生充分经历数量与数量关系的抽象过程，达成对数量与数量关系的理解与感悟基础上的。教学中教师须创设蕴含丰富数学信息的真实情境，为培养学生数感提供物质基础。在引导学生于真实情境发现数量的过程中，逐步形成和发展学生数感，帮助他们积累数学抽象的经验基础。

如“比多少”一课，首先引导学生发现教学情境中不同物体的数量：小白兔的只数、萝卜的根数、小熊的只数、木头的根数等等。这个过程中，学生剥离真实物体依赖的情境，以及物体本身的颜色、大小等物理属性，仅保留数量这一研究对象。学生一般通过点数的方式获取数量信息。通过点数学生明白获取数量信息就是不重复、不遗漏地数出物体的总个数，总个数的多少与点数的顺序无关。教学中常常通过问题“请你用数学的眼光观察情境中各种物体的数量分别是多少”或“你能发现哪些数学信息”引导学生“数学地”观察，发现情境中有用的数学信息，为进一步抽象出探究对象作准备。

二、引导学生经历数学抽象的全过程

学生从已有经验出发经历数学抽象的全过程，形成新的数学认知是数学学习的一般历程。数学是研究千变万化中不变的规律，故从变与不变的视角引导学生由表及里、由此及彼地对现象或规律进行去伪存真、去粗取精。这个认知过程就像“剥洋葱”，一层层剥掉数学对象的“外衣”，一步步逼近数学本质。

“比多少”的教学，学生先在情境中抽象出數量，而后用一一对应的方法比较多少。教师引导学生比较4只兔子与4块砖，1只兔子对应1块砖，没有多余的兔子也没有多余的砖，两者的数量就同样多。变换情境，将小白兔变成小灰兔或小黑兔，把砖变更大或者更小，引导学生体会其中的变与不变，抓住不变的数量关系，认识一一对应与同样多，建立起4只与4块同样多的数量关系。在此基础上用一一对应的方法比较5支铅笔与5个文具盒、3个小朋友和3个书包等同样多的情况。启发学生思考：这些物体不同、物体的个数也不同，为什么都是同样多呢？引导学生观察几组同样多的共性，从而明白只要两种物体一个对应一个没有剩余，它们的数量就同样多，跟物体是什么、有多少没有关系。学生厘清了比较数量多少的本质是个数之间的一一对应，就不会出现“4只兔子吃4根萝卜吃不饱”的现象。如此，初步建立起两个数量之间的一一对应和同样多的关系，为以后建立加法模型和乘法模型，学习“总量=分量+分量”等数量关系埋下伏笔。

在感受数量之间一一对应关系的基础上，用类似的学法引导学生理解与感悟数量之间的多少关系。借助小熊搬木头的情境，比较3只小熊与4根木头的多少。引导学生观察1只小熊对应1根木头，小熊没有多余而有多余的木头，木头的根数就比小熊的只数多，小熊的只数比木头的根数少。初步建立起3只与4根之间的多少关系。接着让学生选择图中物体数量用一一对应的方法进行比较。如比较小熊的只数（3只）与凳子的个数（4个），小熊的只数（3只）与花的朵数（5朵）等。引导学生观察发现，几次比较多少的相同点，以及比较中确定两个物体的数量谁多谁少的方法。通过找相同的思维活动学生明白，比较数量的多少都用一一对应的方法，一一对应之后有剩余的数量比较多，没有剩余的数量比较少。从而建立起数量之间的大小关系，为后续学习数量之间的不等关系奠定基础。

“比多少”一课揭示了小学阶段三种主要数量关系：数量之间的对应关系、数量之间的相等关系和数量之间的大小关系。数感的核心成分是对数量关系的感悟与理解，故本课是培养学生数感的启蒙课。从上面的教学可以看出，认识数量关系的过程是一个从特殊到一般的、环环相扣、层层递进的抽象过程。基于数学对象，先从一组学习材料着手，摒弃其非本质属性，得到具体的数量关系，实现第一次抽象。接着选择多组类似学习材料，比较辨析它们的共性，抽象概括出一般性、普适性的数量关系，揭示数量关系本质的同时帮助学生形成初步的数感。

三、实践运用中升华数感

数感的形成与发展是一个持续的、循序渐进的过程。“比多少”一课中学生习得的三种数量关系也需要在解决问题的应用中巩固和内化。如解决教材第8页第4题，比较黄珠子和红珠子谁的数量较多。学生通过黄珠子与红珠子一一对应的不同表征：圈一圈、连一连、画一画、数一数等，深刻领会一一对应的本质是数量上的一个对应一个。在此基础上教师追问：怎样把黄珠子与红珠子的颗数变得同样多？怎样把红珠子的颗数变得比黄珠子多？使黄珠子与红珠子变得同样多有增加红珠子或者减少黄珠子两条路径，每条路径的方案都是丰富多样的——可以增加1颗红珠子，增加2颗红珠子和1颗黄珠子；减少1颗黄珠子，减少2颗黄珠子和1颗红珠子……引导学生观察、比较，发现其中增减变化的规律：只要红珠子比黄珠子多增加1颗或者黄珠子比红珠子多减少1颗，它们就始终保持同样多的关系。同理，可以找到把红珠子颗数变得比黄珠子多的多样化策略，只是这个策略更为开放，因为红珠子颗数可以比黄珠子多1颗，也可以多2颗、3颗……这样开放性地解决问题，通过数量动态变化引起数量关系之间的转换，学生深刻体会到数量对于数量关系的重要性，厘清了数量之间对应、相等及多少的相互转换关系。升华了学生对数量与数量关系的理解与感悟，数感也在这个过程中自然生长、拔节。学生在问题解决过程中，积累了丰富的观察、比较、分析、归纳、概括等思维活动经验，形成了初步的抽象意识，为抽象能力的形成奠定了基础。

（作者单位：重庆市长寿区教师发展中心 本专辑责任编辑：王彬）