导数易错题剖析

陈家飞

导数是高中阶段研究函数的重要工具，有着广泛的应用，但是同学们在学习过程中存在一些误区，经常出现一些错误，本文对有关易错点进行归纳剖析，供大家参考。

易错点1：对函数单调的充要条件理解不清致错

例1函数f（x）=ax3-x2+x-5在区间（一0，+0）上是增函数，求实数a的取值范围。

错解：

剖析：错解将“导函数在区间D上大于零”当作“函数在区间D上是增函数”的充要条件。比如，函数f（x）=x3在R上是增函数，则在R上f'（x）=3x2≥0恒成立，而不是f'（x）=3x2>0。由函数在区间D上为增函数（减函数），求参数的范围时，首先由f'（x）≥0（或f'（x）≤0）在D上恒成立求出参数的范围，再验证f'（x）=0时的参数值是否满足f'（x）在D的任一子区间上不恒为零。若不恒为零，则保留;否则舍去。

正解：

易错点2：将“过某点的切线”与“在某点的切线”混淆致错

例2 已知曲线S：y=3x—x3，求过点P（2，—2）的切线方程。

错解：由题意可知，点P（2，—2）在曲线S上，且y'=3—3x2，则过点P的切线的斜率k=y'lx=2=—9，所以过点P的切线方程为y+2=-9（x-2），即9x+y-16=0。

剖析：由导数的几何意义可知，f'（x。）表示曲线y=f（x）在点（xo，f（xo））处的切线的斜率，其中（xo，f（x。））为切点，但题中所给的点P（2，—2）不一定是切点。曲线在某点处的切线的斜率是该曲线对应的函数在该点处的导数值，这是导数的几何意义。在此题中，点P凑巧在曲线S上，求过点P的切线方程，却并非说切点一定是点P，错解是对求过点P的切线方程和求曲线在点P处的切线方程，认识不到位，发生了混淆。

正解：设切点为Q（xo，yo），则过点P的曲线S的切线的斜率k=y'|x=x。=3—3x，所以切线方程为y—y。=（3—3x2）（x—xo）。因为切线过点P（2，—2），所以—2—y。=（3—3x2）（2-x。）。又因为yo=3x。-x8，所以-2- （3x0-x/3）=（3-3x2）（2-xo），整理得x8-3x +4=0，即（x。+1）（x。—2）2=0，解得x。=—1或x。=2。若x。=—1，则切点为（—1，—2），切线方程为y=—2;若x。=2，切点为（2，—2），切线方程为9x+y—16=0。故所求切线方程为y=—2或9x+y—16=0。

易错点3：忽视了函数的变化趋势致错

例3 已知方程1n=a有两个实数解，求实数a的取值范围。

错解：

剖析：错解忽视了函数的具体走势，虽然函数f（x）先增后减，但是当x→+o时，函数的值始终是大于0的，即函数在右侧不会与x轴相交。

正解：

易错点4：对含参函数单调性的分类讨论时有遗漏或重复致错

例4 已知函数f（x）=x-1-Inx- a（x—1）2（aER），讨论函数f（x）的单调性。

错解：

剖析：

正解：

（责任編辑王福华）1D7B60BB-4862-4EAF-A9D6-3BBFBA3C6F0E