广义Birnbaum-Saunders 分布及其统计分析

余炳鹏

(温州大学数理学院，浙江温州 325035)

Birnbaum-Saunders 分布（BS 分布）也称疲劳寿命分布，是由Birnbaum 和Saunders[1]在1969年根据疲劳裂纹扩展到可能导致断裂的临界尺寸所需的循环数而推导出的模型.BS 分布在产品的可靠性研究中有着广泛应用，尤其是在对电子产品的退化失效分析中.BS 分布比通常的寿命分布如威布尔分布和对数正态分布更适合描述一些由于疲劳而失效的产品的寿命规律，因此国内外有许多学者对BS 分布进行了大量研究，并提出了许多改进.

Desmond[2]在1985 年基于一个生物学模型给出了BS 分布更普遍的推导，并给出了双参数BS 分布的累积分布函数的基本表达式.文献[3]通过扩展核分布的方式，将BS 分布扩展为一系列核为椭圆分布族的广义BS 分布族.文献[4]将BS 分布的正态核替换为Laplace 核得到新的广义BS 分布（LBS），并详细研究了该分布的性质.BS 分布是作为一个受多种应力和应变模式影响的试样的寿命模型而推导出来的，基本假设是试件的最终毁坏被认为是由于材料中一个主要裂纹的增长，但因为裂纹扩展的独立性的假设从周期到周期的可能性是非常不现实的，因此，Owen[5]在2006 年通过放宽这一独立性假设推导出一个新的模型，即将裂纹扩展序列建模为一个长期记忆过程和特征，根据这个发展特点引入新的第三个参数，即得到了广义BS 分布.

本文的推广思路与文献[5]的有相似之处，同样是引入第三个参数.考虑到BS 分布的核服从标准正态分布，本文将在正态核中加入原有的形状参数α和尺度参数β外的第三个指数参数θ，仍然服从正态分布，使之扩展成为广义Birnbaum-Saunders 分布（以下简记为GBS 分布），从而使得GBS 分布对失效分析相较于BS 分布更加贴近实际情况.

本文从GBS 分布的推广入手，首先介绍GBS 分布的定义，给出相应的概率密度函数和失效率函数，并研究其图像的性质特征.然后根据第三类修正的贝塞尔函数及其性质给出GBS 分布的原点矩和中心矩的表达式，再利用极大似然估计求出GBS 分布的点估计.最后通过一个实例分析验证GBS 分布在实例应用中的效果.

1 广义Birnbaum-Saunders 分布

1.1 GBS 分布概率密度函数和失效率函数

首先来介绍Birnbaum-Saunders 分布.若随机变量T的累积分布函数如以下（1）式所示：

相应地，T的概率密度函数如以下（2）式所示：

本文所讨论的GBS 分布，在形状参数α和尺度参数β的基础上增加了指数参数θ，其核仍服从正态分布，则GBS 的累积分布函数如以下（3）式所示：

其中α＞ 0为形状参数，β＞ 0为尺度参数，θ＞ 0为指数参数.

1.2 概率密度函数的图像特征

GBS 分布概率密度函数的图像如图1-图3 所示，总体趋势为先递增后递减，存在一个极大值点，可总结为以下几个基本特征.

1）形状参数α对概率密度函数图像的影响.当0＜α＜ 1时，α越小，函数图像峰值越大，函数极值点越靠左；当α＞ 1时，α越大，函数图像峰值越大，函数极值点越靠右；无论形状参数α取何值，函数图像极值点所对应的t的值的取值范围都在(0,1)内.以上特征从图1 可以看出.

图1 α 变量密度函数对比图

2）尺度参数β对概率密度函数图像的影响.β越小，函数图像峰值越大，极值点越靠左，函数递减速度越快，尾部越窄；反之，β越大，函数图像峰值越小，极值点越靠右，函数递减速度越慢，尾部越厚.以上特征从图2 可以看出.

图2 β 变量密度函数对比图

3）指数参数θ对概率密度函数图像的影响.当0＜θ＜0.5时，θ越小，函数图像峰值越大，函数极值点越靠左；当0.5＜θ＜ 1时，θ越大，函数图像峰值越大，函数极值点越靠右；无论形状参数θ取何值，函数图像极值点所对应的t的值的取值范围都在内(0,1)内.以上特征从图3 可以看出.

图3 θ 变量密度函数对比图

1.3 失效率函数的图像特征

失效率函数的表达式在上文中已经给出，各参数在不同的范围内取值时，函数图像呈现完全不同的变化趋势，如图4-图6 所示.下文将分别讨论形状参数α、尺度参数β、指数参数θ对失效率函数的影响.

图4 α 变量失效率函数对比图

图5 α 变量失效率函数对比图

图6 α 变量失效率函数对比图

1）形状参数α对失效率函数图像的影响.当α＜ 1时，函数图像先上升之后维持在一个相对平稳的状态，α越小，函数图像上升速度越慢，函数值越大.当α＞ 1时，函数图像先上升后下降，α越大，函数图像峰值越大，函数极值点越靠左；反之，α越小，函数图像峰值越小，函数极值点越靠右.以上特征从图4 可以看出.

2）尺度参数β对失效率函数图像的影响.β越小，函数图像峰值越大，极值点越靠左，但函数图像下降趋势较缓，尾部较厚；反之，β越大，函数图像峰值越小，极值点越靠右，函数图像下降较快，尾部较薄.以上特征从图5 可以看出.

3）指数参数θ对失效率函数图像的影响.当0＜θ＜0.5时，θ越小，函数图像峰值越大，函数极值点越靠左，失效率函数图像先上升后下降，函数图像尾部较窄；当0.5＜θ＜ 1时，θ越大，函数图像峰值越大，函数极值点越靠右；失效率函数图像先上升后下降，但下降趋势较缓，函数图像尾部较厚.

2 广义Birnbaum-Saunders 分布的原点矩与中心矩

2.1 第三类修正的贝塞尔函数及其性质

第三类修正贝塞尔函数（以下简称贝塞尔函数）对于GBS 分布的矩的计算和简化具有重要的作用[6].在此，先简单介绍贝塞尔函数及其部分性质.

第三类修正的贝塞尔函数：对于任意ν∈R，以ν为索引的贝塞尔函数可以表示为：

其中x＞ 0.以下3 个贝塞尔函数的相关性质[6]，有助于计算结果的简化.

2.2 广义Birnbaum-Saunders 分布的原点矩

广义Birnbaum-Saunders 分布的概率密度函数表示为：

其中α＞ 0，β＞ 0，θ＞ 0.利用贝塞尔函数及其性质可以计算GBS 分布的m阶原点矩μm.

定理1 若随机变量T～GBS(α,β,θ)，则m阶原点矩μm可以表示为：

特别地，GBS 分布的期望和方差具体表达式如下：

3 广义Birnbaum-Saunders 分布的极大似然估计

设有n个观测值T(t1,t2,t3…,tn)～ GBS(α,β,θ)，其中GBS 分布的概率密度函数为：

则其极大似然函数为：

似然函数取对数，得到对数似然函数：

这个计算过程相对复杂，需要采用数值解法（如BFGS 准牛顿法）来完成，由此得到GBS 分布的3 个参数的点估计，数值结果将在下一节的实例分析中展示.

4 实例论证

本数据最早来源于Proschan[7]在1963 年发表的成果中，后来Cordeiro[8]在2011 年分析过该数据，研究的对象是由13 架波音720 飞机组成的机队中每架飞机的空调系统连续故障数组成的数据集，如表1 所示.利用该数据集分别估计出BS 分布的两个参数,以及GBS 分布的三个参数的估计值以及两个分布的AIC 值和BIC 值（见表2）.

表1 空调系统连续故障次数

表2 不同分布的数据分析

其中k表示参数个数，n表示样本容量，ln(L)表示对数似然函数.

由表2 数据可以看出，GBS 分布相较于BS 分布AIC 值更小，因此可以认为在权衡估计模型复杂度和拟合数据优良性的情况下，GBS 分布更加优良.BAC 值与AIC 值作用相似，但相比AIC值增加考虑了样本容量的影响，此时GBS 分布在这组数据下相较于BS 分布仍然具有较小的BAC值，这验证了GBS 分布在这个实例应用中具有更加优良的拟合性能.

图7 展示了GBS 分布以及BS 分布的概率密度函数（PDF）的函数图与频率分布直方图，图8 展示了GBS 分布以及BS 分布的累积分布函数（CDF）图与经验分布函数图.

图7 密度函数对比图

图8 分布函数对比图

从图7 可以看出，GBS 分布的概率密度函数图像基本穿过直方块的中点处，整体趋势也更加符合实际数据的分布情况，因此可以判断为GBS 分布相对于BS 分布具有更优良的拟合性质.

从图8 可以看出，GBS 分布的图像与真实数据的分布更为接近，拟合效果明显优于BS 分布，结合AIC 值和BAC，值的比较可以认为GBS 分布在这个实例应用中拥有更优良的拟合效果.

5 结 论

本文主要研究了GBS 分布及其统计性质，通过拓展BS 分布的核分布，引出了GBS 分布的定义，给出了GBS 分布的概率密度函数和失效率函数，并研究了其图像变化的基本特征.关于GBS 分布的统计性质，本文根据第三类修正的贝塞尔函数及其性质推导出了GBS 分布的原点矩和中心矩的表达式.利用极大似然估计法求出GBS 分布的参数点估计.最后本文通过一个实例应用，展示了GBS 分布相较于BS 分布拟合效果的优越性，充分说明GBS 分布在某些特定领域相较于BS 分布更加贴近实际数据的状态，具有广阔的研究前景和良好的实用价值.