导数与不等式的证明及恒成立问题中的易错题剖析

练中彬

导数与不等式的证明及恒成立问题是高考考查的重点内容之一，也是同学们学习的难点，该类题主要涉及函数、方程、导数等知识，也涉及构造函数、数形结合、分类讨论、分离参数、放缩、转化等方法，对提升同学们的逻辑推理与数学运算有极大的帮助。下面就导数与不等式的证明及恒成立问题中的易错点归类总结。

一、构造函数证明不等式

例1

证明：

易错剖析：当待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”或“右减左”的函数，通过研究其单调性等相关函数性质证明不等式。

二、放縮法证明不等式

例2 已知函数f（x）=1nx-ax+1。

（1）若对任意xE（0，+o），f（x）≤0恒成立，求a的取值范围;

（2）求证：

解析：

易错剖析：解答本题第（2）问的关键是利用lnx≤x—1（x>0）进行放缩。

例3

证明：

易错剖析：若某些不等式直接构造函数不易求最值，则可利用条件与不等式的性质，适当放缩后，再构造函数进行证明。

三、分离e和lnx证明不等式

例4 已知函数f（x）=ex2-xlnx，

证明：

易错剖析：（1）当直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个都便于求导的函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目的。（2）本题中将原不等式，便于探求构造的函数h（x）=1nx+1/2和φ（x）=ex—e的单调性，分别求出h（x）的最小值与φ（x）的最大值，借助“中间媒介”证明不等式。

四、分拆函数法证明不等式

例5 已知函数f（x）=elnx-ax （aER）。

（1）讨论函数f（x）的单调性;

（2）当a=e时，证明：xf（x）-e+ 2ex≤0。

解析：

综上可得，当x>0时，f（x）≤g（x），即f（x）≤-2e，即xf（x）-e+2ex≤0。

易错剖析：①当直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个都便于求导的函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目的。②在证明的过程中，等价转化是关键，在证得g（x）mn≥f（x）mx恒成立时，可以得到f（x）≤g（x）恒成立。

五、不等式恒成立问题

例6 已知函数f（x）=x2+2/2，g（x）=（1/2）-m，若Vx1E[1，2]，3x2E[-1， 1]，使f（x1）≥g（x2），求实数m的取值范围。

解析：

易错剖析：本题易错的地方是误解“任意性”与“存在型”的关系，得到如下错解：因为f'（x）=2（x°=1），x[1，2]，所以f'（x）≥ 0，f（x）在[1，2]上单调递增，f（x）mn=f（1）=3。函数g（x）=（/2）—m在R上单调递减，则Vx1E[1，2]，3x2E[-1，1]，使 f（x1）≥g（x2）成立，只需f（x1）mn≥ g（x2）max，所以2-m≤3，解得m≥-1。

在高考中，导数与不等式的证明及恒成立问题一般出现在压轴题的位置，因此，我们既要掌握通性通法，又要避开易犯的错误，才可以决胜高考。

（责任编辑王福华）C403D9D1-67BC-4F41-B331-570E18E3DC79