让“建模思想”在数学课堂落地生根——以“行程问题”为例

山东平度市店子镇青杨小学（266712）张晓丽

《义务教育数学课程标准（2011年 版）》中指出：“重视学生已有经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程。”小学数学课堂教学中，教师有意识地渗透数学建模思想，发展学生建模能力，可以使学生体验提出、思考、质疑和解决问题的过程，从而领悟数学的应用价值。更为重要的是，建模思想可以使学生从实际问题中抽象出数学模型，从而促进知识构建、思维培养、核心素养等方面全面发展。

一、数学建模概述

数学建模是沟通数学知识与现实世界的桥梁。目前，学术界对于数学建模尚未形成统一的概念界定。刘振航在《数学模型》中认为，面对现实生活中杂乱无章的现象，从中抽象出恰当的数学关系，组建解决问题的数学模型的过程就是数学建模。周春荔先生认为，从教学的角度看，数学建模是一种数学活动；从方法论的角度看，数学建模是一种数学思想方法。李明振指出，数学建模是从实际问题中发现可以用数学语言表达的关系或规律，从中抽象出恰当的数学关系，将现实问题转化成数学问题，并按照数学的知识方法进行求解，最终对现实问题做出解释的过程。综上，在笔者看来，数学建模指的是从问题情境或者现实生活中抽象出反映特定的具体事物系统的数学关系结构的过程。数学建模既包括从现实问题中抽象出数学关系的过程，也包括对建立的模型进行考察与检验的过程。

二、数学建模的价值分析

1.有利于培养学生主动探索的能力

数学建模的出发点在于引导学生积极主动地参与数学探究和实践的全过程。数学建模的核心要义在于数学化，也就是要将生活情境抽象为数学问题。在这个过程中，学生尝试运用数学的思维去审视、分析和表达各种事物的数量关系和空间关系，从纷繁复杂的现实情境中抽象出数学模型，由此达成依托数学模型解决现实问题的目的。学生通过发现、分析、抽象、归纳等思维活动有利于提升自身的探索数学的意识和能力，并形成主动探索的习惯。

2.有利于培养学生的合作交流能力

小学数学课程标准明确指出“动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要形式”。数学建模是培养学生合作交流能力的重要途径。数学建模的原始问题往往都是生活中复杂的实际问题，解决一个稍复杂的问题往往需要各方面的知识，这就要求学生合理分工，从不同的角度展开思考和探究，并在此基础上相互交流，由此达到思维碰撞和思维启迪的效果。

3.有利于培养学生解决实际问题的能力

著名数学家华罗庚针对数学的实用价值曾经有段经典论述：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之繁，无处不用数学。”数学教育的目的并不只是培养专门从事数学研究的人才，更为重要的是培养运用数学思维方法解决实际问题的人。数学建模的过程在本质上就是运用数学思维方法解决现实问题的过程，这无疑增强了学生的数学应用意识，提高了学生分析和解决实际问题的能力。

4.有利于培养学生的创造性思维

数学建模是一个学生主动探究原始问题的本质并对其进行抽象的数学加工的过程，是一个对数学模型进行构建、求解、验证、优化的过程，这样颇具思维深度的过程能使学生经历一场“微型的科研”，这对于培养学生的创造性思维是大有裨益的。

三、数学建模的基本过程

1.抓住本质规律，在生活情境中提炼问题

“发现问题比解决问题更加重要。”数学问题来源于生活情境，一般都能够用数学符号来表述。在生活情境中发现和提出数学问题是建模的基础。在提出实际生活中的问题原型后，教师要引导学生从问题原型中提炼出数学问题，并抓住问题本质，这对于数学模型的构建是至关重要的一步。需要注意的是，教师要让学生从生活情境中主动发现问题、提出问题，而不能代替学生。只有这样，才能逐步培养学生从生活情境中发现问题、提出问题的意识和能力。

【教学片段1】

出示5条信息：

（1）爸爸开汽车行驶105千米。

（2）淘气骑自行车的速度是5千米/时。

（3）妈妈步行走了2千米。

（4）淘气骑自行车行驶了1个小时。

（5）汽车行驶了3个小时。

师：请想一想，在这些信息中哪些信息是相关的，你可以提出哪些数学问题呢？

生1：我把信息（1）和信息（5）组合起来：爸爸开汽车行驶了105千米，汽车行驶了3个小时，汽车行驶的平均速度是多少？

生2：我把信息（2）和信息（4）组合起来：淘气骑自行车的速度是5千米/时，他骑自行车行驶了1个小时，淘气行驶的路程是多少？

……

师：同学们已经发现了不少数学问题，大家能够进一步找出这些数据之间的内在关联吗？

生1：我提出的问题可以用“速度=路程÷时间”来解答。

生2：我提出的问题可以用“路程=速度×时间”来解答。

……

教学中，教师呈现5条信息，引导学生从信息中提炼有价值的数学信息，并对这些信息进行重组，培养了学生观察问题和概括问题的能力；教师引导学生把通俗语言转化为数学符号语言，通过提炼、转化的方法把生活情境中的问题转化为行程、速度和时间关系的数学问题，再与具体数据相结合，这正是构建数学模型的思维过程。

2.把握数量关系，在分析比较中构建数学模型

在学生把生活情境中的问题转化为数学问题的基础上，教师要重点引导学生厘清各个数据之间的数量关系，通过观察、抽象、判断、分析等思维方法，探索并建立以数学符号为媒介的一般规律，由此形成关于问题本质的模式化表达方法，初步构建数学模型。在这个过程中，教师要鼓励学生积极思考、动手操作，通过画表格、线段图、示意图等多种方式分析各个数据之间的关系，进而使学生学会分析数量关系的基本方法。

【教学片段2】

师（出示题目）：如果甲地到乙地的距离是70千米，那么爸爸开车需要多长时间能够从甲地到达乙地？同学们思考一下，题给条件是不是够了呢？还缺什么条件？

生1：条件不够，还需要知道汽车的行驶速度。

生2：求出汽车的行驶速度是解决问题的关键。

师：根据前面给出的5条信息，是不是能够求出汽车的行驶速度呢？在纸上画一画，说一说你是怎样想的。

生1：如果要求出时间，根据“时间=路程÷速度”可知，需要同时得知路程和速度，但是题目的条件中没有直接给出速度，我通过前面给出的5条信息来算出汽车的行驶速度。速度=路程÷时间=105÷3=35千米/时。当得出速度后，这个题就变得非常简单了。（如图1）

图1

生2：我是通过画示意图来思考的。我的思路也是先求出汽车的行驶速度，然后再根据“时间=路程÷速度”求出时间。（如图2）

图2

在分析数量关系这一环节中，当学生发现已知条件不够时，教师不要直接告知学生答案，而要引导学生根据已知条件进一步求出所需条件，从而厘清数量之间的内在联系，初步构建数学模型。

3.厘清解题思路，在求解模型中解决问题

在模型初步建立之后，教师要引导学生进一步厘清解题思路，并且利用数学模型解决相关的实际问题。在这个过程中，教师要注意以下两点：第一，使学生厘清数学模型的基本思路，明确先算什么，后算什么。第二，在具体的计算过程中，要指导学生注意计算细节，比如四则运算顺序以及计算结果的单位等，使学生在答题过程中做到思路清晰、步骤完整、结果正确。

【教学片段3】

师：爸爸开车行驶105千米，用了3个小时，甲乙两地相距70千米，爸爸开车需要多长时间能从甲地到达乙地？应该先计算什么，后计算什么呢？

生1：甲乙之间的距离是已知条件，那么应该先计算出汽车的行驶速度，然后才能求出爸爸开车需要多长时间。

生2：是的，根据“时间=路程÷速度”，要计算时间，必须先知道路程和速度。

师：既然明确了思路，就可以开始计算了。请同学们把计算步骤写下来。

生3：我是分两步计算的。105÷3=35（千米/时），70÷35=2（小时）。

生4：我只用了一步。70÷（105÷3）=2（小时）。

师：这两位同学的计算思路非常清晰，而且计算结果也很准确。现在，如果把题目变为“爸爸开车行驶105千米，用了3个小时，甲乙两地相距210千米，爸爸开车需要多长时间能从甲地到达乙地？”，应如何计算？

生5：数据变了，思路不变。还是要先计算出汽车的行驶速度。

在教学中，教师要求学生叙述计算步骤，厘清计算思路，并通过变换数据再次让学生计算，引导学生抓住问题的关键、找出规律，将数学模型由初步的文字模型进一步转化为符号模型，真正掌握数学模型的本质。无论外部数据如何变化，答题的思路始终是清晰的，这正是运用数学模型解决问题的优势所在。

4.提炼建模思想，在拓展模型外延中提升能力

数学模型来源于现实生活，数学建模的最终目标是解决实际问题。在现实中对数学模型的活学活用，能够帮助学生更加深刻地理解所学知识，构建起科学的知识体系，做到以点带面、触类旁通，提高解决数学问题的能力。在学生构建数学模型解决问题后，教师还应引导学生进行回顾和反思，使学生体会到构建数学模型解决数学问题的基本思路，指导学生概括并提炼出在建模过程中运用了哪些数学思想和方法，从而引导学生探索数学建模的内在规律，增加学生在模型建构中的思考深度，进一步提升学生的模型建构能力。

【教学片段4】

师：数学建模为我们解决数学问题提供了一种全新的思维方法，用数学模型可以解决很多同类问题。比如：妈妈花15元买了5斤苹果，如果妈妈有27元钱，她可以买几斤苹果呢？

生1：这道题与我们前面做的那道题思路差不多。

生2：求出苹果的单价是关键。单价为15÷5=3（元），根据“数量=总价÷单价”可得27÷3=9（斤）。

师：利用数学模型可以解决很多同类型问题，我们要抓住问题的本质，做到活学活用，才能达到事半功倍的效果。

师：你在构建数学模型的过程中有什么体会？

生3：构建数学模型，就是把生活情境中的问题转化为数学问题，然后形成解决这类问题的统一方法，这样解决问题就方便多了。

师：是的，在构建数学模型时要运用转化的数学思想，我们以后在解决问题时也要有这种转化意识。

教学中，教师通过引导学生运用刚建立的数学模型解决同类问题，使学生切身体会到数学模型在解决实际问题中的便利，进而明白数学模型的独特优势。教师通过指导学生回顾、总结数学模型的建立过程，使学生在解决实际问题的过程中树立建模思想，厘清了建模思路，为以后进一步学习数学打下基础。

总之，在小学数学课堂教学中，教师要充分领会新课程改革的基本理念，紧密结合课堂教学内容，把建模思想融入课堂教学的各个环节之中，引导学生依托实际生活层层提炼、逐步深入，把纷繁的信息转化为数学问题，逐渐树立起利用数学模型解决实际问题的意识，掌握数学建模的基本方法和技能，最终达到提升解决问题能力、促进全面发展的目的。