立足学情明辨难点，精心设计突破难点

陈超

［摘  要］ 教师开展教学设计之前要先对教学内容（或学材）有深刻的理解，比如教学重点是什么，教学难点在哪儿. 如果教学难点辨析不准，就会导致教学用力点发生偏离. 大家常常见到有些教师的新授课把很多教学时间花在习题教学上，这往往会让难点“轻轻滑过”，使新授课成为习题课. 所以教学难点的过程不能快，一定要“慢下来”.

［关键词］ 教学难点；平方根；突破难点

疫情背景下，很多教研活动线下参与的教师并不多，主办方安排线上同步直播，这种新型教研展示活动确实给教师带来了方便. 最近，笔者在线观看了某地教研活动开设的一节“平方根（第1课时）”新授课教学，该课教学难点（根号的引入）的处理“一带而过”，没能通过必要的情境创设引导学生“慢下来”，想清楚“难点何在”［1］. 下面，笔者就从相关教学片段说起，给出笔者的教学设计和相关思考.

从“平方根概念的引入”教学片段说起

说明：教师先创设情境引出新知，利用教材上的方格纸计算出两条线段的长，引出开方运算，其中一个等式是AB2=32+42=25，学生容易得到AB=5；另一个等式是AB2=42+52=41，学生感觉求出AB的长有困难.

师：已知AB2=41，要求AB的长，也就是要研究当x2=a时，x是什么数. 请同学们举一些符合题意的a的值来试试，并求出相应的x的值.

生1：当a=4时，x=2或x=-2.

生2：当a=25时，x=5或x=-5.

生3：当a=169时，x=13或x=-13.

师：你们的依据是什么？

生3：根据乘方运算，反过来思考的.

师：很好！可以看出，使x2=a（a>0）成立的数x有几个？

生（齐）：有2个，它们互为相反数.

接着，教师板书课本上平方根的定义：如果x2=a（a≥0），那么x叫a的平方根，也叫二次方根. 并进一步讲授：“像上面出现的AB2=41，当我们无法直接看出AB的值是多少时，我向大家介绍一个符号来表示它，即根号. ”然后板书：正数a的正的平方根记为，正数a的负的平方根记为-，正数a的两个平方根记作±.

接下来，教师呈现“一组接一组”的例题、练习与变式训练.

听课随感上述教学情境的创设和新知的引出，有一些师生对话. 看似比较顺畅地引出新知的对话，本质上却是“照本宣科”，没能体现“用教材教”. 特别是这节课的教学难点教师没能成功突破，只以简单讲授、直接告知、一带而过的方式进行. 尽管随后的例题、练习及变式训练的效果不错，但是新知生成、认知冲突的过程没有得到充分的展开，错失了让学生感知难点及如何突破的机会，这样的教学难以培养学生辨析难点与突破难点的能力.

“平方根的概念引入”教学再设计

先创设情境，引出新知.

問题：在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c.

（1）若a=3，b=4，求c；

（2）若a=1，b=1，求c2；

（3）若a=1，c=2，求b2.

设计意图学生能快速求出上述答案，随之而来的就是如何求出第（2）问和第（3）问中c，b的值. 这就引发了认知冲突：当c2=2时，c的值是多少；当b2=3时，b的值是多少.

学生在七年级初学有理数时，曾通过“大量的逼近式运算”发现当c2=2（c>0）时c的值并不是一个有理数，其近似值是1.414（精确到千分位），至于如何表示这类无理数，七年级上册的教材并没有给出，也没有继续给出更多的这类数. 事实上，随着勾股定理的学习，这样的“麻烦”会越来越多，教师必须引导学生正视这类认知冲突. 当学生出现以上认知冲突时，教师可以预设下面的引导语及学生可能的回答.

师：在形如x2=a的等式中，当a是一个什么数时，我们能很快地说出x的值？

生：当a是一个完全平方数时，我们能很快地说出x的值，比如a的值为4，16，25，100.

师：很好. a能为0吗？a能为负数吗？

生：a可以为0，但是不能为负数，因为一个数的平方不可能为负数！

师：我们定义“如果x2=a（a≥0），那么x叫a的平方根. ”如果a不是一个完全平方数，有必要引出一个符号来表示它. 历史上不同的数学家曾创造了多种符号来表示平方根（可以使用PPT提供相关阅读材料或者推荐短视频来介绍根号的数学历史），但最后大家都选择了根号“”这种记号. 我们可以把正数a的两个平方根记作±，特别是在实际问题中，正的平方根使用频率较高，也被称为a的算术平方根.

练习：求一副三角尺三边长之比.

预设：分别是1 ∶ 1 ∶ ，1 ∶  ∶ 2.

这组练习与前面的“开课问题”形成呼应，能让学生加深对三角尺的认识.

限于篇幅，本课时后续教学不再详细给出，下面只给出简要说明.

给出平方根的概念及表示方法之后，进行相关例题、习题的训练，归纳平方根的性质，至于教材上提到的“二次根式”的概念，可以在小结阶段给出，即这种求平方根的运算是“开平方运算”，然后引导学生类比思考、猜想“开立方运算”，它们的运算结果“立方根”及“立方根”的表示方法. 此外，还可以根据学情适当介绍“二次根式”，包括“根指数”等概念.

对新授课中教学难点的认识与思考

1. 第一，立足学情，辨明教学难点

新授课中会有学生没有学过的内容，包括初次接触的数学概念或性质，这些教学内容对教师来说往往显而易见，非常简单，所以教师站在“过来人”的立场容易将问题想简单，误以为只要“一带而过”跟学生讲一下这些新概念、新性质，学生就能很快地理解或掌握. 事实上，从数学发展历史来看，很多数学新概念、新性质的出现往往经历了漫长的过程，这个过程伴随着数学的发展、数学研究工具的更新等，是众多数学家智慧的贡献. 在现在看来很多习以为常的数学符号（如阿拉伯数字、运算符号），它们的出现和传播都经历了很曲折的过程. 比如，当学生初次学习平方根时，特别是根号的引入时，教师要放慢节奏，不能“一带而过”，要让学生感受到“麻烦”和“认知冲突”，且必须解决或攻克这个麻烦才能继续向前研究. 此时教师引出或介绍根号“”这一符号，学生才能更好地理解并掌握. 再如，当初中阶段首次引出函数概念时，教师也要放缓节奏，要站在学生的立场思考问题，因为学生没有这种概念，需要从大量熟悉的生活问题中不断抽象、得出函数概念的一些要素（常量、变量）. 当学生得出一系列等式时，教师可以组织学生观察、发现两个变量之间的对应关系，最后引出“函数”的概念，让学生感受到函数这种新概念在初中阶段的本质特征.

2. 第二，创设情境，显露教学难点

教师在辨析教学难点之后，要善于创设情境为学生展现学习难点或认知冲突［1］. 因为有些教学难点，如果不是通过恰当的情境呈现，学生不容易想到难点或认知冲突在哪儿. 仍以“平方根（第1课时）”的教学为例，学习勾股定理时，由于全章都回避了开方开不尽的运算情形，所以学生不能意识到会遇到无理数这个麻烦. 而学习“平方根（第1课时）”时，通过必要的计算直角三角形的边的长问题，特别是学生熟悉的一副三角尺中已知两边求第三边的问题，就会碰到这类开方开不尽的运算. 为了解决这一认识冲突，教师有必要带领学生研究开方运算，以及平方根的表示方法，并將数的范围从有理数扩充到实数. 再如，运用方程解决实际问题时，有时只有一个未知数时不易表示出问题之间的等量关系，但设出两个未知数后，就能快速地找出2个等量关系，从而让学生认识到学习二元一次方程组的必要性.

3. 第三，精心设计，突破教学难点

当教学难点展示在学生面前时，教师还可以通过恰当的设计，化解教学难点［2］，促进学生更好地理解难点. 比如，数的开方中的难点是这类新运算的结果是平方根，而平方根有一个符号表示，这些都是学生在短时间内难以发现、发明出来的，所以教师可以基于“有指导的再创造”（弗赖登塔尔语）让学生理解，将数学史融入讲授过程，进而让学生初步感知这个难点在历史上发展的艰辛与不易. 再如，为了让学生深刻理解函数的概念，教师需要精选问题情境，突出两个变量之间的单值对应关系，然后引入字母分别表示这两个变量，让学生辨别自变量、因变量，最后给出函数的概念. 整个教学过程要体现抽象过程（即去情境化、数学化），要让学生不但获得数学新知，而且要学会从一个具体的问题情境中抽象、显现出一类新的数学问题，并展开进一步的研究，这本身也是突破难点的一种重要教学取向.

写在最后

教学难点的研究是一个经典的教研课题，本文只是对新授课中的教学难点进行了一些初步思考. 事实上，解题教学、专题复习、作业的面批和答疑等，都需要教师对教学难点想清辨明，只有这样，才能提高教学效率. 目前，笔者对教学难点的认识与思考还不充分，期待更多的同行深入研究.

参考文献：

［1］许海霞. 突破教学难点：铺垫情境后跟进启发式讲授——以“勾股定理的逆定理”为例［J］. 中学数学，2020（12）：24-25.

［2］夏冬平. 精选问题引出新知，明辨重点突破难点——以二次函数单元起始课为例［J］. 中学数学，2019（16）：26-27+33.