2022年高考全国乙卷模拟试卷（文科数学）

一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分.请将答案写于答题卡上）

1.已知集合M={x|x2-2x-3<0}，N={x|-2<x<1}，则M∩（CRN）= （）.

A.[-2，1]B.（-1，1]C.（-2，3）D.[1，3）

2.设i为虚数单位，且满足2-4i1+i=a+bi（a，b∈R），则复数z=a+bi对应的点在（）.

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

3. 下列向量中不是单位向量的是（）

A.（1，0）B. （1，1）

C. （cosα，sinα）

D. aa（|a|≠0）

4. 等差数列an中，a5+a10+a15=30，则a22-2a16的值为（ ）.

A.-10B.-20C.10D.20

5.样本数据x1，x2，…，x5的平均数和方差分别为1和4，若yi=xi+a（i=1，2，…，5），则y1，y2，…，y5的平均数和方差分别为（）.

A.1，4B.1+a，4+aC.1+a，4 D.1，4+a

6.已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，lα，lβ，则（）.

A.α∥β且l∥α

B.α⊥β且l⊥β

C.α与β相交，且交线垂直于l

D.α与β相交，且交线平行于l

7.达芬奇的经典之作《蒙娜麗莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷，现将画中女子的嘴唇近似的看作一个圆弧（如图1），设嘴角A，B间的圆弧长为l，嘴角间的距离为d，圆弧所对的圆心角为θ（θ为弧度角），则l，d和θ所满足的恒等关系为（ ）.

A.2sinθ2θ=dlB.

sinθ2θ=dl

C.cosθ2θ=dlD.2cosθ2θ=dl

8. 已知函数f（x）的定义域（-∞，0]，若函数g（x）=log2x，x>0，f（x）+4x，x≤0是奇函数，则f（-2）=（ ）.

A.7B.-7C.3D.-3

9.如图2是为了计算S=11×2+13×4+15×6+…+119×20的值，则在判断框中应填入（）.

A.n>19B.n≥19C.n<19D.n≤19？

10.设函数f（x）=x3-3x，x≤a，-2x，x>a，若f（x）无最大值，则a的取值范围是（  ）.

A. -1<a<1B.a≤-1C. a<-1D.a≥1

11. 若a=ln（ln3π）2，b=2ln（ln2），c=2eln2，则a，b，c的大小关系为（ ）.

A.b<a<cB.c<a<bC.b<c<aD.a<b<c

12. 已知函数g（x）=a-x2（1e≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）.

A.[1，1e2+2]B.[1，e2-2]

C.[1e2+2，e2-2]D.[e2-2，+∞]

二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）

13.己知函数y=f（x）定义域是＼[-2，3＼]，则y=f（2x-1）的定义域是.

14. 函数y=f（x）的图象在点P（3，f（3））处的切线方程是y=-2x+7，则f（3）+f ′（3）=.

15.已知F1，F2是椭圆C：x216+y24=1的两个焦点，P，Q两点是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且|F1F2|=|PQ|，则四边形PF1QF2的面积为.

16. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A=π2，角A的平分线与BC交于点D，AD=2，则2b+3c的最小值.

三、解答题（本大题共6小题，第22题10分，其他题每题12分）

17.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acosB=（2c-b）cosA.

（1）求角A的大小;

（2）若a=4，BC边上的中线AM=22，求△ABC的面积.

18.某海产品经销商调查发现，该海产品每售出1t可获利0.4万元，每积压1t亏损0.3万元，根据往年数据，得到年需求量的频率分布直方图如图3所示，将频率视为概率.

（1）请依据频率分布直方图估计年需求量不低于90t的概率，并估计年需求量的平均数.

（2）今年该经销商欲进货100t，以x（单位：t，x∈[60，110]）表示今年的年需求量，以y（单位：万元）表示今年的销售利润，试将y表示为x的函数解析式，并求今年的年利润不少于27.4万元的概率.图3

19. 如图4，多面体ABCDEF中，平面CDE⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，BC//EF，AB=DE=2，AD=1，点G在线段CE上，且EG=2GC=223AB.

（1）求证：DE⊥平面ABCD;

（2）若EF=2BC，求多面体ABCDEF被平面BDG分成的大、小两部分的体积比.

20.

在平面直角坐标系中，已知椭圆C：x2a2+y2=1（a>1）的离心率为32，F1，F2分别为C的左，右焦点，点P是椭圆C上在第一象限内的一点，F1关于直线PF2的对称点为M，F2关于直线PF1的对称点为N.

（1）证明：|MN|≤4;

（2）设A，B分别为C的右顶点和上顶点，直线y=kx（k>0）与椭圆C交于E，F两点，求四边形AEBF面积的取值范围.

21.已知函数f（x）=excosx-x.

（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程;

（2）求函数f（x）在区间[0，π2]上的最大值和最小值.

选考题（共10分.请考生在第22，23两题中任选一题做答，如果多做，则按第一题记分）

22.＼[选修4-4：坐标系与参数方程＼]

在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=coskty=sinkt（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4ρcosθ-16ρsinθ+3=0.

（1）当k=1时，C1是什么曲线？

（2）当k=4时，求曲线C1与C2的公共点的直角坐标.

23.已知函数f（x）=|x|.

（1）求不等式f（x-1）+f（2x-1）≤2x的解集;

（2）若a>0，b>0，c>0，且1a+4b+9c=1，证明：f（x+a）+f（x-b-c）≥36.

参考答案

一、选择题

1.D2.C3.B4.A5.C6.D7.A8.A9.A10.C11.D12.B

二、填空题

13.[-12，2]14.-115. 816. 52+43

三、解答题

17.（1）由正弦定理，得sinAcosB=2

sinCcosA-

sinBcosA，得sin（A+B）=2sinCcosA.

所以cosA=12，A=π3.

（2）由（1）可知A=π3，又a=4，所以由余弦定理，得b2+c2-bc=16.

又AM为BC边上的中线且AM=22，

所以AM=12（AB+AC）.

所以8=14（b2+c2+bc），得bc=8.

所以S=12bcsinA=23.

18.（1）由题可知，[90，100]之间的频率为10×（0.1-0.005-0.015-0.05-0.01）=0.2，＼[100，110＼]之间的频率为0.1.所以估计年需求量不低于90t的概率为0.3.

设年需求量的平均数为x-，则x-=65×0.05+75×0.15+85×0.5+95×0.2+105×0.1=86.5.

（2）设今年的需求量为x吨，今年的年利润y为万元，

当0≤x≤100时，y=0.4x-（100-x）×0.3=0.7x-30，

当x>100时，y=40.

所以y=0.7x-30，60≤x≤100，40，100<x≤110，解得x≥82.当82≤x<90，P=90-8210×0.5=0.4，当90≤x<100，P=0.2，当100≤x≤110，P=0.1.

所以年利润不少于27.4万元的概率为0.7.

19.（1）因为四边形ABCD为矩形，所以CD=AB.因为AB=DE=2，所以CD=DE=2.因为点G在线段CE上，且EG=2GC=223AB，所以EC=

2AB=2CD=22.

所以DE2+CD2=EC2，即DE⊥CD.

又平面CDE⊥平面ABCD，平面CDE∩平面ABCD=CD，DE平面CDE，所以DE⊥平面ABCD.

（2）由（1）知DE⊥平面ABCD，且AD⊥DC，所以DE，DA，DC兩两垂直.又AD//BC，所以易知BC⊥平面CDE.设BC=1，AB=DE=2，EF=2BC=2，S△CDG=13S△CDE=23，S△EDG=23S△CDE=43，

所以VB-CDE=13S△CDG×BC=29.

连接BE，则VB-GDE=13S△EDG×BC=49.

因为BC∥EF，BC∥AD，所以AD∥EF.

所以易知AB⊥平面ADEF.

所以S四边形ADEF=DE2·（AD+EF）=3，

VB-ADEF=13S四边形ADEF×AB=2.所以VB-DEG+VB-ADEF=229.

故多面体ABCDEF被平面BDG分成的大、小两部分的体积比为11∶1.

20. 解析（1）C的离心率为32，即

a2-1a=32，解得a=2.

由题意知|PF1|=|PM|，|PF2|=|PN|，

|MN|≤|PM|+|PN|=|PF1|+|PF2|=2a=4.

（2）直线AB，EF的方程分别为x+2y=2，y=kx（k>0），

设E（x1，kx1），F（x2，kx2），其中x1<x2，由y=kx，x24+y2=1，得x1=-21+4k2，x2=21+4k2.

所以点E，F到AB的距离分别为h1=

|x1+2kx1-2|5=

2（1+2k+1+4k2）5（1+4k2），

h2=

|x2+2kx2-2|5=

2（1+2k-1+4k2）5（1+4k2）.

又|AB|=22+1=5，

所以四边形AEBF的面积为

S=12|AB|（h1+h2）=

12×5×4（1+2k）5（1+4k2）

=2

1+4k2+4k1+4k2=21+4k1+4k2

=2

1+41k+4k，

当k∈（0，+∞）时，1k+4k∈[4，+∞），则41k+4k∈（0，1].所以21+41k+4k∈（2，22].即四边形AEBF面积的取值范围为（2，22].

21.（1）因为f（x）=excosx-x，

所以f ′（x）=excosx-exsinx-1.

所以f ′（0）=e0cos0-e0sin0-1=0.

又因为f（0）=e0cos0-0=1，

故y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1.

（2）令g（x）=f ′（x）=excosx-exsinx-1，x∈[0，π2]，则

g′（x）=excosx-exsinx-（excosx+exsinx）=-2exsinx.

因为x∈[0，π2]，所以sinx≥0.

因为ex>0，所以g′（x）≤0.所以g（x）在区间[0，π2]上单调递减.

所以g（x）≤g（0）=0，即f ′（x）≤0.

所以f（x）在区间[0，π2]上单调递减.

所以当x=π2时，f（x）有最小值f（π2）=-π2.

当x=0时，f（x）有最大值f（0）=1.

选考题（共10分.请考生在第22，23两题中任选一题做答，如果多做，则按第一题记分）

22.当k=1时，曲线C1：x2+y2=1.

当k=4时，x=cos2t，y=sin2t，所以x+y=1与4x-16y+3=0联立方程组，解得x=14，y=14.

故曲线C1与C2的公共点的直角坐标（14，14）.

23.

解析（1）由题意，得

f（x-1）+f（2x-1）=|x-1|+|2x-1|.

当x>1时，

|x-1|+|2x-1|=x-1+2x-1=3x-2≤2x，则x≤2，所以1<x≤2.当

12≤x≤1时，|x-1|+|2x-1|=1-x+2x-1=x≤2x，則x≥0，所以12≤x≤1.当x<12时，|x-1|+|2x-1|=1-x+1-2x=2-3x≤2x，则x≥25，所以25≤x<12.

综上，不等式的解集为{x|25≤x≤2}.

（2）由绝对值不等式的性质可得，

f（x+a）+f（x-b-c）=|x+a|+|x-b-c|≥|（x+a）-（x-b-c）|

=a+b+c，因为a>0，b>0，c>0，且1a+4b+9c=1，所以a+b+c=（a+b+c）（1a+4b+9c）=1+4+9+

ba+ca+4ab

+

4cb+9ac+9bc≥14+2

ba·4ab+

2ca·9ac+2

4cb·9bc=36，

当且仅当b=2a，c=3a时，等号成立.

故f（x+a）+f（x-b-c）≥36.

[责任编辑：李璟]

收稿日期：2022-02-05

作者简介：梁宗明（1981.2-），男，甘肃省兰州人，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究.[FQ）]