导数与函数的单调性易错题剖析

孙英环

考纲要求了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，会利用函数的单调性解决有关参数问题。函数的单调性与导数是高考考查的重点和热点之一。下面对同学们在解决此类问题时经常失分的情况归类总结，以防高考时再出现此类错误。

一、讨论不含参函数的单调性

例1

解析：

易错点分析：（1）求函数的单调区间时，要在函数的定义域内讨论，还要注意导数为0的点和函数的间断点。（2）单调区间不能取并集，应该用“，”隔开或“和”字相连。

例2

解析：

易错点分析：不等式f'（x）>0的解集在定义域内的部分为f（x）的单调递增区间;不等式f'（x）<0的解集在定义域内的部分为f（x）的单调递减区间。本题不能直接解f'（x）>0，f'（x）<0，需构造函数再次求导才可求出单调区间。

二、讨论含参函数的单调性

例3若函数f（x）=x-1/2-alnx （aER），试讨论函数f（x）的单调性。

解析：

易错点分析：（1）利用导数讨论函数的单调性，通常归结为求含参不等式的解集问题。含参一元二次不等式问题是热点，也是重点，着重考查分类讨论思想，而对含有参数的不等式问题要针对具体情况进行讨论，但要始终注意定义域及分类讨论的标准。（2）此题中g（x）=x2-ax+1，需对Δ=a2-4中的a的取值进行分类讨论，从而确定函数的单调性。

三、已知单调性求参数的取值范围

例4 已知函數f（x）=x3+/2（x≠0，常数aER），若f（x）在[2，+o）上单调递增，求a的取值范围。

解析：

易错点分析：（1）由单调性可得f'（x）≥0或f'（x）≤0在相应区间上恒成立，而不是f'（x）>0或f'（x）<0在相应区间上恒成立，即f'（x）>0（f'（x）<0）是函数f（x）在对应区间上单调递增（单调递减）的充分不必要条件。（2）对等号需单独验证说明，否则会扣分。

例5 已知x=1是f（x）=2x+/2+1nx的一个极值点。

（1）求函数f（x）的单调递减区间;（2）设函数g（x）=f（x）-3+a，若函数 g（x）在[1，2]内单调递增，求实数a的取值范围。

解析：

易错点分析：第（1）问求出b的值后要检验。第（2）问由g'（x）≥0在[1，2]上恒成立，可利用分离参数或函数性质求解恒成立问题。

例6 已知g（x）=2x+1nx-/a2在区间[1，2]上不单调，求实数a的取值范围。

解析：g'（x）=2+1/2+/2（x>）

因为函数g（x）在区间[1，2]上不单调，所以g'（x）=0在区间（1，2）内有解，则a=-2x2-x=-2（x+1/4）2+1/8在（1，2）内有解，易知该函数在（1，2）上是减函数，所以a=—2x2—x的值域为（—10，—3），

所以实数a的取值范围为（—10，—3）。

易错点分析：若函数y=f（x）在区间（a，b）上不单调，则可转化为f'（x）=0在（a，b）上有解。

导数是研究函数单调性问题的重要工具，所以同学们需要掌握利用导数研究函数单调性相关问题的基本思路、基本运算技巧及运算法则。另外，数形结合思想、构造新函数、转化思想可以化繁为简，进而准确把握函数单调性的本质。含参一元二次不等式问题是高考考查的热点，也是重点，着重考查分类讨论思想，学习时要加强求解一元二次不等式的熟练度。

（责任编辑王福华）C4D6AB70-3F79-4ABD-A6C2-92B590D8D090