指向算理理解的计算教学

[摘  要] 在小学数学计算教学中，教师要应用各种方法，促进学生理解算理，进而引导学生建构算法。理法融通，是学生计算学习的最高境界。指向算理理解的计算教学，要依靠学生的经验、依靠学生的操作、依靠直观的图形等。要让学生知算理、晓算法;依算理、明算法;释算理、用算法。还要将算理理解和算法建构统一到学生计算学习之中，使之成为学生计算核心素养的重要组成。

[关键词] 计算教学;算理理解;算法建构

计算教学是数学教学的重要组成部分，是学生数学学习的基础，是学生数学素养形成的基石。计算教学不仅要引导学生建构算法，更要引导学生理解算理。算理是算法的根据，是算法赖以成立的内在的数学原理，而算法则是算理的形式化表征，也是算理的操作化程序[1]。在小学数学计算教学中，教师要应用各种方法，促进学生理解算理，进而引导学生建构算法。这样的理法融通，是学生计算学习的最高境界。

一、借助经验理解算理

计算教学，教师要对学生的算法建构进行有效预判，对学生在算法建构中可能会遭遇的障碍、困惑及时预警。指向学生算理理解的计算教学，不仅要求学生掌握计算方法，提升计算技能，更要求学生在计算中理解算理，从而形成一种内在的现实性的“计算自觉”。这种计算自觉，能逐步地使学生具有“数学的眼光”和“数学的大脑”[2]。

学生理解算理的方式方法很多，其中最为重要的是利用经验、操作、图形等。在计算教学中，教师借助学生的经验（包括生活经验和知识经验等），能有效地引导学生建构算法。经验，是学生算法建构的现实，学生的算法建构离不开学生的经验。作为教师，在教学中要积极探寻计算与学生经验的链接点、融合点、契合点等，从而促进学生的算法建构。比如教学“带括号的四则混合运算”，重点是引导学生认识“先进行括号里面的运算，再进行括号外面的运算”。换言之，这里重要的是让学生理解“括号”的意义。但在引导学生学习“带括号的四则混合运算”的顺序时，教师不能采用机械说教的方式方法，不能让学生机械识记法则，而应当是联系学生的生活经验，赋予抽象的、形式化的运算顺序以意义。如笔者在教学中，将学生生活中买东西付钱的例子引入其中，引导学生解释算理、理解算理。如此，学生在计算法则的建构中就能积极主动地联系自我的生活实际，对抽象的四则混合运算进行解释，从而让抽象的符号算式变得生动起来，促进了学生对法则的深度理解。

经验是学生算法建构、算理理解的源头活水，它应当贯穿于学生算法建构、算理理解的始终。学生的计算应当基于学生的经验，贯穿于学生的经验之中，并且为了积累经验而展开。借助经验引导学生理解算理、建构算法，还能促进学生将计算应用于解决实际问题，即促进学生的“算用结合”。

二、借助操作理解算理

指向算理理解的计算教学，不仅可以借助学生的经验，而且可以借助学生的操作。操作，是一种具身化的学习方式。操作不同于简单的、机械的动手做，而是融合了学生的数学思维、想象。在操作过程中，教师还可以引入一些教具、学具等，从而促进学生的算理理解。借助操作，能深化学生的直观动作思维体验，并能导引学生的思维从直观操作过渡到具体形象，再过渡到抽象逻辑。

比如教学“十几减9”这部分内容，重点是引导学生掌握“破十法”“平十法”“算减想加法”等计算法则。教学中，教师着重要激发学生产生建构法则的内需，让学生思考建构法则。比如教师可以出示一些情境性的问题：大猴摘来13个桃子，小猴吃了9个，还剩多少个？此时，教师可以给学生提供半结构性的操作素材，比如用小球来代替桃子，并且将10个桃子放在盒子里，凸显10个桃子为一组，盒子外面放置3个桃子，这样引导学生操作。并以小组为单位，提炼出操作方法。如有小组这样操作，先从盒子里的10个桃子中拿出9个，再将剩下的1个和盒子外面的3个合起来，就成了4个，这就是“破十法”的算法模型;有小组这样操作，先从盒子外面拿走3个，再从盒子里面拿走6个，还剩4个，这就是“平十法”的算法模型;还有小组根据9加4等于13，推导出13减9等于4，这就是“算减想加法”的算法模型。在操作过程中，学生对各种算法法则进行着意义建构，因而就能感受、体验到并且深刻理解算法模型背后的算理。这些算理是支撑学生建构、巩固、应用算法法则的重要基础。当然，在这个过程中，教师也要对学生可能会出现的一些劣构性算法有一个预判、预警。如有学生可能会一个个地拿;有学生可能会先拿盒子中的5个，再拿盒子外面的3个，最后又拿盒子里面的1个，等等。对于学生可能会出现的劣构操作，教师要善于追问、启发、引领，从而将学生的操作拉回到算法建构的原则上来。

借助操作理解算理，就是通过操作让学生经历算法数学化的过程。操作是学生算理的一种展开，是一种直观化、动作化的形式，为学生的算理理解和算法建构提供了内援支撑;而法则建构则是操作的提炼，是一种必要的凝聚。在操作中理解算理、建构算法，能让学生获得深刻的感受、体验。在操作的过程中，教师要鼓励学生操作多元化，要引导学生算法建构多样化，还要注重引导学生比较操作方法，在算法多样化的基础上进行算法优化。

三、借助图形理解算理

“数形结合百般好，隔离分家万事休”[3]。教师在引导学生建构算法的过程中，还可以引入相关的图形，通过数形结合，将代数问题几何化，从而直观形象地引导学生理解算理、建构算法。借助直观的图形来理解抽象的数，能让抽象的算理找到直观形象的解释。在小学计算教学中，借助图形来引导学生理解算理，不仅能让抽象的算理形象化，而且有助于促进学生具体形象思维与抽象逻辑思维协同发展。

比如教学“分数除法计算法则”这部分内容，教材安排了多个例题，分别对应于“分数除以整数”“整数除以分数”和“分数除以分数”。其中，“整数除以分数”有两类例题，一是整数除以分数单位;二是整数除以一般的分数。教学中，教师要从“平均除”和“包含除”两种除法类型引导学生用实物图、线段图等来表征题意，从而让学生能自行探索出分数除法的算理。在此基础上，教师进一步引导学生大胆猜想：分数除以整数、整数除以分数、分数除以分数可以怎样进行计算？有了学生的大胆猜想，教师再一次引导学生借助图形来进行验证。显然，图形在分数除法法则的建构中不仅是激发学生猜想的催化剂，更是引导学生进行數学验证的强心剂。在计算教学中，由于有了形的支撑，学生的算理探索就有了方向。比如在“4÷1/2”中，教师引导学生画出了线段图，先引导学生直观理解“1里面有2个”，再引导学生直观理解“4里面有8个”，从而引导学生有效地认识、理解了“4÷1/2=8”。再比如教学“分数除以分数”这部分内容，对于“÷”，教师借助量杯这样一个具体化的实物图，让学生从算式直接推算出计算结果，进而对“分数除以整数”和“整数除以分数”提出相应的猜想。与此同时，教师可以让学生自己尝试举例，并且引导学生自己画图解决问题。在这里，图形就是沟通学生计算算理和算法之间的桥梁，是联系算理与算法之间的纽带。图形是对算理的直观化、形象化的表征，能为学生的算法建构找到生长的土壤。

“感性无知性则盲，知性无感性则空”[4]。算法建构是一个知性化的建构过程，这一知性化建构必须依赖于感性化的支撑。算法是一种比较抽象化、程式化的东西。如何让抽象化、程式化的算法建构、算法应用等变得灵动起来，一个重要的方法是借助感性直观的东西来支撑算理。图形是一种直观、感性的有效工具。借助直观、感性的图形，能有效地培养学生对算法建构、算法应用的敏捷性、灵活性和广阔性。

在计算教学实践中，算理和算法应当是相互交织在一起的。作为教师，就是要借助学生的经验、借助学生的操作、借助直观的图形来架设算理和算法之间的桥梁。在直观化的算理支撑下，学生能感悟、建构出有效的算法。指向算理理解的计算教学，要让学生知算理、晓算法;依算理、明算法;释算理、用算法。唯有如此，算理理解和算法建构才能统一到学生的计算学习之中，成为学生数学计算核心素养的重要组成。

参考文献：

[1]  涂荣豹，季素月. 数学课程与教学论新编[M].南京：江苏教育出版社，2013.

[2]  侯正海. 在理解算理的基础上构建算法[J]. 小学数学教师，2010（Z2）：134-143.

[3]  吴加奇，余瑶. 以学生为中心开展课例研究[J]. 教学与管理，2020（20）：23-25.

[4]  马天红. 整体视域下小学数学练习课的设计[J]. 教学与管理，2021（17）：63-66.

作者简介：万小丽（1982—），本科学历，中小学一级教师，从事小学数学教学工作。