对一道解三角形题的解法探究

1 试题再现

如 图 1，在 △ABC中，AB⊥BC，AD=DE，∠DAE=∠ACB，BD=1.（Ⅰ）求CE的长；（Ⅱ）若E为CD的中点，求cos ∠EAC.

图1

分析:（Ⅰ）设∠ACB=α(0 ＜α＜),依据题意得到BC=tan 2α，CD=，进一步得到AB,AD，然 后 得 到CE=-tanαtan 2α+1，进行化简即可.

（Ⅱ）根据（Ⅰ）可得DE，cosα=，进一步得到AE,AC，然后使用余弦定理计算即可.

2 试题解析

（Ⅰ）解法1：设∠ACB=α，则∠DEA=∠DAE=α，∠CDB=2α，又AB⊥BC，BD=1 ，故BC=tan 2α，CD=，AB=BCtanα=tanαtan 2α，AD=AB-1=tanαtan 2α-1，所以CE=CD-DE=CD-AD

评析：本题第一问充分利用了直角三角形中三角函数的定义，利用角表示了三角形中的各条边，从而将求线段长度的问题转化为三角函数式的化简问题，解法独特，下面针对第一问再给出不同的两种求解方法.

解法3：（三角形的外接圆）如图2，以AC为直径作Rt△ABC的外接圆O，延长AE交圆O于点F，连接FB、FC，过F作FG//AB交DC于G，则∠AFB=∠ACB.因为AD=DE，所 以∠DAE=∠DEA，又因为∠DAE=∠ACB，所以∠AED=∠AFB，所以DG//BF，四边形BDGF是平行四边形，所以FG=BD=1，∠DAE=∠GFE，又∠AED= ∠FEG，所以∠GEF=∠GFE，所以GE=GF=1，又EC是Rt△EFC的斜边，所以G为EC的中点，EC=2GF=2.

图2