例谈数学活动的优化

浙江湖州市德清县实验学校（313200）何潇潇

数学活动经验需要学生边做边想才能有效积累，不仅如此，只有科学合理的活动才有利于学生积累经验。科学合理的数学活动应该是有提问、有目的、有流程、有顺序的，而不是漫无目的、只图热闹好玩的。课堂上，经常出现这样的现象：教师精心设计了数学活动，以为学生可以通过活动积累有用的经验，但一些学生只顾着操作玩耍、盲目模仿，根本不动脑筋思考。

一、案例分析

【案例1】在教学“平行四边形的面积公式”时，教师设计的操作活动流程如下：（1）经过平行四边形的一个顶点作高；（2）将平行四边形沿高剪开，分割成一个三角形和一个梯形；（3）水平移动三角形，至另一角，将图形拼成一个长方形。然后教师指导学生观察图形剪接前后哪些元素不变，并让学生思考如何推导面积公式。

【分析与思考】

该案例中的操作活动有些形式化。学生只是一板一眼地按照教师的要求操作，从不思考“为何要沿着高剪开？”“沿着高剪开的目的是什么？”。由此可见，学生在操作中根本没有反思、批判、质疑、创新等思维活动，只是被动执行教师的命令，多样化的探究和优化过程被省略，根本没有数学化、理论化的经验生成。沿着高裁剪平行四边形，这只是一种方案，但推导平行四边形面积公式时存在多种方案。案例1中的活动规定束缚了学生的思维。

【案例2】让学生解答“快递员骑摩托车从东城出发到西城派件，去时速度为80千米/时，返回时速度为100千米/时，快递员骑摩托车往返的平均速度是多少？”。

【分析与思考】

学生的经验运用存在机械化现象。大多数学生解题时列式为（100+80）÷2=90（千米/时）。学生的理解是“（去时速度+返回速度）÷2=90（千米/时）”。这折射出学生将对平均数的理解与对平均速度的理解合二为一，错将速度的平均数当成往返平均速度处理，他们对求平均值中的“移多补少”的理解有偏差，积累的经验是片面的。计算往返的平均速度的正确方法应该是“往返总路程÷往返总时间=往返平均速度”，而往返一次的总路程和所用的总时间是未知的，可通过假设的策略处理。

将生活情境转化为数学模型后，由于形式发生巨大变化，导致学生无法适应，放着现成的情境模型不知如何运用，于是就脱离现实全凭直觉解题，这样势必会出错。

【案例3】让学生解答“王华打车前往5千米外的郊外参加学校组织的夏令营活动，‘顺风车’的起步价是8元（3千米以内），超过这个基本服务里程，每超过1千米加收1.5元。王华一共要付多少元？”。

【分析与思考】

解答时存在生活经验无效化现象。大部分学生都能正确求解，但仍有学生列式为8+1.5×5。主要是因为学生缺少类似的生活经验，碰到生活问题时就按自己的思维方式去思考，缺乏对生活问题的主动思考与探究，导致不能有效运用生活经验解决数学问题。

【案例4】让学生解答“星期天，高中生周淑华和林红霞相约在上午8点准时从家中骑自行车出发，前往位于她们两家之间的体育场。周淑华每分钟行驶150米，林红霞每分钟行驶180米。当她们在体育场门口相遇时，发现这里距离两家中点120米。她们两家之间相距多少米？”。

【分析与思考】

学生的阅读理解存在肤浅化现象。面对这个问题，很多学生的思考都是不到位的，甚至还有部分学生无从下手。他们还嘀咕着“这是个相遇问题，应该要知道速度和时间，速度是知道了，可是不知道时间呀，怎么计算呢？”，也有部分学生直接写出算式（150+180）×120。

笔者以为，这种现象的出现一定不是偶然，是因为学生缺乏必要的深度思考意识，以及对基本的数学思想方法的感悟、应用经验，从而出现“不知所以然”等不良现象，最终导致没有用数学思维来思考，没有促进学习研究的开展。

二、优化措施

1.自主操作，优化方法

对于操作活动而言，必须要有抽象提炼的过程，才能形成有用的活动经验。因此，在教学活动中要着重培养学生“思考—动手—反思”的操作习惯。以教学“三角形的内角和是180°”为例。

操作前确定目标，然后思考怎么做才能达成这一目标，对操作步骤做出科学设计。教师可以先组织学生按角的类型将三角形分类，让学生思考问题：为什么三角形只需含有一个直角（或一个钝角）就可以直接确定其为直角三角形（或钝角三角形），而需要含有三个锐角才能确定其为锐角三角形？这与什么有关？学生一般会猜到与三角形内角和有关。教师接着追问：“如何操作才能探明三角形的内角和是多少？”学生交流后确定方案：先准备若干个任意形状的三角形纸片，测出各三角形三个角的度数，再求和；也可以折叠纸片，将三个角拼凑到一处，看看组成一个什么样的角。这样带着目的的方案设计，就能使学生积累有用的经验。

探索不同的操作方案。在各个小组中，鼓励、支持学生采取不同的方案开展研究，有的采用测算法，有的采用拼组法。在测算活动中，教师给每组学生提供类型各异的三角形，便于学生发现普遍规律，形成全面的认知。学生通过操作，又有了新的疑问：三角形内角和可能是接近180°，未必就正好是180°。教师提问：“看来测算法不靠谱，还有什么更加先进的方法吗？”有的小组展示了折叠法、割补法的过程，目的是将三个内角拼凑到一起，组成平角，由此证明了三角形的内角和是180°。为了再次确认，教师通过动画演示，让学生建立了正确的表象。

注重操作方法的优化比较。优化方案中，学生会对各种操作方法的运行原理进行客观全面的分析，从而正确评估和判断整个实验活动的科学性和合理性。

2.准确分析，拓宽思路

在解决实际问题的活动中，学生分析数量关系、建立模型的经验欠缺，教师应该从最基础的部分开始，指导学生冷静细致地分析数量关系，然后正确巧妙地建立模型。

3.改建模型，辨析矫正

实际问题数学化后，学生只会借助情境分析问题，离开情境就不会分析，一旦抽离具体情境，学生解决问题时要么违反基本常识，要么无法正确利用数学公式，导致解题过程非常复杂烦琐。如情境“以下是欢乐谷各种游戏项目的定价：深海潜艇每船每小时8元（每船核载4人），旋转飞机每架每次6元（每架核载2人），原始部落每小时2元，百步穿杨每射出10支弓箭3元，过山车每人5元，3D动感影院每小时5元。请你思考：用10元最多可以玩几个项目？”由于缺少生活体验，学生认为“玩单人项目，尽可能选便宜的，就能玩更多项目”，所以大部分学生选择的项目是原始部落、百步穿杨、过山车。

针对这一答案，教师可以模拟游玩情境，提示学生：“在生活中，人们一般是组团出游，结伴游玩。可以4人组队坐游艇，这样可以分摊票价。”通过交流，学生意识到可以选择多人项目，分摊费用。于是学生的思路发生根本性的转变，由“参加单人项目，选最便宜的”到“选择多人项目，分摊票价”。数学来源于生活，活动经验也要与生活实际挂钩。在教师的点拨和指引下，学生写下了“8÷4=2（元）（深海潜艇），6÷2=3（元）（旋转飞机），2元（原始部落），3元（百步穿杨），10=2+3+2+3，因此，最多可以玩4个项目”，解决了问题。由此可见，数学教学中，生活经验的积累可以促成数学经验的积累。

学习中学生难免犯错，教师如果善加利用，让学生对错误进行分辨纠正，那么经过这一训练后，学生的思维也会有所改善和进步。在六年级数学教学中，对于“正方形的面积与边长是否成正比例”这一问题的判断，学生出错率居高不下。这说明学生的思维活动经验非常欠缺。有的学生看错题目，将面积看成周长。有的学生对比例理解不到位，认为面积是边长的倍数，但是却不知它们的比值（商）为边长，是个变量。

教师不妨从以下方面入手帮学生积累经验。首先是巩固“比例的意义”知识，让学生明白正方形的面积与边长是两种相关联的量。其次是分辨易混点，让学生能够区别正方形的面积与边长、正方形的周长与边长的关系。学生仔细比较就会发现，正方形的面积÷边长=边长，正方形的周长÷边长=4，差别非常明显，正方形的面积除以边长之后所得的商还是边长，边长是个变量，而正方形的周长除以边长，所得的商为4，4是个定量，前者不符合正比例的定义，后者则符合。

4.深度阅读，方法优先

渗透基本的数学思想方法于教学中，让学生在相应的学习中感知数学思想方法的存在，并在系列活动中领悟数学思想方法的存在，是小学数学教学的核心使命之一，也是夯实学生“四基”的重要抓手。故而，在上述案例4的教学指导中，教师就要立足学生的思维特征，引导学生更好地解读线段图的表征，以此来助推学生对学习的理解，加深学生对数形结合数学思想方法的感知，从中探寻到问题信息之间的本质联系，找到解决问题的突破口，实现学习的更新升级。

（1）指导阅读，达到“其义自见”的效果。

阅读是儿童走进知识世界的金钥匙。在小学数学学习中，阅读对于学生而言有着举足轻重的作用。回溯前面的案例4，正视学生出现的种种不足，特别是面对那些一直说着“没法做”“还差时间”的学生时，教师就得把教学的重心下移，指导学生阅读，力争达到“其义自见”的效果。

引导学生自主阅读、同伴互助阅读，力求通过阅读真正寻觅到问题的核心信息，找到突破问题的蛛丝马迹，为理性地解析问题提供坚实的阅读理解基础。经过讨论与思维碰撞，学生找到关键点“在距离中点120米处相遇”，进而明确两人骑车行驶的基本轨迹，让隐藏的关系、暗含的信息在阅读中显露出来，成为他们画图释义的有力支撑。

（2）引导画图，实现“图穷匕见”的奇效。

紧接着，学生在阅读理解的基础上，较为准确地画出线段图。同时，也在画图中不断感悟“周淑华速度慢，则她行驶的路程比总路程的一半少120米，反之林红霞行驶的路程比总路程的一半多120米，二者一比，就能得出林红霞比周淑华多走了2个120米”。对于问题“是什么原因造成如此局面？”，学生很自然地联想到阅读的成果，并运用它来解决问题，问题也就迎刃而解了。

总之，数学活动经验的积累是非常重要的，教师既要善于发现学生经验的不足，又要有改进的对策，这样才能促使学生的经验不断积累。