导数的交汇题赏析

祁祺

导数是高中数学解题中一种重要的工具，可以解决很多数学问题，所以命题者常常将导数与其他知识交汇命制题目，下面列举几例，供大家赏析。

一、集合与导数的交汇

例1设函数f（x）=/=/1，，集合M={x|f（x）<0}，P={x|f'（x）>0}，若M P，则实数a的取值范围为（）。

A.（-oo，0）

B.（0，1）

C.（1，+0）

D.[1，+o） x-a

解析：

评注：本题将集合的运算与导数的计算融合在一起进行命题，既考查了解不等式，也考查了分数函数的求导。解答此题的常规步骤是：①确定集合M，P;②由集合的关系求实数a的取值范围。

二、解三角形与导数的交汇

例2在ΔABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边长，已知C=/3，a+b=xc （其中入>1）。

（1）当λ=2时，证明：a=b=c;

（2）若AC·BC=x3，求边长c的最小值。

解析：

评注：本题考查了正弦定理、余弦定理及导数知识的运用。首先确定函数关系式，再利用导数求出最值是解题的关键。

三、数列与导数的交汇

例3 已知函数f（x）=ax-lnx+b。

（1）若a+b=0，且f（x）≥0，求a的值;

（2）证明：ln2+1n3+···+ln（n+1）> 2n 2（n+1） （nEN"）。

解析：

评注：此类问题一般先由已知条件及导数得出一个不等式，再把该不等式中的自变量依次用1，2，3，··.，n代换，然后用叠加法证明。

四、立体几何与导数的交汇

例4

（1）求球O的表面积;

（2）证明：平面POC上平面ABC，且平面POC上平面PAB;

（3）与侧面PAB平行的平面α与棱AC，BC，PC分别交于D，E，F，求四面体 ODEF的体积的最大值。

解析：

评注：本题第（3）问，先求C到平面PAB的距离H。设CD=λCA（0<λ<1），C到平面DEF的距离为h。由平面PAB//平面DEF，得到ΔDEFのΔABP，則可得ΔDEF的面积，求出h=3λ，得到O到平面DEF的距离为3—3λ，则四面体ODEF的体积V=3x2（1—λ）。转化为函数，再利用导函数求得最大值。

五、解析几何与导数的交汇

例5 已知抛物线E：y2=2px（p>0），圆F：（x-2）2+y2=r2（r>0），当r=3 时，抛物线E与圆F仅有两个交点。

（1）求抛物线E的方程;

（2）

解析：

评注：解答本题的关键是列出S的表达式，进一步变形为S2的表达式，运用换元法，构造函数y=-x3-x2+x+1，xE（0，1），再利用导数求出函数的最值。本题是一道将解析几何与导数巧妙交汇命制的综合性题目，难度较大。

（责任编辑王福华）C403D9D1-67BC-4F41-B331-570E18E3DC79