从“算术思维”到“代数思维”的转变

闫华

【摘要】随着我国教育改革的不断发展，教育部门愈发关注中小学知识的衔接，因而如何帮助学生更好地过渡到初中阶段学习，引导学生顺利完成思维模式的转变，是初中教师需要重点思考的问题。本文简要分析了中小学衔接教学中从“算术思维”到“代数思维”过渡的难点，有针对性地提出了中小学数学教学衔接的具体实施策略。

【关键词】中小学衔接；“算数思维”；“代数思维”；策略

【中图分类号】G623.5【文献标志码】A【文章编号】1004—0463（2022）09—0102—03

运算是小学数学知识体系的重要构成内容，也是学生形成数学算术思维，培养小学生算术能力的主要学习内容，在小学数学学习中占主导地位，进入初中学习阶段，培养学生的代数思维是教学的主要内容。代数思维强调数学抽象、逻辑推理和数学建模，关注数学本质，体现数学语言的基本功能，展示数学规律的普遍性、数学内容的本质性和内容描述的简练性、准确性、逻辑性。根据新课程标准要求，数学教师要做好中小学数学衔接教学工作，借助小学数学算术思维引导学生感悟代数思维，启发学生的代数意识，让学生在运用小学数学运算知识的过程中尽快适应初中数学学习模式，促使学生认识算术与代数的差异，让学生更清晰地认识到二者的联系，为初中数学学习做好准备[1]。下面，笔者根据多年的教学经验和实践调查，分析中小学衔接中学生从“算数思维”过渡到“代数思维”的难点，针对性地提出一些行之有效的策略，以期对一线数学教师有所帮助。

中小学数学教学中，不同的学习阶段学生的数学思维也不同，不同学生的数学思维也各有差异，教师只有充分掌握各阶段学生的思维发展特点，才能引导学生更好地参与到数学学习活动中，解决问题，培育数学素养。小学阶段，学生初步接触数学，对学习数学的重要性和系统性認识不足，此阶段的重点是让学生掌握基础数学概念和学习方法，通过学习数学概念、运算法则、基本运算关系等内容，形成算术思维，以计算结果为重点。初中阶段，数学概念繁多，系统性更强，更具抽象性，学生需要学习代数、几何、函数等内容，重点在于培养学生的逻辑思维、问题分析与解决能力、自主思考能力，其前提是学生具备代数思维，能够借助代数逻辑思考问题[2]。因此，如何引导学生从“算术思维”转变到“代数思维”，是中小学数学教学的衔接点之一。结合目前中小学数学衔接教学情况，有以下难点需要思考。

1.学生不能完全理解数学符号的新意义。算术与代数之间有很多通用的符号，比如“+”“-”“=”等，算术中学生习惯将“=”表示计算的结果，而代数中“=”则表示两边元素的等价关系。一些学生习惯于算术思维，对数学符号新意义无法理解，是学生思维转变的难点。

2.过度重视未知量。以简易方程为例，进入初中后，学生面对“10 -x =20”仍然习惯用加减法之间的关系求解方程中的未知数，这种方法虽然能够解决问题，却注重未知数代表的意义，不符合代数思维。而在代数思维中，利用等式的基本性质或解方程的基本步骤就可以求解[3]。

3.用字母表示数，学生的认知和理解有困难。代数思维强调用代数式表示数学概念、数学运算和数学结论，既有运算的结果，也突出逻辑关系，体现数学本质。而算数思维侧重于具体的、单一的数字运算，对于逻辑性及数学本质的要求较低，对含有定义及逻辑关系的表达式，单纯地从算数角度理解，是远远不够的。

4.教师对算数思维和代数思维关系的认识不准确。代数思维是一种正向思维，采用变量直接表示运算结果、过程和目标，而算术思维是逆向思维而不是简单的数字运算。在算数思维和代数思维之间关系的认识上，教师误认为随着学生认知的发展，算数思维会自然过渡到代数思维，无需外在教育形式的关注和干预；或者绝对地认为算数思维是代数思维发展的前提和基础，认识不到位，导致目标不明确。

1.立足小学算术，引导学生感悟代数思维。在中小学数学衔接教学中帮助学生完成思维转变，教师应立足小学数学内容，以学生熟悉的算术知识激发学生的探索欲，在学生解决算术问题的过程中渗透代数元素，引导学生感悟算术中隐藏的代数思维，感受算术与代数之间的变化与表达差异，为学生思维的转变奠定基础[4]。例如，请大家在下面算术中添上你认为合适的数字：①36÷24=9÷（）②18×14=（）×7③41-15=43-x，此问题中，教师不仅要考虑算术思维，还需把代数的等量关系结构通过学生较为熟悉的算术呈现出来，用学生熟悉的形式引导学生转换思维。有一部分学生先将等号一边的结果计算出来，再采用“除法”“减法”“加法”来计算，这是学生算术思维的体现。教师引导学生思考能否在不挪动等号两边元素的情况下解决问题，学生纷纷陷入思考，一名学生表示：在“36÷24=9÷（）”中，36与9之间存在某种关系，可以得到“36÷9=4”，而且两边的计算结果是相等的，那么我们就可以知道24与“（）”之间的关系也是“4倍”的关系，采用“24÷4”得到6，因此（）中的数字为6。通过这种方法，教师引导学生从小学时期的算式入手，借助算术的思维计算式子，从整体上思考，引导学生发现式子两边的等量关系，在探索的过程中理解“=”的新意义，形成对等量关系的初步认知，启发学生的代数思维。

2.转变教学关注重点，鼓励学生探索问题解决思路。在中小学数学衔接过程中，大部分学生难以很快适应初中数学学习方式，注重计算结果，忽视运算过程，对学习产生了畏难情绪，无形中增加了学生的数学学习压力[5]。因此，初中数学教师应适当转变教学关注点，鼓励学生在学习过程中尽量关注自己的学习过程、思考过程，让学生明白，结果错了不要紧，挖掘题目的内涵，提出问题解决的方法，能够探索出一条适合自己的数学思考思路才是关键。这样能够有效缓解学生难以适应代数思维而错误频出的学习压力，在辅助学生思维转变的同时减轻学生的学习负担。例如，在利用方程解决实际问题的过程中，学生需要通过问题中的等量关系，构建数学方程式。但是学生依靠算数思维，难以找到问题中的等量关系，教师就引导学生转变思考方向，重新分析实际问题，从找已知条件、未知条件及他们之间存在的内在联系入手，促使学生转移自己的关注点，让学生从“关注问题解决正确性”转变为“关注问题中的条件关系”，让学生在分析的过程中发现等量关系，借助已经学习的方程式结构列出方程，从而锻炼学生的代数思维，为学生今后解决更多的代数问题提供基本思路[6]。

3.开展对比教学，带领学生体会代数思维。在中小学数学衔接教学中帮助学生完成思维转变，教师可以开展对比教学，让学生根据同一问题情境应用算术方法与代数方法感受同一问题的思考、解决过程，感受代数方法的高效性，体会代数思维的魅力，从而提升学生的代数思维，实现学生思维的转变[7]。例如，某班级一共有186块钱，有5个小组，每个小组拿走18元钱，剩下的给“兄弟班级的4个小组”，请问“兄弟班级”的每个小组平均拿走多少钱？请大家根据算术方法解决问题，再列方程试试。将学生分成两组，一组用算数方法，另一组列方程解决问题，教师引导学生分析、对比两种方法的优劣。通过对比，学生发现方程思想解决问题更简便，也让学生感受到代数思维思考问题的优越性和广泛的应用性，逐步转变学生思考问题的方式。长期坚持下去，学生的思维逐渐从算术思维过渡到代数思维了。

4.培养符号意识，注重代数思维的引导。代数思维与算术思维最大的不同，就是用符号代替具体的数，在运算中关注所表达的数的规律和關系，而不仅仅是运算结果。例如，在解决从A地到B地的行程中有6个途经点，问最多需设计多少种不同的票价？在这一问题的解决过程中，大部分学生通过画图、数数的方法解决，重点关注问题的结果。教师引导学生分析问题的全过程，让学生试着用数学归纳法找出解决此类问题的一般方法，可以这样思考：（1）当途径点只有一个时，最多需设计多少种不同的票价？（2）当途径点有两个时，最多需设计多少种不同的票价？（3）当途径点有三个时，最多需设计多少种不同的票价？逐步研究下去，进一步讨论当途径点有n个时，最多需设计多少种不同的票价？通过师生共同努力，讨论出票价的通项，再通过验证说明这个结果的准确性。此探究过程中，不仅仅求得了问题的结果，更在解决问题的过程中理解了字母可以代替任意数字，寻求了解决此类问题的一般规律，并在学习过程中体会到了从特殊到一般的数学思想。同时，再创设几个此类问题的情境，理解这个规律的通用性，例如，在平面上有n个点，问最多可以连接成多少条线段？都是同类问题，揭示了问题的共性和普遍性，进一步提升了学生对问题的理解和思考能力。

综上所述，算术思维到代数思维的转变，需要教师深入挖掘算术与代数之间的内在联系，采用不同的教学活动引导学生认识这种差异，从而形成相应的代数意识，为之后的代数思维转变奠定基础，有效完成中小学数学教学衔接目标。

参考文献

[1]冯叶平.探究中小学数学教学衔接——以“1.4.2有理数的除法”为例[J].中学数学教学参考，2021（15）：31-33.

[2]赵爽宁.思维发展下的中小学数学衔接教学策略分析[J].考试周刊，2021（34）：92-93.

[3]金群英.代数思维在小学数学教学中的渗透与培养[J].小学教学设计，2021（08）：44-46.

[4]雷光舜.做好衔接打基础立足发展抓落实——中小学数学教学衔接工作探究[J].甘肃教育，2020（19）：128.

[5]夏小进.融通算术教学发展代数思维[J].河北教育（教学版），2020（09）：51-52.

[6]李志堂.情境创设下的中小学数学教学衔接对策[J].河南教育（基教版），2020（05）：60.

[7]吴雅静，朱水萍.从算术思维向代数思维过渡的教学策略[J].戏剧之家，2020（03）：140-141.

编辑：徐春霞